第2章 非线性方程与方程组的数值解法.ppt
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1、第2章非线性方程与方程组的数值解法本章重点介绍求解非线性方程的几种常见和有效的数值方法,同时也对非线性方程组求解,简单介绍一些最基本的解法.无论在理论上,还是在实际应用中,这些数值解法都是对经典的解析方法的突破性开拓和补充,许多问题的求解,在解析方法无能为力时,数值方法则可以借助于计算机出色完成.2.1二分法求非线性方程 确定方程的有根区间 计算根的近似值的根的方法分为两步:首先确定有限区间:依据零点定理。设,且,则方程在区间上至少有一个根。如果在上恒正或恒负,则此根唯一。等步长扫描法求有根区间用计算机求有根区间:等步长扫描法。设h0是给定的步长,取,若则扫描成功;否则令,继续上述方法,直到成
2、功。如果则扫描失败。再将h 缩小,继续以上步骤。等步长扫描算法算法:(求方程的有根区间)(1)输入;(2);(3),若输出失败信息,停机。(4)若。输出,已算出方程的一个根,停机。等步长扫描算法(5)若。输出为有根区间,停机(6),转3)注:如果对足够小的步长h扫描失败。说明:在内无根在内有偶重根二分法用二分法(将区间对平分)求解。令若,则为有根区间,否则为有根区间记新的有根区间为,则且二分法对重复上述做法得且二分法设所求的根为,则即取为的近似解求方程f(x)=0的根的二分法算法求方程f(x)=0的全部实根的二分法算法求方程f(x)=0的全部实根的二分法算法例题例1设方程解:取h=0.1,扫描
3、得:又即在有唯一根。2.2一般迭代法2.2.1迭代法及收敛性对于有时可以写成形式如:迭代法及收敛性考察方程。这种方程是隐式方程,因而不能直接求出它的根,但如果给出根的某个猜测值,代入中的右端得到,再以为一个猜测值,代入的右端得反复迭代得迭代法及收敛性若收敛,即则得是的一个根迭代法的几何意义交点的横坐标y=x简单迭代法将变为另一种等价式。选取的某一近似值,则按递推关系产生的迭代序列。这种方法算为简单迭代法。例题例2试用迭代法求方程在区间(1,2)内的实根。解:由建立迭代关系k=10,1,2,3.计算结果如下:例题精确到小数点后五位例题但如果由建立迭代公式仍取,则有,显然结果越来越大,是发散序列。
4、迭代法的收敛性定理(压缩映像原理)设迭代函数在闭区间上满足(1)(2)满足Lipschitz条件即有且。压缩映像原理则在上存在唯一解,且对,由产生的序列收敛于。压缩映像原理证明:不失一般性,不妨设否则为方程的根。首先证明根的存在性令压缩映像原理则,即由条件2)是上的连续函数是上的连续函数。故由零点定理在上至少有一根压缩映像原理再证根的唯一性设有均为方程的根则因为0L1,所以只可能,即根是唯一的。压缩映像原理最后证迭代序列的收敛性与n 无关,而0L1即压缩映像原理误差估计若满足定理条件,则这是事后估计,也就是停机标准。L越小,收敛速度越快。这是事前估计。选取n,预先估计迭代次数。对于方程 构造的
5、多种迭代格式 ,怎样判断构造的迭代格式是否收敛?收敛是否与迭代的初值有关?根据数学知识,我们可以直接利用以下收敛条件:(1)当有(2)在a,b上可导,并且存在正数L1时,称为超线性收敛;当p=2时,称为平方收敛或二次收敛。迭代法收敛的阶迭代法收敛的阶定理定理设是方程的不动点,若为足够小的正数。如果且,则从任意出发,由产生的序列收敛到,当时敛速是线性的。迭代法收敛的阶迭代法收敛的阶证明:满足压缩映像原理迭代法收敛的阶迭代法收敛的阶敛速是线性的线性收敛到。Steffensen迭代格式由线性收敛知当n充分大时有即Steffensen迭代格式展开有:Steffensen迭代格式已知,则,改成 n=0,
6、1,2,Steffensen迭代格式也可以改写成其中迭代函数Steffensen迭代法收敛的充要条件定理Steffensen迭代法收敛的充要条件证明:必要性Steffensen迭代法收敛的充要条件充分性Steffensen算法的收敛速度Steffensen算法的收敛速度定理在定理2.2.3假设下,若产生的序列至少平方收敛到。Steffensen算法的收敛速度Steffensen算法的收敛速度Steffensen算法的收敛速度Steffensen算法的收敛速度由定理知至少以平方速度收敛到。也就是说:简单迭代法是线性收敛;Steffensen迭代至少平方以上收敛(加速收敛)。例题例试用Steffe
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- 第2章 非线性方程与方程组的数值解法 非线性 方程 方程组 数值 解法
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