运用同构求值-2023年高考数学核心压轴题(新高考地区专用).pdf
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1、专题1 6 运用同构求值【方法点拨】含有指对运算的方程称之为超越方程,遇到相关的求值问题,可考虑“同构”,其关键是对已知等式进行变形,使 其“结构相同”,然后构造函数利用函数的单调性,最终利用两方程“同解”来求解.【典型题示例】例 1(2022新 高 考 I =f M和 y=g(x)共有三个不同的交点,并且从左到右的三个交点的横坐X,+,标分别为玉,龙 2,3,则 X-=-【答案】2【分析】由“等高”得力=/(%)=/(工2)=8()=8。3),即e*-=ex-x2=x2-n x2=x3-In,这样就建立玉,马,马间的等量关系,为达到“减元”之目的,需在纷杂的关系中,梳理出e*1-玉=z-In
2、%、e*一%=&-In 尤 3两组关系,发 现“指对同现”想“同构”,从而得 到 西=也 ,刍=/2,代入求解即得解.【解析】令/。)=/一 1 =0 得 x=O所以函数/(%)在(f,O)上为减函数,在(0,4 8)上为增函数,且/。焉=0)=1令 g(x)=1_,=0 得彳=1X所以函数g(x)在(0,1)上为减函数,在(1,+00)上为增函数,且 gOOmin=g 6 =l.故函数/(x)=e*-x 和g(x)=x-ln x 有相同的最小值1如下图所示,当直线丁 =。过函数/(%)和 g(x)的交点时,满足题意,此时h,故X 0 1 工 3得 eX-x2=x2-In x2=x3-I n
3、x3即c x e ”x9x3-I n x3=eX2-x2-x2=x2-I n x2一 方 面 eX-x=x2-I n x2,而 eA,一芭二ex,-I n eX-g(e*)所以 g(X 2)=g(e )又因为0 e“i l,0 x2 xT 1 I结构特征,对右侧实施变形一!一lo g/T =9幅 产J ogjT,设g(x)=x9即可.与T【解析】由题意得:9%=-粤 上V-xo _ L -L J _ 9%(%-1)=71 0 g J T=9k g 产.lo g J T设 g(x)=x-9 在(l,+o o)上单增故 有/u l o g g M,即9 m=L.9x(x0-l)=l.例3(2022
4、 江苏七市三模)已知函数丁=%+廿的零点为西,y x +lnx的零点为2,则A.玉+%2 B.玉2。C.eX|+l nx2=0 D.xx2-xl+x2l【答案】B C D【解析】X +ex =x2+l n%2 =0,则玉+e*=l n%2 +nX2,显然 f(x)=x+ex 单增,故 =In%等价于 6为=x2,则 x+x2=xy+ex=0,故 A错误;因为/(%)=x +e x单增,且/(0)=l,故/(不)=0/(0),则玉 0故2 =0,则B正确;ex+In9=%+加 工2 =,则 C 正确;D.2%1 +%2 1 =%1(%2 1)1 -%2,因为2 +l n%2 =0 1+l nl,
5、故 1 ,则%(%2 1)1 +/1 ,则玉一1,故 D正确.例 4 已知实数再,满足x g*1=/,x2(l nx,-2)=e5,则玉龙2=.【答案】e5【分析】由已知条件考虑将两个等式转化为统一结构形式,令1 1 1 超-2 =/,%2=/+2,得到t e =e 研究函数f(x)=x e*的单调性,求出为 关系,即可求解.【解析一】实数再,工 2 满足率*=/,x2(l nA2-2)=e5,xt 0,x2 e2,nx2-2 -1 0,x2=e+2,则 te=e3,/(x)=xex(x 0),f(x)=(x+l)e*0(x 0),所以,f(x)在(0,+8)单调递增,而/(x)=/(/)=e
6、3,X =f =In -2,xxx2=x2(l n x2-2)=e5.【解析二】对为八=/两边取自然对数得:In玉+芯=3,对X 2(l n%2-2)=e 5 两边取自然对数得:l nX j+l n(l n/-2)=5 (:)为使两式结构相同,将(X)进一步变形为:(山/一2)+1 1 1(1 1 1%-2)=3设/(x)=l n x+x,则尸(划=+1 0 x所以/(X)在(0,+8)单调递增,f(x)=3 的解只有一个.玉=In龙 2-2 ,/.xix2=(l nx,-2)-e5点评:两种解法实质相同,其关键是对己知等式进行变形,使其“结构相同,然后构造函数,利用函数的单调性,利用是同一方
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