2022-2023 南京市二十七中高三期中考试试卷-.docx
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1、2022-2023学年高三年级第一学期期中教学质量调研数学试题一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项,只有 一项是符合题目要求的。1 .已知复数z(l + i) = 2-2i为虚数单位),则忖=()A 2B.3C.4D.5【答案】A【解析】z + i) = 2-2i = z = = -2i,所以 z =(一2)? = 2.满足174口1,2,3,4的集合A的个数为()个A16A15C.8D.7【答案】C【解析】.满足条件的集合1 卜1,2,1,3,1,4,1,2,3,1,2,4,1,3,4,1,2,3,4共八个.2 .下列选项正确的是()A. sin 103
2、 sin 164A. sin 103 sin 164B. COS71 cosI 4C. sin 508 sin 144【答案】B.C. sin 508 cos74 = sin 103 sin 164 , A.错误.COS7t COS 7T + 7171cos1 cos = cos= cos-0,cos447 71 0 ,所以 9(90。+54) = sin 54sin508 = sin(450 +58 ) = sin58 ,sin 144 =sinsin58 sin54 =sin508 sin 144 , C错误【答案】(1)见解析;(2) -V217【解析】(1)连接OC,设AC,。3相交于
3、因为。是AD的中,4)=4,所以AO =,AO = 2,2因为AB = 2所以AO = AB因为AD8C所以四边形AOCB为菱形所以ACJLO5, M为AC的中点,OM OB 2所以OM为ABC的中位线即 QA/CD,所以AC J_ 3c因为5c = 2所以05 = 2因为 4。= 4, PA = P3 =依=20所以是等腰直角三角形,所以PO = 2, POLADPO1 OB1 = PB1所以PO_LO3所以POL面ABC。因为ACu面?CD所以PO_LAC所以ACJL平面POB(2)设8到面Q4C的距离为d由(1)可得OAfCD, AC.LBC,所以ACLOC,可得。=,心-心 =262a
4、/3x1 = V3因为 43 = 4,如=23 = 2贬,所以 S pbc=Lx2 =五,S wc=-x因为 /JAC=Vp-ABC所以 xd x SaPAC =x P。x SABC匚, POxS ar 2 ;所以d二送竺二_0S 0”719.(本小题满分12分)已知正项数列4的前项和为S”,且4=2, S: - 5八=aj + %(1)求 S;(2)求数列(2)求数列的前S项的和【答案】(1) S=2i+1; (2) Tn=- + 16【解析】(1) S; - S” = +12 + * = S: S” =(心S” )2 + S,向-s= Sj S” = S+2 - 2 X 57(+| X S
5、“ + Sj+ S,用 一 S“= S,+;2xS“+A”+S“m=0S -1因为 S+产 0,所以 S+12s+l=0,即3 = 2S 1【答案】(1) S=2i+1; (2) Tn=- + 16【解析】(1) S; - S” = +12 + * = S: S” =(心S” )2 + S,向-s= Sj S” = S+2 - 2 X 57(+| X S“ + Sj+ S,用 一 S“= S,+;2xS“+A”+S“m=0S -1因为 S+产 0,所以 S+12s+l=0,即3 = 2S 1所以S -1是以2位公比,以S1 = 1为首项的等比数列.所以 S-1 = 2、则 S=2i+1(2)由
6、(1)知 S=2t+1, St=2-2+i,所以 sSt=4=2二匚、1.123n 二匚、1Tl 23n所以北二了7+矛+研+井,所以51=5+577+于+广两式相减,得一;(?=两式相减,得一;(?=T 2一2 277 ,所以 =12。2-2n2i+ 1620.(本小题满分12分)已知直三棱锥 ABC AUG AB = AC = AA.ZBAC = 90 .BM =ABQ.CN = ACA(QA)(1)证明:MN面 ABC;(2)当MN最短时,求二面角A-MN-G的余弦值.【答案】(1)见解析;(2)叵42【解析】(1)因为=+ = -BCBA-AC + CAx=-XBA-AC-CCBA +
7、 AC + CA + lCCxW = (l-A)BA + (l-2/)AC = ,所以在面 ABC 上存在,使得,M”,b/MN ,又因 为M, N不在面ABC内,所以MN面( 2) 因 为MN = (1-2)BA + (1-2A)AC, 所 以(mN),=(1-A)BA + (1-22)Ac =(5%_6;1+2)/,因为 ab = ac,设 AB = AC = a,当;1 =二 时,|也叫有最小值.以A作为坐标原点,05为工轴,OC为y轴,册为轴,则 4(0,0,0),5(凡0,0),。(0,。,0),4(0,0,),旦(凡0,4),。(0,。,4),所 以 =-|,|tz,|AoV =
8、AC4 = fo,-|,|iz, 所 以 2 3 3 1a, a, a , N =(5 5 5 J 2 3 3 1a, a, a , N =(5 5 5 JMN =MN =222 A a,a,a555 JRMN法向量,加二(%,%,22)为面。1的法向量,故n*AM = 0,z 、,取X=-l,则 =2,Z =2, = (一1,2,-2)nMN = 0mMN = 0 ir/、,取 2=-1,贝ij % =2*2 =-3,加=(一1,2,-3) mCM =0设二面角 AMN G 为 e, cos9 =设二面角 AMN G 为 e, cos9 =. mn 同 |V1421.(本小题满分12分)已知
9、直线l:y = 2xj2-.y = -2工线段AB的两个端点分别在直线人与/2上滑动,且| A网=4 .(1)求线段AB中点P的轨迹。的方程;(2)直线/3:y = 2x+,/4:y = -21+与轨迹C有四个交点,求以这四个点为顶点的四边形面积的最大值.【答案】(1) f+2L = i ;(2)2? 165X + 工2 = 2%2解得f+2L = i16乂 + % = 2y【解析】(1)设 P(%,y),A(Xi,yJ,3(%2,y2),所以 Vy = 2%y = -2x2(xI-x2)2+(y1-);2)2=42(2)当)=0时,面积最大.依题意可得y = 2x? y2 , 解得/+2_
10、= 116275 x =54752a/5 x =5广,所以 4V5s = |2巾2计=4|副=4 X 半 X 竽 =22.(本小题满分12分)ln(-x),x 0(1)求函数g(力= (x + l)%)的单调区间;(2)若直线与函数y = /(x)的图像相切于点A(%,x), 5(%2,乂),且西0工2,求直线的方程.,g(x)单调递增区间为,+oo ; (2) y = x-l7【解析】因为/(九)=二七鲁所以X(x + l)ln(-x),x 0【答案】(1 ) g(x)单调递减区间为(-1,0), 0,当 xvO 时,g(x) = ln(-x) + (1) = ln(-x) + + 1 ,令
11、 gx) = 0,解得 x = -lxx当 XV-1 时,gr(x)0 , g(x)单调递增,当一 lvx0 , g(x)单调递减当xNO时,g(x) = 3x2-4x-3,令g0, g(x)单调递减,X邛1时,g,(%)0, g(x)单调递增,所以g(x)单调递减区间为(TO), 0,,所以g(x)单调递减区间为(TO), 0,,g(x)单调递增区间为2+V13),+oo3)(2)当 xvO 时,/(%) = -,则点 A(X,m)的切线方程为 yTn(X) = (x xJ ,当 JCJCyx0 时,/(x) = 2x-3 ,则点 B(x2,y2)的切线方程为 y-(x22 -3 j =(2
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