2023年高考数学压轴题圆锥曲线专题第09讲:斜率问题一含解析.pdf
![资源得分’ title=](/images/score_1.gif)
![资源得分’ title=](/images/score_1.gif)
![资源得分’ title=](/images/score_1.gif)
![资源得分’ title=](/images/score_1.gif)
![资源得分’ title=](/images/score_05.gif)
《2023年高考数学压轴题圆锥曲线专题第09讲:斜率问题一含解析.pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2023年高考数学压轴题圆锥曲线专题第09讲:斜率问题一含解析.pdf(39页珍藏版)》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。
1、2023年高考数学压轴题圆锥曲线专题第09讲:斜率问题一(解析版)第九讲:斜率问题(一)【学习目标】基础目标:掌握椭圆,双曲线,抛物线的简单性质;应用目标:掌握直线与椭圆,双曲线,抛物线的位置关系的判断,斜率的求解;拓展目标:能够熟练应用点差法推导中点弦公式,并灵活应用中点弦和相关第三定义.素养目标:通过数形结合,转化与化归等思想方法,培养独立思考和逻辑分析能力,提升学生的数学运算和数学抽象的核心素养.【基础知识】1、直线与圆锥曲线的位置关系设直线/:A r+8),+C=O,圆锥曲线C(x,y)=O,把二者方程联立得到方程组,消去y(x)得到一个关于x(y)的方程a r?+bx+c=0(ay2
2、+by+c-0).(I)当时,/()0 方程有两个不同的实数解,即直线与圆锥曲线有两个交点;/=0 =方程有两个相同的实数解,即直线与圆锥曲线有一个交点;/8 0)的弦,A(X ,X),5(X 2,%),弦 中 点 M(x。,泗),则 45所在直线的a b斜率为k=-i,弦AB的斜率与弦中点M和椭圆中心0的 连 线 的 斜 率 之 积 为 定 值.o。2 2(2)AB为双曲线 当=1(a0/0)的弦,4(菁,必),8(9,力),弦中点M(xo,yo),则A 8所在直线Q_ b的斜率为4=1 ,弦AB的斜率与弦中点M 和双曲线中心0 的连线的斜率之积为定值r.ay0a-(3)在抛物线y 2=2
3、p x(p 0)中,以M(xo,yo)为中点的弦所在直线的斜率A=旦.丫0【考点剖析】考点一:位置 关 系(交点个数)例 1.已知抛物线C:/=2 p x(p 0)的焦点尸到准线的距离为2,过点产(0,1)的直线/与抛物线C 只有一个公共点.(1)求抛物线C 的方程;(2)求直线/的方程.变式训练1:已知0,F 分 别 是 抛 物 线 的 顶 点 和 焦 点,动点M与点0 的距离是它与点F 的距离的一半.(1)求动点M的轨迹;(2)若过点(2,2)的直线1 与动点M的轨迹有且只有一个交点,求直线1 的方程.2 2变式训练2:已知双曲线C:方=1(“0,6 0)的焦距为4,且过点卜3,2#).(
4、1)求双曲线方程;(2)若直线/:y=丘+2 与双曲线C有且只有一个公共点,求实数出的值.变式训练3:在平面直角坐标系X。),中,已知点P 到两点M(百,0),N(-百,0)的距离之和等于4,设点P 的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程.(2)若直线y=+2 与曲线C有公共点,求实数左的取值范围.考点二:中点弦公式(椭圆:点差法)例 1.已知椭圆。:鸟+耳=1(8 0)的离心率为巫,点(2,扬 在 C上.a b2 2(1)求C的方程;(2)直线/不过原点。且不平行于坐标轴,/与C有两个交点A8,线段AB的中点为.证明:直 线 的斜率与直线/的斜率的乘积为定值.变式训练1:已知动点P 与平面上点
5、例(-1,0),N(1,O)的距离之和等于2 0.(1)求动点尸的轨迹C方程;(2)若经过点E(l,g)的直线/与曲线C交于A ,5两点,且点E为 A 8的中点,求直线/的方程.2 2变 式 训 练 2:已 知 椭 圆 E:孑+方=l(a b 0)的 左,右焦点分别为6,尸 2,点 M(3,l)在 E上,且制+|M段=4 6.(1)求 E的标准方程;若 直 线 1 与 E交于A,B两点,且 A B 中点为尸(-2,1),求直线1 的方程.丫 2 v2变式训练3:已知椭圆3+=l(a 6 0)的左、右焦点分别为K,工,过鸟且与*轴垂直的直线交椭圆于点尸,直线P片与y轴的交点为(1)求椭圆的离心率
6、;(2)过点M(2,o)且斜率不为。的直线/交椭圆于A、B点,线段A8的中点为点。,求证:直线/的斜率与直线。的斜率的乘积为定值.考点三:中点弦公式(抛物线:点差法)例 1.已知抛物线C:V=2 p x(p 0)的焦点为F,第四象限的一点尸(2,%)在 C上,且归q=4.(1)求 C 的方程和m的值;(2)若直线1 交 C于 A,B两点,且线段AB中点的坐标为(1,1),求直线1 的方程及线段AB的长.变式训练1:已知F 是抛物线C:y2=4 x 的焦点,直线/交抛物线于M、N 两点.(1)若直线/过点F 且NxFM=60。,求|月0|;若尸(2,1)平分线段M N,求直线/的方程.变式训练2
7、:已知抛物线C.y2=2px(p 0)上的点M(3,M 到其焦点F的距离为5.(1)求 C的方程;(2)过点N(l,2)的直线1 交 C于 A,B两点,且 N 为线段A8的中点,求直线1 的方程.考点四:中点弦公式(双曲线:点差法)例 1.己 知 双 曲 线 二=1(。0力0)的一条渐近线方程为y =2x,一个焦点到该渐近线的距离为1.a2 b-(1)求C的方程;经过点M(L 4)的直线/交C于 A8两点,且 M为线段A3 的中点,求/的方程.变式训练1:已知双曲线C的渐近线方程为y =g x,且 P(36,8)是双曲线上一点.(1)求双曲线C的标准方程及离心率;(2)过点M(3,8)的直线与
8、双曲线C交于不同的两点A、B,且线段A B 恰好被点M 平分,求直线A B 的方程.变式训练2:已知双曲线的中心在原点,焦点在x 轴上,离心率e =豆,焦距为2 V L(1)求该双曲线方程.(2)是否定存在过点P。)的直线/与该双曲线交于A、8两点,且点P是线段A 8的中点若存在,请求出直线/的方程,若不存在,说明理由.变 式 训 练 3:已知双曲线:C:=-工=1(。0,。0)与 二-工=1 有相同的渐近线,且经过点a2 b2 4 2M(V 2,-V 2).(1)求双曲线C的方程;(2)已知直线x-y +相=0 与双曲线C交于不同的两点A、8,且线段A3 的中点在圆f+V=20上,求实数机的
9、值.考点五:椭圆的第三定义(推导公式)2 2 6例 1.已知椭圆C:/+/=1 (。6 0)的离心率为三,并且经过点P(_ 1,(1)求椭圆C的方程;(2)设点户关于坐标原点。的对称点为。,点%)(/*1)为椭圆C上任意一点,直线的斜率分别为匕,k”求证:仁%为定值.2 2i变式训练1:已知椭圆C:+S =l(6 0)的离心率为e=上顶点尸(0,百),M、N为椭圆上异于点P且关于原点对称的两点.(1)求椭圆C的标准方程;求 证(%为定值.变式训练2:已知椭圆C:a +,=l(4b0)的离心率为孝,其右焦点到直线x-y +6 =0 的距离为卡.(1)求椭圆C 的标准方程;直 线 y=(kH O)
10、交椭圆C 于M,N 两点,椭圆右顶点为A,求证:直线A ,4 V 的斜率乘积为定值,并求出该定值.2 2变式训练3:已知0为坐标原点,双曲线C:=-2=1 (。0,。0)的离心率为G,点P在双曲线Ca-b上,点K,F 2分别为双曲线C的左右焦点,(|P用T尸周)2=4.(1)求双曲线C的标准方程;已知点A(-1,O),8(1,0),设直线P A,P B的斜率分别为勺,网.证明:2为定值.【当堂小结】1、知识清单:(1)直线与椭圆,双曲线,抛物线的位置关系;(2)圆锥曲线的中点弦问题;2、易错点:点差法的计算;3、考查方法:数形结合思想,数与形的转化;4、核心素养:数学运算,数学抽象.【过关检测
11、】1.已知曲线C上任一点尸与点尸(1,0)的距离与它到直线X+1=0的距离相等.(1)求曲线C的方程;(2)求过定点M(0,1),且与曲线C只有一个公共点的直线的方程.2 2A2.已知椭圆C:*+方=1(。6 0)的左、右焦点分别为不死,点E在椭圆C上,且 助 了 心,同 耳,(1)求椭圆C的方程:(2)直 线1过点P(-2,1),交椭圆C于点A,B,且点P恰为线段A B的中点,求直线1的方程.3.已知 M C 的周长为4 6 +8且点A B 的坐标分别是卜2 6,0),(2 ,0),动点C 的轨迹为曲线Q.(1)求曲线。的方程;直线/过点P(U),交曲线。于”,N 两点,且 P 为MN的中点
12、,求直线/的方程.4.己知椭圆C的焦点为耳(-1,0),6(1,0),过工的直线与椭圆C交于A,B两点.若.4 8 的周长为4石.(1)求椭圆C的方程;(2)椭圆C 中以M(-叱,1)为中点的弦所在直线方程.22 25.双曲线C:二-斗=1(“0力 0)的离心率为2,经过C 的焦点垂直于x 轴的直线被C所截得的弦长为12.a b(1)求 C 的方程;(2)设 A,B是 C上两点,线段AB的中点为俯(5,3),求直线AB的方程.2-)6.已知双曲线*0)的 渐 近 线 方 程 为 产 地,焦点坐标为(0,土 研(1)求 C 的方程;经过点M(l,4)的直线1 交 C于 A,B两点,且 M为线段A
13、B的中点,求 1 的方程.7 .双 曲 线C:=-=l(a 0,b 0),离 心 率e=,虚轴长为2.b-3(1)求双曲线C的标准方程;(2)经过点P(L 1)的直线/与双曲线C相交于A,B两点,且尸为A3的中点,求直线/的方程.8 .已知椭圆C:5 +=l(n 人0)的离心率为e =;,上顶点尸(0,6),M、N为椭圆上异于点P且关于原点对称的两点.(1)求椭圆C的标准方程;求 证。为定值.g79.在平面直角坐标系中,动点P到点*2,0)的距离和它到直线/:x=;的距离之比为会动点P的轨迹为曲线 C.(1)求曲线C 的方程,并说明曲线C 是什么图形;(2)己知曲线C 与X 轴的交点分别为AB
14、,点M 是曲线c上异于48的一点,直线M 4 的斜率为勺,直线M B的斜率为心,求证:用也为定值.2 2厂+V1 0.已知椭圆C:下十京=1 过点 A(-G,O),其右焦点为尸(1,0).(1)求椭圆C 的方程;设尸为椭圆C 上一动点(不在X 轴 上),M 为 中 点,过原点。作”的平行线,与直线x=3 交于点Q.问:直线OM与尸。斜率的乘积是否为定值?若为定值,求出该值;若不为定值,请说明理由.第九讲:斜率问题(一)【学习目标】基础目标:掌握椭圆,双曲线,抛物线的简单性质;应用目标:掌握直线与椭圆,双曲线,抛物线的位置关系的判断,斜率的求解;拓展目标:能够熟练应用点差法推导中点弦公式,并灵活
15、应用中点弦和相关第三定义.素养目标:通过数形结合,转化与化归等思想方法,培养独立思考和逻辑分析能力,提升学生的数学运算和数学抽象的核心素养.【基础知识】1、直线与圆锥曲线的位置关系设直线/:A r+8 y +C =0,圆锥曲线C:/(x,y)=0,把二者方程联立得到方程组,消去y(x)得到一个关于x(y)的方程ox?+bx+c=0(ay2+by+c=0).(1)当时,/0 o 方程有两个不同的实数解,即直线与圆锥曲线有两个交点;/=()=方程有两个相同的实数解,即直线与圆锥曲线有一个交点;/0。方程无实数解,即直线与圆锥曲线无交点.(2)当a =0 时,方程为一次方程,若。/0,方程有一个解,
16、此时直线与圆锥曲线有一个交点;若6=0,CH0,方程无解,此时直线与圆锥曲线没有交点.2、圆锥曲线的中点弦问题(1)A5为椭圆rx2 +七V2=1(。人0)的弦,4 为,弘),3(工 2,必),弦 中 点 M(xo,%),则 43所在直线的a b bx b 斜率为攵=1,弦他的斜率与弦中点M和椭圆中心。的连线的斜率之积为定值-彳.a%。%2 y2(2)A 8 为双曲线 -=1(。0,。0)的弦,A(X|,y),8(,),弦中点 M(xo,y o),则 A B 所在直线a b 的 斜 率 为 女h2乜x,弦 AB的斜率与弦中点M和双曲线中心O的连线的斜率之积为定值,b2.为a(3)在抛物线y 2
17、=2 p x(p 0)中,以历(xo,y0)为中点的弦所在直线的斜率比=2.%【考点剖析】考点一:位置 关 系(交点个数)例 1.已知抛物线。:丫 2=2。X 5 0)的焦点尸到准线的距离为2,过点P(O,D 的直线/与抛物线C只有一个公共点.(1)求抛物线C的方程;(2)求直线/的方程.【答案】V=4x;(2)x=0 或 y =i或 y =x+i.解析:因抛物线口丫2=2。X 5 0)的焦点下到准线的距离为2,于是得P=2,所以抛物线C的方程为y 2=4 x.(2)当直线/的斜率存在时,设直线/为了=h+1,由 卜 二,;消 去 y 并整理得:k B+(2 0 4)x +l =0,y=kx+
18、l当A =0 时,x=!,点(!,1)是直线/与抛物线C唯一公共点,因此,k=0,直线/方程为y =l,当时,A =(2 A:-4 尸-4 公=0=%=1,此时直线/与抛物线C相切,直线/方程为y =x+l,当直线/的斜率不存在时,y轴与抛物线C有唯一公共点,直线/方程为x=0,所以直线/方程为为x=0 或 y =i或 y =x+i.变式训练1:已知0,F分别是抛物线y 的顶点和焦点,动点M 与点0 的距离是它与点F的距离的一半.(1)求动点M 的轨迹;(2)若过点(2,2)的直线1 与动点M 的轨迹有且只有一个交点,求直线1 的方程.【答案】(1)点 M 的轨迹是以N(0,-l)为圆心,半径
19、为2的圆;(2)5 x-1 2 y +1 4 =0 或x-2 =0.解析:设 M(x,y),依题意0(0,0),F(0,3),由|MO|=g|MF|得:2 Th3?,化简得V+y 2+2 y 3 =0,即Y+(y+i)2=4,所以,点 M 的轨迹是以N(0,-1)为圆心,半径为2的圆.(2)当直线1 的斜率存在时,设其方程为),2 =Z(x 2),即 依-y +2-2 k=0,因直线1 与动点M 的轨迹有且只有一个交点,由 知,即直线1 与圆N 相切,由圆心N(0,-1)到直线1 的距离等于半径2 得:金 贵=2,解得无=有,直 线 1 的方程为5 x-1 2 y+1 4 =0,当直线1 的斜
20、率不存在时,其方程为x=2,显然与圆N 相切,所以直线1 的方程为5 x 1 2 y +1 4 =0或 一 2 =0.变式训练2:已知双曲线C:a2 b2=1(0,0)的焦距为4,且过点卜3,2 面).(1)求双曲线方程;(2)若直线/:y =+2与双曲线C有且只有一个公共点,求实数女的值.【答案】手 上=1;土 案,y/l.3解析:(1)由题意可知双曲线的焦点为(-2,0)和(2,0),根据定义有 2a=|V(-3 +2)2+(2 V 6-0)2-7(-3-2)2+(2 -0)2l=2 .。=1,又c 2=a?+82,所以2=1,c2=4 b2=3.所求双曲线C的方程为Y 一 =1.3(2)
21、因为双曲线C的方程为=所以渐近线方程为),=士岛;y=kx+2由42 丁,消去y整理得(3-公)丁-4 6-7=0.x-=13当3-公=0 即 =石时.,此时直线/与双曲线的渐近线平行,此时直线与双曲线相交于一点,符合题意;当 3-A 2 H o 即 工 6 时,由 =(Y A y+4 x7 x(3-k2)=0,解得=五,此时直线/双曲线相切于一个公共点,符合题意.综上所述:符合题意的4 的所有取值为土有,士币.变式训练3:在平面直角坐标系xOy 中,已知点尸到两点M(W,0),,(-6,0)的距离之和等于4,设点P的轨迹为曲线c.(1)求曲线C的方程.(2)若直线y =H+2 与曲线c有公共
22、点,求实数%的取值范围.2【答案】(1)+y2=1;(2),kk -.4 -2 2解析:(1)由己知得|PM+|PN|=4 2 6 =|M N|由椭圆定义可知,轨迹C是以 ,N 为焦点,焦距长2 r =26,长轴长2 a=4的椭圆.所 以 层=/_。2=4 _ 3 =,所以曲线C的方程是工+丁=1.4y=kx+2(2)由2 _ 得(1+4 公卜2 +6 依+1 2 =0.彳+)一 =(1 6 4)2 4 x 1 2 x(1+4/)=6 4&2 4 8,因为直线5 =区+2 与曲线C有公共点,所以*(),即6 4 6-4 82 0,解 得&4-或我2亘2 2故实数及的取值范围是/伏4-半或无考点
23、二:中点弦公式(椭圆:点差法)例 1.已知椭圆C:二+与=1(。”0)的 离心率为立,点(2,忘)在 C上.a b 2(1)求C的方程;(2)直线/不过原点。且不平行于坐标轴,/与C有两个交点AB,线段A8 的中点为.证明:直线QM 的斜率与直线/的斜率的乘积为定值.【答案】+4=18 4 2解析:(I )由 题 意 有 也?=冬 5+11,解得2=8方=4,所以椭圆C的方程为.+*1.(I I )设 直 线/:y =A x+b(%H 0,b N0),4(%,刈,8(9,%),(加,加),把 丫 =依+。代 入,+5 =1 得8 4(2 后 2+1 产+4 血+2 -8 =0.故知M=k xM
24、+b=?,于是直线 OM 的斜率QM=瓷=-2,即”k=_g,2 2K+1 2K+1 X”ZK z所以直线OM 的斜率与直线/的斜率乘积为定值.变式训练1:已知动点尸与平面上点M(-l,0),N(l,0)的距离之和等于2 忘.(1)求动点尸的轨迹C方程;若经过点(l,g)的直线/与曲线C交于A,B 两点,且点E为 A 8的中点,求直线/的方程.r2 3【答案】(1)5 +丁=1;(2)x+y-|=0解析:(1)设点P的坐标为5,y),1 P M i+|P N|=2 夜 2=|A/N|,.由椭圆定义可知,点尸轨迹是以M,N为焦点的椭圆,.“=&,c =l,.方=/_。2=,.动点尸的轨迹c的方程
25、为1+丁=1.(2)解:显然直线/的斜率存在且不等于0,设 对必),B(x2,y2),则 占+毛=2,乂+%=1,又A、8 在椭圆上,所 以 乎+短=1,竽+%,两式相减得日4+短-%2=0 ,即正 当 土 豆+(乂一%)5+%)=0所 以 也 孕 乡 +卜5-必)=0,即汨I =7,即 配=7,所以直2 2 X 一线/的方程为y-g =-l(x-l),即x+y-|=0;2 2变 式 训 练 2:已 知 椭 圆 E:=l(a b 0)的 左,右 焦 点 分 别 为 小 鸟,点 M(3,l)在 E上,且MF+MF2=4-j3.(1)求 E的标准方程;(2)若直线1 与 E交于A,B两点,且 A
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 2023 年高 数学 压轴 圆锥曲线 专题 09 斜率 问题 解析
![提示](https://www.deliwenku.com/images/bang_tan.gif)
限制150内