2018年北京高三模拟考试理科数学试题分类汇编----立体几何.pdf
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1、2 0 1 8 年北京高三模拟考试理科数学试题分类汇编一一立体几何(2 0 1 8 年朝阳期末)5.某四棱锥的三视图如图所示,网格纸上小正方形的边长为1,则该四棱锥的体积为(B),4A.4 B.3C 昔 D.4 a8.如 图 1,矩形A B C Q中,4)=6 .点 E 在 A 8边上,/月俯 视 图C E _ L O E 且 A E =1.D f-刁。4。沿 直 线。石向上折起成44。.记 二 面 角 A。一 4 的平面角为0,当6e(0,1 8 0)时,存在某个位置,使 C E LDA;存在某个位置,使。E,AC;任意两个位置,直线。石和直线4c所成的角都不相等.以上三个结论中正确的序号是
2、(C)A.B.C.(2 0 1 8 年东城期末)(7)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为(A)-6(B)-3(C)-2(D)1(2 0 1 8 年海淀期末)(7)某三棱锥的三视图如图所示,则下列说法中:三棱锥的体积为16三棱锥的四个面全是直角三角形A E B图 1Ai图 2D.一h5-1 -H b3-1 H正(主)视图 侧(左)视图Z二 I-木俯视二图主视图 左视图俯视图三棱锥四个面的面积中最大的值是咚所有正确的说法是(D )(A)(B)(C)(D)(2 0 1 8 年西城期末)1 3.从一个长方体中截取部分几何体,得到一个以原长方体的部分顶点为顶点的凸多面体,其三视图如图所示.该几
3、何体的表面积是_ 3 6 _.3 T侧(左)视图(2 0 1 8 年丰台期末)俯视图6 .某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥最长的棱的棱长为(A)A.2 B.7 5 C.2 夜D.3(2 0 1 8 年石景山期末)7 .九章算术卷五商功中有如下问题:今有刍蔑(底面为矩形的屋脊状的几何体),下广三丈,袤四丈,上袤二丈,无广,高一丈,问积几何.下图网格纸中实线部分为此刍薨的三视图,设网格纸上每个小正方A.3 立方丈 B.5 立方丈 C.6 立方丈 D.1 2 立方丈(2 0 1 8 年昌平期末)5.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的四个侧面中,面积的最小值为(B)A.1B.V2C.2 D.2
4、 V2H-2 主视图俯视图左视图(2 0 1 8 年通州期末)8.如图,各棱长均为1 的正三棱柱A B C A gG,M,N 分别为线段A/,4c上的动点,若点M,N所在直线与平面A C GA 不相交,点。为M N中点,则。点的轨迹的长度是(B)A.也 B.也2 2BC.1 D.V21 3.在正方形网格中,某四面体的三视图如图所示.己知小正方形网格的边长为1,那么该四面体的四个面中,面积最大的面的面积是 1 2.(2 0 1 8 年房山期末)(7)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体的体积是(B)(A)120(B)60(C)24(D)20(2 0 1
5、 8 年朝阳一模)6.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱铢的体积等于(俯视图A.24B.23c._2D.I3(2 0 1 8 年东城一模)(1 2)某几何体的三视图如图所示,该几何体的表面积为 1 2 +273.正(主 视图k 2 1侧(左)视图(2 0 1 8 年海淀一模)(6)如图所示,一个棱长为1的正方体在一个水平放置的转盘上转动,用垂直于竖直墙面的水平光线照射,该正方体在竖直墙面上的投影的面积记作S ,则 S的值不可能是(D )6 4(A)1 (B)y (C)y(20 18 年西城一模)32(D)4.正三棱柱的三视图如图所示,该正三棱柱的表面积是(D )正(主)视图(A)3后(B)V2
6、 /(C)6 +7 3(D)6 +2君 V俯视图侧(左)视图1 4.如图,在长方体 ABCDABIG A 中,M=A8=2,B C =1 ,点 尸在侧面A A 5 片 上.若点P到直线AA和CD的距离相等,则 AP的最小值是(20 18 年丰台一模)(6)某三棱锥的三视图如图所示,24(A)(B)338(C)2(D)3(20 18 年石景山一模)5.若某多面体的三视图(单位:c m)如图所示,则此多面体的体积是(A)A.7 3一 c m82B.a n 3C.5 3-c m6C 1 3D.c m32(20 18 年朝阳二模)12.已知某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的底面和三个侧面中,直角三
7、角形的个数是 3主视图侧视图俯视图14.如图,已知四面体4 8 C D 的棱4 9平面a,且 A B =&,其余的棱长均为1.四面体A BC。以4 3 所在的直线为轴旋转x 弧度,且始终在水平放置的平面a上方.如果将四面体A BC。在平面。内正投影面积变看成关于x的函数,记为S(x),则函数S(x)的最小值为 4.5(x)的最小正周期为 兀(20 18 年东城二模)(12)如图,已知正方体A 8 C O-A,9的边长为1,若过直线3 D的平面与该正方体的面相交,交线围城一个菱形,则该菱形的面积为.娓(20 18 年海淀二模)(14)如图,棱长为2 的正方体AB CD4 MC|A中,M 是棱AA
8、的中点,点尸在侧面A B B A 内,若 P垂直于CM,则APB C的面积的最小值为述.5(20 18 年西城二模)4.某正四棱锥的正(主)视图和俯视图如图所示,该正四棱锥的侧面积是(B)(A)12(B)4 M(C)127 2(D)8 石俯视图(20 18 年丰台二模)(14)如图,在矩形A B C。中,A f i =4,AD =2E为边A8的中点.将 A O E 沿 翻 折,得到四棱锥4 一OE3 C.设 线 段 的 中 点 为 M,在翻折过程中,有下列三个命题:总 有 B M 平面4。七;三 棱 锥。一4。体积的最大值为4学A/2;AEB存在某个位置,使。石与AC所成的角为9 0.其中正确
9、的命题是 写 出 所 有 正 确 命 题 的 序 号)(20 18 年昌平二模)7.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的所有面中最大面的面积是(B)(20 18 年房山二模)(6)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的最长棱为(B)K 3 0-2-N主视图 左视图(A)4(B)27 2(20 18 年顺义二模)4.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是(一H-4-1正住)视图0俯视图8 5/3 16 /TA.B.C.8 V 3 D.163 3(C)V 7 (D)2B)金侧(左)视图解答题部分:(2018年朝阳期末)17.(本小题满分14分)如图,在三棱柱 A B C-A 4G 中,
10、A C B =90,D -是线段A C的中点,且平面ABC./(I )求证:平面 4 B C,平面 A41G C;/(H)求证:4。平面A 3。;4(I I I )若 48_LAC1,AC =B C =2 ,求 二 面 角 6AA B-C的余弦值.(I )证明:因为NAC3=90,所以BCJ.A C.根据题意,A。,平面ABC,B C u平面A B C,所以因为A。AC =D,所以平面A&GC.又因为B C u平面A BC,所以平面ABC,平面M G。.4分(H)证明:连接4月,设做 A 8=E,连接DE.J 公根据棱柱的性质可知,E为A g的中点,/i 因为O是A C的中点,/金滓/所以D
11、E/B .立 乙。X/又因为O E u平面AB。,B耳。.平面AB。,所以8。平面ABD.8分(I I I)如图,取A 3的中点F,则。F7/BC,因为8 C 1 A C,所以_LAC,又 因 为 平 面ABC,所以。两两垂直以。为原点,分别以为x,y,z轴建立空间坐 标 系(如图).由(I)可知,平面AAGC,所以 8CLAC.又因为 AB LAC;,BC AB =B,所以AC|_L平面A BC,所以AC;,A。,所以四边形A41G。为菱形.由已知AC=BC=2,则A(),1,0),C(0,l,0),3(2,1,0),4(。,。,6).设平面A AB的一个法向量为n=(x,y,z),因为A4
12、,=(0,1,6),A8=(2,2,0),所 以 卜“4=。,即 卜 百z=0,、-AB=0,2x+2y=Q.设z=l,则=(6,-6,1).再设平面ABC的一个法向量为/n=(x,y,z j,因为C4,=(0,-1,6),CB=(2,0,0),所以 0 4,=。,,即m CB=0,一弘+屈|=0,2x1=0.设4=1,则m=(0,6,1).故|cos 肛|=m nI对同1-3+11 V7 万由图知,二面角AABC的平面角为锐角,所以二面角A-的余弦值为V77.14分(2018年东城期末)(17)(本小题14分)如图,在四棱锥E-ABCD中,平面AOE_L平面A8C,0,M分别为线段AD,DE
13、的中点.四边形BC O O 是边长为1 的正方形,A E =D E ,A E DE.(I)求证:C M 平面A BE;(I I)求直线OE与平面A8E所成角的正弦值;(III)点 N 在直线A上,若平面BMN1平面ABE,求线段AN的长.证明:(I)取 线 段 中 点 P.连接BP、MP.因为点为。E 中点,所以MPA),M P =A D.2又 因 为 8 c o e 为 正 方 形,所 以 BCA。,BC-A DBC/M P ,BC=MP.所以四边形BCMP为平行四边形,所以C M BP.因为CM 即 n-D G=Q1 x/32y 2Z,令 z=l 得,y=Q,x =0所以3 =(0,6,1
14、)是平面 C D的一个方向量.UUU 1 L r吁!r AB/7 6 V 6c o s =-uu F-=产=-AB-n V 2-2 47分9分所以AB与平面A C。所成角的正弦值为手1 0 分(H)解二:在 平 面 内 作由BE,平面4。石,建系如图.则 A(o,g,8(1,0,0),C(l,l,0),0(),1,0),(),(),().5分xu u u r 1 J 3 u u u iD =(0,-,-),D C=(1,0,0),设平面A.C D的法向量为n=(x,y,z),则rr u m r r,6n-A D=0 _ 1 丫 _ z=0 r r u u u r ,即 2 2 令 z=l 得,
15、y=n-D G=Q所以3 =(o,6,1)是平面A。的一个方向量.7分UUU 1 L r干果r ,&员a V 3 V 6 八c o s =-uu =产=.9 分AB-n V 2-2 4所以AS与平面A C。所成角的正弦值为手.i o 分(I I I)解:三棱锥和三棱锥N ACD 的体积相等.理由如下:1 x/3 1 u u u-i方法一:由 M(0,w,=),N(l,0),知MN=(1Q,1),则U U U iMN-n O 1 1 分因为MN N 平面A。,.1 2 分所以MN平面A C T).1 3 分故点M、N 到 平 面 的 距 离 相 等,有三棱锥M-ACQ和 N A。同底等高,所以体
16、积相1 4 分方法二:如图,取。E中点P,连接MP,NP,MN .因为在 A D E 中,M,P分别是A E,OE的中点,所以MP AD因为在正方形BCD E中,N ,P分别是B C,OE的中点,所以N P/C D因为 MP N P=P,MP,NPu 平面 M N P,AD,COu 平面 A。所以平面MNP 平面A。.1 1 分因为MN u平面M N P,.1 2 分所以MN 平面A。.1 3 分故点M、N到平面AC。的距离相等,有三棱锥M-AC。和 N-A。同底等高,所以体积相等.1 4 分法二 法三方法三:如图,取 A。中点Q,连接MN,M Q,CQ.因为在第。石中,M ,。分别是4E,4
17、。的中点,所以A/Q/E O 且=因为在正方形BCOE中,N 是 8c的中点,所以N C E。且 NC=,E。2所以M Q/N C 且 M Q =N C,故四边形MNCQ是平行四边形,故M N I/C Q.1 1 分因为CQu平面A C D,“0平面4。,.1 2 分所以MN 平面4。.1 3 分故点M、N到平面A。的距离相等,有三棱锥M-A 8 和N-ACO同底等高,所以体积相等.1 4 分(2 0 1 8 年西城期末)1 7.(本小题满分1 4 分)如图,三棱柱 A B C Ag G 中,平面 A 4,G C,M =A B =A C=2,4 4,4 0 =6 0 .过 A4的平面交g C
18、1 于点E,交 B C 于点F.(I )求证:A C _ L 平面ABG;(I I)求证:四边形AAEF为平行四边形;(I I I)若=2,求二面角B-AG-尸的大小.BC 3解:(I)因为平面A4GC,所 以 C L A B.1分 因为 三棱柱A3C-A4G中,M =AC,所以四边形4 41G。为菱形,所以 A C _ L 4 G.3 分 所 以AC,平面A B C-4分(I I)因 为A A BB,AAu平面84G。,所 以A A平面B 8 1 G C.5分 因 为 平 面4 4,W平面B B|G C =EF,所 以A A/E F.6分 因为 平面A B C平面A4G,平面 售石尸 平面A
19、 B C =AF,平面4 4|E F 平面A4G=4E,所以 A.E/A F.7 分 所 以 四 边 形 尸为平行四边形.8分(I I I)在平面 A 4 1 c l e 内,过 A作 A z_ L A C.因 为A 8 J _平面A 41c l。,如图建立空间直角坐标系4-盯z.9分 由题意得,A(0,0,0),3(2,0,0),C(0,2,0),4(),1,右),0(0,3,百).n p 7-7-4 A因 为 正=所 以f i F =3BC=(-3 T b所以 F(-,-,0).3 3由(I )得平面A3G的法向量为AC=(0,1,-括).设平面A CtF的法向量为 =(x,y,z),则:
20、0,即.n-A F=0,3 y+屈=0,2 4 cx +y=0.1 3 31 1 分 令 y=l,贝 i J x =-2,z=/3 ,所以 w=(2,1,A/3).所 以|c o s ,蒜|j”,竺I=也.InllACI 21 3 分由图知二面角B-AG-尸的平面角是锐角,所以二面角8-AG-尸的大小为4 5 .1 4 分(2 0 1 8年丰台期末)1 7.在四棱锥P ABCO中,底面A8C。是矩形,侧棱P A J底面A 3 C O,E,尸分别是A B,PC的中点,PA=AD=2,C D =母.(I)求证:E F /平面P A D :(II)求PC与平面E F D所成角的正弦值;(III)在棱
21、8C上是否存在一点M,使得平面PAM _L平面EFO?若存在,求 出 也 的 值;若不存在,B C请说明理由.1 7.解:(I)证明:取PD中点G,连接AG,FG.因为 G分别是PC,PO的中点,所以FGC O,且 尸6 =工。.2因为A8CO是矩形,E是4 8中点,所以 AE 尸G,A E =F G .所以AEEG为平行四边形.所以E F AG.又因为AG u平面PA。,E F u平面PA。,所以EE 平面PAD.(I I)因为 PA J_ 平面 ABC。,所以 PA _ L AB,PA L A D.因为四边形ABC。是矩形,所以A3 LAZ).如图建立直角坐标系A xyz,(B、所以 E
22、I 2 ,0,0J,uuui所以EF=(O,1),u u mD E、-2,0 .,1,1 ,0(0,2,。),设平面E F D的法向量为n=(x,y,z),因为4rr u u nn E F =0r u u mn D E=0y+z=0所以4*2 y=0令y=l,所以z=-l 1L,所以X=2J2又 因 为 用=(J I 2,2上设P C与平面E F D所成角为。,/Ui u r所以 si n。=co s(PC.nuiu rP C n 4+2+2 44所以PC与平面E F D所成角的正弦值为y.(III)因为侧棱P A J.底面所以只要在8C上找到一点M,使得即可证明平面P AM 1平面EFD.设
23、 B C 上存在一点 M,则 M(应,f,0)(fw 0,2 ),UUU/所以A M=(V i/0).u u n因为E D =告2,0,,ULILI ULIU 1所以令=即一l +2,=0,所以1 =.2所以在BC存在一点M,使得平面PAM_L平面EF。,且也=B C 4(2018年石景山期末)1 7.(本小题共14分)如图,在四棱锥P-ABC。中,底面ABC。为矩形,平面PCD J_平面ABC。,B C =1,A B =2,P C=P D =0,E为P4 中点.(I)求证:P C/平面B E D;(II)求二面角A-尸。一。的余弦值;P M(III)在棱PC上是否存在点例,使得BM _LAC
24、?若存在,求二二的值;若不存在,说明理由.P C解:(I)证明:设AC与8。的交点为 尸,连接E F.因为A8CD为矩形,所以尸为A C的中点,在APAC中,由已知E为PA中点,所以E 73/PC,.2分又E F u平面SEO,平面8E。,.3分所以P C/平面BED.4分(H)解:取C。中点0,连接PO.因为APCO是等腰三角形,。为CO的中点,所以 POLCZ),又因为平面P C D 1平面AB C D,因为 POu 平面 PC。,P O L C D,所以尸0,平面ABC。.5分取A 3中点G,连接。G,由题设知四边形ABC。为矩形,所以。FLCQ,所以POLOG.如图建立空间直角坐标系O
25、-型,则A(1,T,O),C(0,l,0),尸(0,0,1),D(0,-1,0),仇 1,1,0),0(0,0,0),G(l,0,0).UUU6分AC=(1,2,0),PC=(O,1,-1).UUULllUl平面P C D的法向量为OG=(1,0,0),1 UUIU设,OG的夹角为a,所以cosaV 639分由图可知二面角A-PC。为锐角,所以二面角A-P C-B的余弦值为310分UUU UUU(III)设M是棱PC上一点,则存在使得PM=/IPC.UUU UUU因此点 M(0,4,l /I),=(-1,2-1,1-2),AC=(-1,2,0).12 分UUU UUU 1由 3M AC=0,即
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