人教版初二数学复习资料.pdf
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1、目录第一讲 全等三角形提高.-2 -第二讲 全等三角形强化及角平分线.-9 -第三讲 等腰三角形.-1 4 -第四讲 勾股定理.-2 1 -第五讲 平行四边形.-2 6 -第六讲 特殊的平行四边形(一).-3 2 -第七讲 特殊的平行四边形(二).-3 7 -第八讲 梯 形.-4 2 -第九讲 梯形中的辅助线及中位线定理.-4 7 -第十讲 一次函数.-5 2 -第十一讲 反比例函数.-5 8-第十二讲 分式方程.-6 4 -初二复习教材第一讲全等三角形提高【中考考情】1、全等三角形在中考中考察很灵活,各种题型都有可能出现2、找出儿何图形中的全等三角形,然后在利用全等三角形的性质是压轴题的常考
2、方式【知识要点】1、全等形:能够重合的两个图形叫做全等形。两个三角形是全等形,就说它们是全等三角形,两个全等三角形,经过运动后一定重合,互相重合的顶点叫做对应顶点;互相重合的边叫做对应边;互相重合的角叫做对应角。2、两个三角形全等的性质:(1)全等三角形的对应角相等、对应边相等。(2)全等三角形的对应边上的高对应相等。(3)全等三角形的对应角平分线相等。(4)全等三角形的对应中线相等。(5)全等三角形面积相等。(6)全等三角形周长相等。(以上可以简称:全等三角形的对应元素相等)3、两个三角形全等的判定:(1)三组对应边分别相等的两个三角形全等(简 称S S S或“边边边”),这一条也说明了三角
3、形具有稳定性的原因。(2)有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(S A S或“边角边”)0(3)有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(A S A或“角边角”)o(4)有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等(A A S或“角角边”)(5)直角三角形全等条件有:斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(H L或“斜边,直角边”)S S S,S A S,A S A,A A S,H L均为判定三角形全等的定理。注意:为什么S S A不能判断两个三角形全等,并且能够画出反例的图形。【例题解析】考 点1、全等形的概念例1:几何中,我们把上述所例举的“一模一样”的图形叫做“全等形”,以下是描述全
4、等形的三种不同的说法,你认为哪种说法是恰当的?(1)形状相同的两个图形叫全等形;(2)大小相等的两个图形叫全等形;(3)能够完全重合的两个图形叫全等形.变 式 1:如图中有6个条形方格图,图中有哪些实线围成的图形是全等的?(3)z(5)Z(4)(6)变 式 2:全等三角形又叫合同三角形,平面内的合同三角形分为真正合同三角形和镜面合同三角形.假设A A B C 和 A B G 是全等(合同)三角形,且点A与&对应,点 B与 B对应,点 C与 G对应,当沿周界A-B-C-A 及 A-B i-G-A i 环绕时,若运动方向相同,则称它们是真正合同三角形(如图):若运动方向相反,则称它们是镜面合同三角
5、形,如图:两个真正合同三角形,都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合;而两个镜面合同三角形要重合,则必须将其中的一个翻转1 80 ,在下图中的各组合三角形中,是镜面合同三角形 的 是()考点2、两个三角形全等的性质例 2:图中所示的是两个全等的五边形,指出它们的对应顶点、对应边与对应角并说出图中标的a、b、c、d、e、。、各字母所表示的值.初二复习教材变 式 1:如图所示的是三个全等的四边形,请指出它们的对应顶点、对应边与对应角,并写出图中标的a,b,c,d,a ,B,y各字母所表示的值.变 式 2:如图,O A B 绕点。逆时针旋转8 0到 0C)的位置,已知N A O B =4 5,则乙4
6、。等 于()A.5 5 B.4 5 C.4 0 D.35 变式3:如图,A B C A D E,B C 的延长线交DA 于 F,交 DE 于 G,Z A C B =Z A E D =Q5 N C A。=10,/8 =/。=25,求 N O bB、N O G 8 的度数.CAB考点3、两个三角形全等的判定证题的思路:找 夹 角(S A S)已 知 两 边 找 直 角找 第 三 边(S S S)f若 边 为 角 的 对 边,则 找 任 意 角(AAS)已知一边一角*边 为 角 的 邻 边找 已 知 角 的 另 一 边(S A S)找 已 知 边 的 对 角(A A S)找 夹 已 知 边 的 另
7、一 角(A S A)已知两角,找 两 角 的 夹 边(ASA)找 任 意 一 边(A A S)例1:如 图,在A BC与尸中,给 出 以 下 六 个 条 件 中(1)AB=DE(2)BC=E F(3)A C=D F(4)ZA=Z D(5)N B=N E(6)N C=/F,以其中三个作为已知条件,不熊判断A BC与 )1尸 全 等 的 是()A.(1)(5)(2);B.(1)(2)(3);C.(4)(6)(1);D.(2)(3)(4)变 式1:如图,四 边 形A B C D中,AC垂 直 平 分8。于 点。.(1)图中有多少对全等三角形?请把它们都写出来;(2)任 选(1)中的一对全等三角形说明
8、理由.初二复习教材变式 2:已知,如图,A B=CD,DF_ L A C 于 F,BE _ L A C 于 E,DF=BE 求证:A F=CE 变式3:已知,如图,A B、CD相交于点0,A CO丝BDO,CE DF。求证:CE=DF,变式4:如图,正方形A BCD的边长为1,G 为 CD边上一动点(点 G 与 C、D 不重合),以CG为一边向正方形A BCD外作正方形GCE F,连接DE 交 BG 的延长线于H。求证:Z X BCG也Z DCE BH DE小结:在以上例题变式练习中,可以归纳概括出目前常用的证明三角形全等时寻找非已知条件的途径缺边时:图中隐含公共边;中点概念;等量公理其它.缺
9、角时:图中隐含公共角;图中隐含对顶角;三角形内角和及推论角平分线定义;平行线的性质;同(等)角 的 补(余)角相等;等量公理;其它.【课后作业】1、已知,如图,ABAC,AB=AC,AD1AE,AD=AE。求证:BE=CD。2、已知,如图,四边形ABCD是正方形,4 E C F 是等腰直角三角形,其中CE=CF,G 是 CD与EF的交点,求证:ZBCF义ZXDCE3、如图,在 A A B C 中,D 在 A B 上,且 CAD和 A CBE都是等边三角形,说明:(1)DE=AB,(2)ZEDB=60初二复习教材4、如图,正方形A BCD中点P 是边A B上的一个动点,且CQ=A P,PQ 与
10、CD相交于点E,当 P在边AB 上运动时,试判断PDQ 的形状并证明。第二讲全等三角形强化及角平分线 中考考情1、在尺规作图中,常考作一个叫的角平分线,要求保留作图痕迹。2、很少单独考角平分线的性质,一般都是与儿何题结合起来一起考察【知识要点】1、角平分、或的性质定理:在角的平分线上的点到这个角两边的距离相等.2、角平分线判定定理:角的内部到角的两边的距离相等的点在角平分线上【例题解析】全等三角形解题方法:-一 般来说考试中线段和角相等需要证明全等,因此我们可以来采取逆思维的方式,来想要证全等,则需要什么条件,另一种则要根据题目中给出的已知条件,求出有关信息,然后把所得的等式运用(AAS/AS
11、A/SAS/SSS/HL)证明三角形全等。例 1:将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠,BC,8。为折痕,求 NC8O的度数变 式 1:如图所示,D 在 A B 上,E在 A C 上,A B=A C,N B=/C.求证:A D=A ED,EBC初二复习教材变式2:沿矩形A B C D 的对角线B D 潮折A A B D 得4 A B D,A D交 B C 于 F,如图所示,A B D F 是何种三角形?请说明理由.例 2:如图,已知在a A B C 中,N C=2/B,/1 =N2,求证:A B=A C+C D。变 式 1:如图2 0 所示,已知A B=D C,A E=D F,C E=F B,
12、求证:A F=D E.C E F B(2 0)变式2:如图所示,已知A C B、Z X F C D 都是等腰直角三角形,且 C 在 A D 上,AF的延长线与B D交于E,请你在图中找出一对全等三角形,并写出证明它们全等的过程.一般在判定三角形全等时,我们可以用到以下解题技巧:(1)综合法:由已知条件出发,根据正确的定义、定理逐步说理得出结论的方法(思维:顺向而行)(2)分析法:从结论出发,利用已学过的定理,定义或法则为依据,逐步逆推,朝已知条件靠拢,直至达到己知条件。(思维:逆向思维)(3)分析综合法:在数学学习中,要灵活把握综合法和分析法两种思维方法用分析法探索思路寻求解法用综合法进行有条
13、理的表述(先分析后综合;边分析边综合)考点2、角平分线性质定理例 3:如图,E是N A O B 的平分线上一点,E C J _O A,E D J _O B,垂足分别是C,D.试证明O C=O D.变式 1:如图,在 A A B C 中,Z C=9 0,A C=B C,A D 平分/CAB,交 B C 于点 D,D E I A B于点E,若ABDE的周长是4 c m,求 AB的长.变式2:已知:如图,Z X A B C 中,Z A C D=9 0 ,A D 平分N B A C 交 B C 于 D,D E L A B 于 E求证:A D C E初二复习教材变式3:已知:A 4 6 C 中,N6和N
14、C的平分线相交于过作比 的平行线交力瓦4 7 于 2产求证:E F=BE+C F考点3、角平分线判定定理例 4:如图,B D=C D,B F A C,C E 1 A B。求证:点 D 在 NA4C的平分线上。变 式 1:如图,Z B=Z C=9 0 ,M 是 BC的中点,0M平分N4CC,求证:AM平分N D 4 B.【课后作业】1、(1)如图 1,/如 庐6 0 ,C D1 OA 于 D,C E 1 OB于 E,且。龙,则N宓=如 图,在相C 中,/e9 0 ,4 是角平分线,DE 1 AB于 E,且 游 3 c m,BD=5 c m,则2、如图所示,Z 1=Z 2,A E _L O B 于
15、 E,B D J _0 A 于 D,交点为C,则图中全等三角形共有()A.2 对 B.3 对 C.4对 D.5 对3、如图所示,在A B C 中,A B=A C,A D 是a A B C 的角平分线,D E 1 A B,D F 1 A C,垂足分别是E,F,则下列四个结论:A D 上任意一点到C,B的距离相等;A D 上任意一点到A B,A C的距离相等;B D=C D,A D 1 B C;Z B D E=Z C D F,其中正确的个数是().A.1 个 B.2个 C.3 个 D.4个4、在也4 B C 中,乙4 =2 N B,C D 是N/C3的平分线,求证:B C=A D+A C5、已知如
16、上右图,6是您的中点,AD-BC,AB-K.DE 交 AB于 F 同求i i E:(l)A D B C (2)AF=BF.初二复习教材第三讲等腰三角形【中考考情】1、等腰三角形的性质可以单独考察,也可以综合考察,一般出现在7 分 题 和 9分题中O2、等腰三角形中最常用的辅助线(三线合一)是解题的关键,腰和底的分情况讨论是易错点。【知识要点】1、等腰三角形的性质定理:等腰三角形有两边相等。定理:等腰三角形的两个底角相等(简 写 成“等边对等角”)。推 论 1:等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边,这就是说,等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。推 论 2:等边三角形
17、的各角都相等,并且每一个角都等于6 0 。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形。2、等腰三角形的判定定理:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”。)推 论 1:三个角都相等的三角形是等边三角形。推 论 2:有一个角等于6 0 的等腰三角形是等边三角形。推 论 3:在直角三角形中,如果一个锐角等于30,那么它所对的直角边等于斜边的一半。3、等边三角形定义:三条边都相等的三角形性质:三边相等,三角相等且都为60度,加等腰三角形性质。判定:(1)有三条边相等的三角形叫做等边三角形;(2)有三个角相等的三角形叫做等边三角形;(3)有两个内角都等于60
18、的三角形叫做等边三角形;(4)有一个内角等于60的等腰三角形叫做等边三角形。【例题解析】考点1、等腰三角形的性质例 1:如图,等腰三角形ABC中,AB=AC,一腰上的中线BD将这个等腰三角形周长分成15和 6 两部分,求这个三角形的腰长及底边长。【分析】要分AB+AD=15,CD+BC=6和 AB+AD=6,CD+BC=15两种情况讨论。变 式 1:如图,已知:AABC中,AB=AC,1)是 BC上一点,且 AD=DB,DC=CA,求 N B AC 的度数。变式 2:已知:如图,AABC 中,AB=AC,CD J.AB 于 1)。求证:NBAC=2NDCB。初二复习教材变式3:如图,在中,/比
19、 2 N C,AD1 BC 于 D,求证:C D=ABBD.请思考:(1)若在切上截取D D B,连结AE,如何证明.(2)若 延 长 或 到E,使BE-AB,连结A E,是否可以证出结论.说明:1 .作等腰三角形底边高线的目的是利用等腰三角形的三线合一性质,构造角的倍半关系。因此添加底边的高是一条常用的辅助线;2 .对线段之间的倍半关系,常 采 用“截长补短”或“倍长中线”等辅助线的添加方法,对角间的倍半关系也同理,或 构 造“半”,或构造“倍”。变式4:(1)等腰三角形中,两条边的长分别为4 和 9,则它的周长是.(2)等腰三角形的顶角是4 0 ,则 它 的 底 角 度 数 是.(3)等腰
20、三角形顶角的外角是1 3 0 ,它 的 一 个 底 角 是.(4)等腰三角形中,和 顶 角 相 邻 的 外 角 的 平 分 线 和 底 边 的 位 置 关 系 是.(5)若一个等腰三角形有一个角为1 0 0,则另两个角为.(6)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为3 0 ,则顶角为.考点2、等腰三角形的判定例 2:如图所示,ADAE,BDC E,B、D、E、C 在同一线上,试判断/比的形状,说明理由.(用两种不同的方法证明)B DE C变 式 1:如图,A A B C 中 B A=B C,点 D是 A B 延长线上一点,D F _ L A C 于 F交 B C 于 E,求证:4 D B E 是
21、等腰三角形.变式2:如图,A A B C 中,A B=A C,Z A=3 6 ,B D、C E 分别为N A B C 与/A C B 的角平分线,且相交于点F,则图中的等腰三角形有()A.6 个 B.7 个 C.8个 D.9个变式3:如图,在 A B C 中,点E在 A8上,点。在上,B D =B E ,N B A D =N B C E ,4。与CE相交于点尸,试判断 A F C 的形状,并说明理由.BDC初二复习教材考点3:等边三角形例3:已知:如图,4 A B C为正三角形,D是B C延长线上一点,连结A D,以A D为边作等边三角形A D E,连结C E,用你学过的知识探索A C、C D
22、、C E三条线段的长度有何关系?试写出探求过程.变 式1:如图,已知点B、C、D在同一条直线上,A B C和4CDE都是等边三角形.B E交 A C 于 E A D 交 C E 于 H,求证:(1)A B C E A A C D.(2)A B C F A A C H变式2:如图,在等边 A B C中,点O,E分别在边8 C,A8上,且B O =A E,AO与C E交于点F .(1)求证:A D CEx(2)求NOFC的度数.DBC变式3:如图,在 A A B C 中,D 在 A B 上,且 C A D 和 C B E 都是等边三角形,说明:(1)D E=A B,(2)Z E D B=6 0 本
23、节知识可以归纳为:性质腰 与 底 边 不 等 的 等 腰 三 角 形 等边对等角三 线合一等角对等边定义判定等 腰 三 角 形 等 边 三 角 形4性质.三 边相等三 角 都相等有 一 个 角 等 于60。的等腰判 定,三角形三 边 都 相 等(或 三 角 都 相 等)的三角形初二复习教材【课后作业】1、下列说法中,正确的有()等腰三角形的两腰相等;等腰三角形的两底角相等;等腰三角形底边上的中线与底边上的高相等;等腰三角形是轴对称图形.A.1 个 B.2个 C.3 个 D.4个2、如果a A B C 的/A,NB的外角平分线分别平行于B C,A C,则A B C 是()A.等边三角形 D.等腰
24、三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形3、在平面直角坐标系x O y 中,已知A(2,-2),在 y 轴确定点P,使A O P 为等腰三角形,则符合条件的点有()A.2 个 D.3个 C.4 个 D.5 个4、如图,在下列三角形中,若 A B=A C,则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是()A.(1)(2)(3)B.(1)(2)(4)C.(2)(3)(4)D.(1)(3)(4)5、已知等腰三角形的两边长是1 c m 和 2 c m,则这个等腰三角形的周长为 c m.6、三角形三内角的度数之比为1 :2 :3,最大边的长是8 c m,则最小边的长是 c m.7、如图,Z A=1 5,A B
25、=B C=C D=D E=E F,则NG E F=_ .(第7 题)8、等腰三角形的底边长为6 c m,一腰上的中线把这个三角形的周长分为两部分,这两部分之差是3 c m,那 么 这 个 等 腰 三 角 形 的 腰 长 是.9、如图,Z A B D=Z A C D=6 0 ,Z A D B=90-l/2 Z B D Co 求证:A A B C 是等腰三角形。ABCD第四讲勾股定理【中考考情】1、勾股定理解直角三角形一般出现在6分题或者是7分题中,而且以常见直角三角形为主。2、考察知识点主要以解三角形,判定直角三角形为主。【知识要点】1、勾股定理:直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.表
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