系统的稳定性幻灯片.ppt
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1、系统的稳定性第1页,共37页,编辑于2022年,星期一稳定性的概念稳定性的概念 系统稳定性,是指系统稳定性,是指系统受到扰动后,偏离了原来的平衡状态,系统受到扰动后,偏离了原来的平衡状态,而当扰动取消后,系统又能够逐渐而当扰动取消后,系统又能够逐渐恢复到原来的状态恢复到原来的状态,则称系统,则称系统是稳定的,或具有稳定性的。是稳定的,或具有稳定性的。否则称系统是不稳定的,或不具有稳定性。否则称系统是不稳定的,或不具有稳定性。系统稳定性是系统固有的一种特性,系统稳定性是系统固有的一种特性,只取决于系统结构参数只取决于系统结构参数,而与初始条件及外界作用无关。而与初始条件及外界作用无关。定 义第2
2、页,共37页,编辑于2022年,星期一李雅普诺夫稳定性对系统平衡状态为稳定或不稳定所规定的标准。对系统平衡状态为稳定或不稳定所规定的标准。n 稳定:设系统的平衡工作点为稳定:设系统的平衡工作点为0,若扰动使系统偏,若扰动使系统偏离平衡工作点的初始偏差不超过离平衡工作点的初始偏差不超过 ,扰动引起的,扰动引起的输出的终态不超过允许的域输出的终态不超过允许的域 ,称为李雅普诺夫意,称为李雅普诺夫意义下的稳定。否则称系统是不稳定的,或不具有稳义下的稳定。否则称系统是不稳定的,或不具有稳定性。定性。n 渐近稳定:系统的输出在初始偏差作用下,其渐近稳定:系统的输出在初始偏差作用下,其终态能回到原始平衡工
3、作点。终态能回到原始平衡工作点。n 大范围渐近稳定:系统在任意初始条件下都保持大范围渐近稳定:系统在任意初始条件下都保持渐近稳定。渐近稳定。李雅普诺夫定义下的稳李雅普诺夫定义下的稳定定0 线性系统的稳定性决定于系统本身固有的特性,线性系统的稳定性决定于系统本身固有的特性,与外界条件无关,决定于与外界条件无关,决定于瞬态分量是否衰减瞬态分量是否衰减。第3页,共37页,编辑于2022年,星期一稳定性的充分必要条件稳定性的充分必要条件 设线性系统在设线性系统在初始条件为零初始条件为零时,作用一个时,作用一个理想单位脉冲理想单位脉冲(t),这时系统的输出增量为为脉冲响应,这时系统的输出增量为为脉冲响应
4、g(t)。相当于系统在扰动信。相当于系统在扰动信号作用下输出偏离原平衡状态的情况。号作用下输出偏离原平衡状态的情况。若若t时,脉冲响应时,脉冲响应即输出增量收敛于原平衡工作点,则线性系统是稳定的。即输出增量收敛于原平衡工作点,则线性系统是稳定的。第4页,共37页,编辑于2022年,星期一 设系统闭环传递函数设系统闭环传递函数闭环特征方程闭环特征方程 设特征根互不相等,系统闭环传递函数可改写如下设特征根互不相等,系统闭环传递函数可改写如下闭环特征根闭环特征根 则系统脉冲响应的拉氏变换则系统脉冲响应的拉氏变换第5页,共37页,编辑于2022年,星期一得系统的脉冲响应函数得系统的脉冲响应函数(1)(
5、1)若若 为实数为实数若系统稳定若系统稳定(2)(2)若若 为复数为复数发散发散系统脉冲响应的拉氏变换系统脉冲响应的拉氏变换第6页,共37页,编辑于2022年,星期一(3)(3)若特征根为若特征根为k k个实根,个实根,r r个复数根个复数根系统稳定的充要条件:系统稳定的充要条件:线性系统稳定的充分必要条件是它的所有特征线性系统稳定的充分必要条件是它的所有特征根都具有负实部,或都位于根都具有负实部,或都位于s s平面的左半平面,则系平面的左半平面,则系统稳定。统稳定。说明:说明:若系统有极点位于虚轴上或原点,其余极点均位于若系统有极点位于虚轴上或原点,其余极点均位于s s平面的平面的左半平面,
6、则零输入响应趋于等幅振荡或恒定值,此时系统处于左半平面,则零输入响应趋于等幅振荡或恒定值,此时系统处于临界稳定状态临界稳定状态,属于不稳定系统。,属于不稳定系统。第7页,共37页,编辑于2022年,星期一 例例已知单位反馈系统的开环传递函数已知单位反馈系统的开环传递函数 ,试说明系统,试说明系统是否稳定。是否稳定。系统稳定系统稳定解:解:系统的闭环传递函数为系统的闭环传递函数为特征方程特征方程特征根特征根 系统稳定的充要条件:系统稳定的充要条件:全部特征根都具有负实部全部特征根都具有负实部。第8页,共37页,编辑于2022年,星期一系统稳定的必要条件系统稳定的必要条件闭环特征方程闭环特征方程
7、若使全部特征根若使全部特征根 p1,p2,pn 均具有负实部,系统必须满足以下均具有负实部,系统必须满足以下条件:条件:n 特征方程的各项系数特征方程的各项系数 ai的符号都相同。的符号都相同。n 特征方程的各项系数特征方程的各项系数 ai0;系统稳定的必要条件:系统稳定的必要条件:特征方程的各项系数特征方程的各项系数ai 0。第9页,共37页,编辑于2022年,星期一劳斯(劳斯(Routh)稳定判据)稳定判据设系统的闭环特征方程式为如下标准形式设系统的闭环特征方程式为如下标准形式劳斯数列(劳斯表)劳斯数列(劳斯表)特点:特点:逐行计算,运逐行计算,运算中的空位置零,算中的空位置零,系数呈上三
8、角形系数呈上三角形。g g1 1=a=an n第10页,共37页,编辑于2022年,星期一线性系统稳定的充要条件 劳斯表中第一列各值为正。劳斯表中第一列各值为正。若劳斯表第一列中出现小于零的数值,若劳斯表第一列中出现小于零的数值,系统就不稳定,且第一列各系数符号的改变系统就不稳定,且第一列各系数符号的改变次数,等于系统特征方程具有正实部根的个次数,等于系统特征方程具有正实部根的个数。数。第11页,共37页,编辑于2022年,星期一 例例已知系统的特征方程已知系统的特征方程 ,试用试用劳斯判据判别系统的稳定性。劳斯判据判别系统的稳定性。第一列的系数第一列的系数都为正数,系都为正数,系统稳定统稳定
9、解:解:(1)特征方程的所有系数均为正实数,满足系统稳定的必要)特征方程的所有系数均为正实数,满足系统稳定的必要条件。条件。(2)列劳斯数列表)列劳斯数列表系统稳定的充分条件:系统稳定的充分条件:劳斯数列中第一列劳斯数列中第一列所有元素的符号均为正号所有元素的符号均为正号。第12页,共37页,编辑于2022年,星期一 例例已知系统的特征方程已知系统的特征方程 ,试用劳斯,试用劳斯判据判别系统的稳定性。判据判别系统的稳定性。有两个正实部有两个正实部的特征根,系的特征根,系统不稳定统不稳定解:解:(1)系统特征方程的系数不满足系统稳定的必要条件。)系统特征方程的系数不满足系统稳定的必要条件。(2)
10、列劳斯数列表)列劳斯数列表劳斯数列表中第一列各元素符号改劳斯数列表中第一列各元素符号改变的次数等于系统特征方程具有正变的次数等于系统特征方程具有正实部特征根的个数实部特征根的个数。第13页,共37页,编辑于2022年,星期一劳斯判据的特殊情况劳斯判据的特殊情况1、劳斯数列中某一行的第一列元素为零,但其余不为零或不全、劳斯数列中某一行的第一列元素为零,但其余不为零或不全为零为零 用一个很小的用一个很小的正数正数 来代替第一列等于零的元素,然后来代替第一列等于零的元素,然后继续计算劳斯数列中其余各个元素,最后令小正数继续计算劳斯数列中其余各个元素,最后令小正数 趋于零趋于零 ,再按照前述方法对系统
11、稳定性进行判据。,再按照前述方法对系统稳定性进行判据。第14页,共37页,编辑于2022年,星期一第一列为零第一列为零系统不稳定,有两系统不稳定,有两个根具有正实部个根具有正实部 例例已知系统的特征方程已知系统的特征方程 ,试用,试用劳斯判据判别系统的稳定性。劳斯判据判别系统的稳定性。解:解:(1)特征方程的所有系数均为正实数,满足系统稳定的必要条件。)特征方程的所有系数均为正实数,满足系统稳定的必要条件。(2)列劳斯数列表)列劳斯数列表第15页,共37页,编辑于2022年,星期一2、若劳斯数列表中某一行、若劳斯数列表中某一行(设为第(设为第k行)行)的所有系数均为零,则的所有系数均为零,则说
12、明在根平面内存在一些绝对值相同,但符号相异的特征根。说明在根平面内存在一些绝对值相同,但符号相异的特征根。(3)(3)解辅助方程,得到所有数值相同、符号相异的根。解辅助方程,得到所有数值相同、符号相异的根。(1)(1)用用(k-1)(k-1)行元素构成行元素构成辅助多项式辅助多项式,辅助方程的最高阶次,辅助方程的最高阶次为为(n-k+2)(n-k+2),然后,然后s s的次数递降的次数递降2 2。(2)(2)将辅助多项式对将辅助多项式对s s求导,其系数作为全零行的元素,继续求导,其系数作为全零行的元素,继续完成劳斯表。完成劳斯表。第16页,共37页,编辑于2022年,星期一解得解得 例例系统
13、特征方程系统特征方程 ,试用劳斯,试用劳斯判据判别系统的稳定性。判据判别系统的稳定性。解:解:(1)特征方程的所有系数均为正实数,满足系统稳定的)特征方程的所有系数均为正实数,满足系统稳定的必要条件。必要条件。(2)列劳斯数列表)列劳斯数列表全零行全零行辅助多项式辅助多项式有两个共轭虚根,系统临界稳定。有两个共轭虚根,系统临界稳定。第17页,共37页,编辑于2022年,星期一 例例已知系统特征方程已知系统特征方程 ,试用劳斯判,试用劳斯判据判别系统的稳定性。据判别系统的稳定性。解:解:(2)列劳斯数列表)列劳斯数列表(1)系统特征方程的系数不满足系统稳定的必要条件。)系统特征方程的系数不满足系
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