“杨辉三角”与二项式系数的性质.ppt
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1、1.3.2 “1.3.2 “杨辉三角杨辉三角”与二项式系数的性质与二项式系数的性质一般地,对于一般地,对于n N*有有二项定理二项定理:新课引入新课引入二项展开式中的二项式系数指的是那些?共二项展开式中的二项式系数指的是那些?共有多少个?有多少个?下面我们来研究二项式系数有些什么性质?我下面我们来研究二项式系数有些什么性质?我们先通过观察们先通过观察n为特殊值时,二项式系数有什么特为特殊值时,二项式系数有什么特点?点?计算计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表展开式的二项式系数并填入下表 n(a+b)n展开式的二项式系数展开式的二项式系数1234561615201561151010511
2、4641133112111(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6议一议议一议1 1)请看系数有没有明显的规律?)请看系数有没有明显的规律?2 2)上下两行有什么关系吗?上下两行有什么关系吗?3 3)根据这两条规律,大家能写出下面的系数吗根据这两条规律,大家能写出下面的系数吗?对称性对称性每行两端都是每行两端都是1 Cn0=Cnn=1从第二行起,每行除从第二行起,每行除1以外的每一个数都等于以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和它肩上的两个数的和 Cn+1m=Cnm +Cnm-1(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6+详解九章算
3、法详解九章算法中记载的表中记载的表杨杨 辉辉杨辉三角杨辉三角二项式系数的性质二项式系数的性质 展开式的二项式展开式的二项式系数依次是:系数依次是:从函数角度看,从函数角度看,可看可看成是以成是以r为自变量的函数为自变量的函数 ,其定义域是:其定义域是:当当 时,其图象是右时,其图象是右图中的图中的7个孤立点个孤立点对称性对称性 与首末两端与首末两端“等距离等距离”的两个二项式系数相等的两个二项式系数相等 这一性质可直接由公式这一性质可直接由公式 得到得到图象的对称轴:图象的对称轴:二项式系数的性质二项式系数的性质2、若(、若(a+b)n的展开式中,第三项的二项的展开式中,第三项的二项式系数与第
4、七项的二项式系数相等,式系数与第七项的二项式系数相等,练习:练习:1、在、在(ab)展开式中,与倒数第三项二展开式中,与倒数第三项二项式系数相等是项式系数相等是()A 第项第项 B 第项第项 C 第项第项 D 第项第项则则n=_B8增减性与最大值增减性与最大值 由于由于:所以所以 相对于相对于 的增减情况由的增减情况由 决定决定二项式系数的性质二项式系数的性质由由:即二项式系数即二项式系数前前半部分半部分是是逐渐增大逐渐增大的,由对称性可知它的的,由对称性可知它的后后半部分是半部分是逐逐渐减小渐减小的,且的,且中间项取得最大值中间项取得最大值。可知,当可知,当 时,时,因此因此,当当n为偶数时
5、为偶数时,中间一项的二项式中间一项的二项式系数系数 取得最大值;取得最大值;当当n为奇数时为奇数时,中间两项的二项式系数中间两项的二项式系数 相等,且同时取得最大值。相等,且同时取得最大值。增减性与最大值增减性与最大值 二项式系数的性质二项式系数的性质1.在在(1+x)10的展开式中,二项式系数最大为的展开式中,二项式系数最大为 ;在在(1-x)11的展开式中,二项式系数最大为的展开式中,二项式系数最大为 .3.在二项式在二项式(x-1)11的展开式中的展开式中,求系数最小的项求系数最小的项的系数。的系数。最大的系数呢?最大的系数呢?练习练习2.指出(指出(a+2b)15的展开式中哪些项的二项
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- 三角 二项式 系数 性质
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