自动控制理论哈工大.pptx
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1、1本章难点(1)运用综合的基础知识(如电子、机械、物理等知识)建立正确的微分方程;(2)建立系统的结构图或信号流图;(3)结构图和信号流图等效变换的灵活运用;(4)建立系统的动态方程。第1页/共84页2第二章线性系统的数学模型第二章线性系统的数学模型物理模型理想化的物理系统数学模型物理模型的数学描述建模建立起比较简单又能反映实际物理过程的模型。建模的线性化问题 两种基本方法:机理分析法和实验辨识法。求解求解观察观察线性微分方程线性微分方程性能指标性能指标传递函数传递函数时间响应时间响应 频率响应频率响应拉氏变换拉氏变换拉氏反变换拉氏反变换估算估算估算估算计算计算傅傅氏氏变变换换S=j频率特性频
2、率特性第2页/共84页32.1 2.1 线性系统的输入线性系统的输入输出时间函数描述输出时间函数描述 2.2 2.2 线性系统的输入线性系统的输入输出传递函数描述输出传递函数描述2.3 2.3 典型环节的数学模型典型环节的数学模型2.4 2.4 控制系统的结构图及其等效变换控制系统的结构图及其等效变换2.5 2.5 自动控制系统的传递函数自动控制系统的传递函数第二章线性系统的数学模型第二章线性系统的数学模型第3页/共84页4第二章线性系统的数学模型第二章线性系统的数学模型2.1 2.1 线性系统的输入线性系统的输入输出时间函数描述输出时间函数描述 系统的输入输出描述:是一种外部描述,目的在于通
3、过该数学模型确定被控制量与给定量或扰动量之间的关系。一、列写微分方程法(机理分析法)一、列写微分方程法(机理分析法)1.线性元件的微分方程线性元件的微分方程(1)确定输入量、输出量和扰动量,并根据需要引进一些中间变量。(2)根据物理或化学定律,列出微分方程。(3)消去中间变量后得到描述输出量与输入量(包括扰动量)关系的微分方程(标准形式)。第4页/共84页5第二章线性系统的数学模型第二章线性系统的数学模型例2.1弹簧阻尼系统f 粘滞摩擦系数k 弹簧系数v 物体相对的移动速度第5页/共84页6例2.1机械传递系统xa和xb作为网络的结点。在每一个节点上,力的和等于零。综合两个方程可以得到:“D”
4、表示微分算子第二章线性系统的数学模型第二章线性系统的数学模型第6页/共84页7第二章线性系统的数学模型第二章线性系统的数学模型GG1G2第7页/共84页8第二章线性系统的数学模型第二章线性系统的数学模型 例2-2机械旋转系统f 粘滞摩擦系数k 弹性扭转变形系数第8页/共84页9第二章线性系统的数学模型第二章线性系统的数学模型例2-3电阻、电感、电容串联网络机械传递系统电气网络fvMKBx力速度质量弹性系数阻尼系数线位移uiL1/CRq电压电流电感电容倒数电阻电荷第9页/共84页10第二章线性系统的数学模型第二章线性系统的数学模型例2-4直流他激电动机带动负载设激磁电流恒定并忽略电枢反应。为转速
5、,Ua为电枢电压,Mc为负载1)电枢回路的电势平衡方程为:2)电动机的反电势方程为Ce为电动机的电势常数,单位为vsrad。3)电动机的电磁转矩方程为 Cm为电动机的转矩常数,单位为NmA。第10页/共84页11第二章线性系统的数学模型第二章线性系统的数学模型4)电动机轴上的动力学方程为 J为转动部分折算到电动机轴上的总转动惯量,其单位为Nms2。消去ea、ia、M三个中间变量,可以得到描述输出量,输入量ua及扰动量M之间的关系的微分方程为:电机的电磁时间常数电机的机械时间常数电压传递系数转矩传递系数第11页/共84页12第二章线性系统的数学模型第二章线性系统的数学模型通常电枢的电感La很小,
6、所以电磁时间常数可以忽略不计,于是电动机的微分方程可以简化为:如果取电动机的转角作为输出,则上式可改写为2微分方程的增量化表示微分方程的增量化表示若电动机处于平衡状态,各阶导数均等于零,微分方程可以变为下面的代数方程:表示平衡状态下的输入量和输出量的关系,称为静态方程,表示了电机的控制特性和机械特性。第12页/共84页13第二章线性系统的数学模型第二章线性系统的数学模型电动机在平衡状态附近运行的变量可以表示为:将上面变量代回到简化的微分方程中,并考虑平衡状态的变量关系 可以得到这是电动机的微分方程在平衡状态附近的增量化表示式。第13页/共84页14第二章线性系统的数学模型第二章线性系统的数学模
7、型3非线性方程的线性化非线性方程的线性化非线性方程难于求解,用线性数学模型近似表示非线性数学模型。在一定工作范围内进行线性化处理。将非线性函数在平衡点附近展成泰勒级数,并忽略高次项。例:直流发电机X轴表示励磁电流Y轴表示输出电势由于存在磁路饱和,y和x呈非线性关系y=f(x)可以在(x0,y0)附近泰勒级数 第14页/共84页15第二章线性系统的数学模型第二章线性系统的数学模型忽略高次项,然后用增量表示是比例常数。经上述处理后,就变成了线性方程。第15页/共84页16第二章线性系统的数学模型第二章线性系统的数学模型对于具有两个自变量的非线性函数在静态工作点y0=(x10,x20)附近展成泰勒级
8、数。用增量表示及是比例常数。第16页/共84页17第二章线性系统的数学模型第二章线性系统的数学模型上述方法称为小偏差线性化方法。它是基于这样一种假设:输入量和输出量只是在静态工作点附近作微小变化。几点注意:(1)只适用于不太严重的非线性系统,其非线性函数是可以利用泰勒级数展开的(非本质非线性)。(2)实际运行情况是在某个平衡点(即静态工作点)附近,且变量只能在小范围内变化。(3)不同静态工作点得到的方程是不同的。(4)对于严重的非线性,例如继电特性,因为处处不满足泰勒级数展开的条件,故不能做线性化处理。(5)线性化后得到的是增量微分方程。第17页/共84页18第二章线性系统的数学模型第二章线性
9、系统的数学模型二、脉冲响应法(实验辩识法二、脉冲响应法(实验辩识法)描述线性定常系统的微分方程为:实验辨识方法的理论依据:C(t)=H(t)r(t)假设线性系统是定常的,初始条件为零或初始状态为零,其响应和输入之间满足齐次和线性关系,即:第18页/共84页19第二章线性系统的数学模型第二章线性系统的数学模型给定输入是单位脉冲函数时实验辨识基本原理脉冲函数的表达式为:A为脉冲面积或脉冲强度。脉冲强度A=1时的脉冲函数记为,令并求取极限,则称为单位脉冲函数。,令第19页/共84页20第二章线性系统的数学模型第二章线性系统的数学模型零初始条件的线性定常系统的输入(t),得到的输出称为系统的单位脉冲响
10、应,也称为权函数,记作g(t)。第20页/共84页21第二章线性系统的数学模型第二章线性系统的数学模型2.2 线性系统的输入输出传递函数描述为什么采用传递函数来描述?微分方程描述不直观、求解困难。线性常微分方程经过拉氏变换,即可得到系统在复数域中的数学模型,称之为传递函数。将单位脉冲响应g(t)的曲线转换成相应的传递函数。表示其输入输出关系。第21页/共84页22第二章线性系统的数学模型第二章线性系统的数学模型R(s)输入r(t)的像函数,即输入函数的拉氏变换;C(s)输出c(t)的像函数,即输出函数的拉氏变换。传递函数初始条件为零的线性定常系统输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比。也称为频(率
11、)域描述。几点说明:1.只适用于线性定常系统。2.是系统的动态数学模型。3.分母的阶数一定高于分子的阶数。(为什么?)有惯性元件和受到功率的限制第22页/共84页23第二章线性系统的数学模型第二章线性系统的数学模型客观物理世界的基本属性,它反映了一个基本事实:一个物理系统的输出一个物理系统的输出不能完全复现输入信号,只有经过一定的时间过程后,输出量才能达到输入量不能完全复现输入信号,只有经过一定的时间过程后,输出量才能达到输入量所要求的数值。所要求的数值。4.一个传递函数只能表示一个输入量对一个输出量的关系。单输入-单输出系统,若多输入多输出要采用传递函数矩阵。5.传递函数可以表示成有理分式,
12、也可以表示成零极点表示的形式。也可以表示成时间常数的形式K值具有量纲也称为传递系数第23页/共84页24第二章线性系统的数学模型第二章线性系统的数学模型7.分子分母的系数都是实数,所以如果有复数零极点则必为共轭复数。式中,第24页/共84页25第二章线性系统的数学模型第二章线性系统的数学模型复习拉氏变换(Laplace transform)1.拉氏变换的定义t0时f(t)=02.几个简单的函数的拉氏变换单位阶跃指数函数第25页/共84页26第二章线性系统的数学模型第二章线性系统的数学模型余弦函数第26页/共84页27第二章线性系统的数学模型第二章线性系统的数学模型单位斜坡函数 3.拉氏变换的一
13、些性质线性性质叠加性质第27页/共84页28第二章线性系统的数学模型第二章线性系统的数学模型延迟性质像函数(复域)的微分相似定理本函数(时域)的微分第28页/共84页29第二章线性系统的数学模型第二章线性系统的数学模型例:复域延迟性质例:已知 第29页/共84页30第二章线性系统的数学模型第二章线性系统的数学模型终值定理:有存在的条件f(t)及其导数是可拉氏变换的,且要sF(s)在虚轴(除原点)和右半平面上没有极点。初值定理:卷积定理:已知函数f(t)和g(t),其卷积定义为第30页/共84页31第二章线性系统的数学模型第二章线性系统的数学模型3.拉氏反变换求本函数(1)部分分式分解法极点的几
14、种情形:都是一阶实极点。第31页/共84页32第二章线性系统的数学模型第二章线性系统的数学模型例:已知:计算f(t)重的一阶实极点第32页/共84页33第二章线性系统的数学模型第二章线性系统的数学模型含有共轭极点。2.留数方法(略)第33页/共84页34第二章线性系统的数学模型第二章线性系统的数学模型例:直流电动机传递函数电枢电势平衡方程:反电势方程:电磁转矩方程电机轴上转矩平衡方程当Mc(s)=0时机电时间常数电磁时间常数忽略Ta第34页/共84页35第二章线性系统的数学模型第二章线性系统的数学模型直流电动机动态方框图当Mc(s)=0时第35页/共84页36例:直流电动机转速闭环控制系统第二
15、章线性系统的数学模型第二章线性系统的数学模型第36页/共84页37第二章线性系统的数学模型第二章线性系统的数学模型直流电机传函对放大器对测速机闭环系统的传递函数第37页/共84页38第二章线性系统的数学模型第二章线性系统的数学模型用复数阻抗法求电网络的传递函数时域方程拉氏变换传递函数复数阻抗电容电感电阻第38页/共84页39第二章线性系统的数学模型第二章线性系统的数学模型B点为虚地例:比例积分控制器第39页/共84页40第二章线性系统的数学模型第二章线性系统的数学模型例:比例微分控制器静态放大系数第40页/共84页41第二章线性系统的数学模型第二章线性系统的数学模型2.3 典型环节的数学模型典
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