电动力学电动力学二二唯一性定理精选文档.ppt
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1、电动力学电动力学二二唯一性定理本讲稿第一页,共二十二页2一、静电问题的唯一性定理一、静电问题的唯一性定理区域区域V可以分为若干个均匀区域可以分为若干个均匀区域Vi,每一,每一均匀区域的电容率为均匀区域的电容率为 i。设。设V内有给定的电内有给定的电荷分布荷分布(x)。电势。电势在均匀区域在均匀区域Vi内满足泊内满足泊松方程松方程本讲稿第二页,共二十二页3除此之外,要完全确定除此之外,要完全确定V内的电场,内的电场,还必须给出还必须给出V的外边界的外边界S上的一些条上的一些条件。件。在两区域在两区域Vi和和Vj的分界面上满足边值关系的分界面上满足边值关系本讲稿第三页,共二十二页4唯一性定理:唯一
2、性定理:设区域设区域V内自由电荷分内自由电荷分布为布为(x),在,在V的外的外边界边界S上给定上给定(i)电势)电势s或或(ii)电势的法向倒数)电势的法向倒数(/n)s则则V内的电场唯一地确定。内的电场唯一地确定。也就是说,在也就是说,在V内存在唯一的解,它在每个均匀区域内满足内存在唯一的解,它在每个均匀区域内满足泊松方程,在两均匀区域分界面上满足边值关系,并在泊松方程,在两均匀区域分界面上满足边值关系,并在V的的边界边界S上满足给定的上满足给定的 或或/n值。值。本讲稿第四页,共二十二页5证明:证明:设有两组不同的解设有两组不同的解 和和 满足唯一性定理的条件。满足唯一性定理的条件。由由得
3、得令令本讲稿第五页,共二十二页6在两均匀区界在两均匀区界面上有面上有在整个区域在整个区域V的边界的边界S上有上有或或本讲稿第六页,共二十二页7考虑第考虑第i个均匀个均匀区区Vi的界面的界面Si上上的积分的积分对所有分区对所有分区Vi求和求和在均匀在均匀区界面区界面 内部边界积分相互抵消内部边界积分相互抵消 本讲稿第七页,共二十二页8这说明这说明 和和 至多只能相至多只能相差一个常量。但电势的差一个常量。但电势的附加常量对电场没有影附加常量对电场没有影响,这就证明了唯一性响,这就证明了唯一性定理。定理。而右边被积函数而右边被积函数 i()2 0。上式成立的条件是上式成立的条件是在在V内各点上都有
4、内各点上都有=0,即在,即在V内,内,外边界因外边界因 积分亦为零积分亦为零或或 本讲稿第八页,共二十二页9二、有导体存在时的唯一性定理二、有导体存在时的唯一性定理当有导体存在时,由实践当有导体存在时,由实践经验我们知道,为了确定经验我们知道,为了确定电场,所需要条件有两种电场,所需要条件有两种类型:类型:一类是给定每个导体上一类是给定每个导体上的电势的电势i;另一类是给定每个导体上另一类是给定每个导体上的总电荷的总电荷Qi。本讲稿第九页,共二十二页10如图设在某区域如图设在某区域V内内有一些导体,除去导有一些导体,除去导体内部以后的区域为体内部以后的区域为V。设。设V内有给定电内有给定电荷分
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