专题15三角函数与解三角形第二缉(解析版)-备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021年).pdf
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1、备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015 2021)专题15三角函数与解三角形第二缉1.【2018年贵州预赛】若边长为6 的正 B C 的三个顶点到平面a 的距离分别为1,2,3,贝 ijM BC的重心 G 到平面a 的距离为.【答案】0,r,2【解析】(1)当 B C 的三个顶点在平面a 的同侧时,由公式d=小 产 求 得 重 心 G 到平面a 的距离为2.(2)当AABC的三个顶点中,其中一点与另两点分别在平面a 的异侧时,求得重心G 到平面a 的距离分别为 0,故答案为:0,|,/22.2018年贵州预赛】函数y=2(5-x)sinnx-1(0 x 10)的 所 有 零 点
2、 之 和 等 于.【答案】60【解析】函数y=2(5-x)sinnx-1(0 x ABx AC ,AB=AC=二时取等号.2 49 25.【2018年浙江预 赛】设x,y 6R满足x-6 7 7-4/二歹+12=0,则x的取值范围为.【答 案】1 4-2 V HS XW 14+2旧【解 析】由 6yfy 4“y+12=0=Q x y-2)2+(仔 3)2=1.令 JK y -2=COS0,y/y 3=sin。=x=(2+cos。)?+(3 4-sin J?=14+V52sin(0+(p)(sin(p=),所以 14-2V13%14+2/13.6.【2018年重庆预 赛】在ABC中,sin24+
3、sin2C=2018sin2B,则 照 但0迪tan4+tanB+tanC【答 案】嘉【解 析】因为 siMa+sin2c=2018sin2B所以 M+c2=2018-ft2注意到:tan4 4-tanB 4-tanC=tanA tanB-tanC(tan/l+tanC)tan25tan/l+tan5+tanC(tan A+tanC)tan2B1siMB _ Q /2ac _sinA sinC cosB ac a2+c2-b2/故答案为:高1tan/1-tanF tanC tanA tanC.tanF2b222018bz-b2 20177.2018年 陕 西 预 赛】设2MBe的内角A,B,C
4、所对 的 边 分 别 为见4 c,且4 C=会见仇c成 等 差 数 列,则cosB=.【答 案】;4【解 析】分 析:根据三角形内角和定理及其关系,用N C表示/A与NB;根据a,b,c成等差,得到2b=a+c,利用正弦定理实现边角转化。得到关于/C的等式;由c o s B =c o s g-2 C)=s i n 2C 即可得到最后的值。详解:A+B+C=;A-C=所以A =+C ,B =1-2 C同取正弦值,得s i n 4 =s i r)G +C)=c o s C71sinB=s i n(-2C)=c o s 2C因为Q,b,C 成等差,所以2b =Q +C,由正弦定理,边化角2c o s
5、 2C =c o s C +s i n C,根据倍角公式展开2(c o s C +s i n C)(c o s C s i n C)=c o s C +s i n C所以c o s C-s i n。=等式两边同时平方得(c o s C -s i n C)2=化简2s i n C c o s C =即s i n 2c =-4 4 4而 c o s B =c o s C 2C)=s i n 2C =3点睛:本题考查了三角函数正弦定理的应用,三角函数求值中各个边角转化和角的形式变化,需要熟练掌握各个式子的相互转化,属于难题。8.(20 1 8 年陕西预赛】设z M B C 的 内 角 所 对 的 边
6、 分 别 为 a,b,c,且4 C =a,b,c 成等差数列,则cosB=,【答案】;4【解析】分析:根据三角形内角和定理及其关系,用/C表示/A与/B;根据a,b,c 成等差,得到2b =a +c,利用正弦定理实现边角转化。得到关于NC的等式;由c o s B =c o s g-2 C)=s i n 2c 即可得到最后的值。详解:A+B+C=-.A-C=所以A =+C ,B =1-2 C同取正弦值,得s i r t 4 =s i n(+C)=c o s tnsinB s i n(2C)=c o s 2C因为Q,b,c 成等差,所以2b =a +c,由正弦定理,边化角2c o s 2C =c
7、o s C +s i n C,根据倍角公式展开2(cosC+sinC)(cosC-sinC)=cost+sinC所以cosC-sinC=5等式两边同时平方得(cosC-sinC)2=%化简2sinCcosC=即sin2c=:而 cosB=cos 仔 2C)=sin2C=|点睛:本题考查了三角函数正弦定理的应用,三角函数求值中各个边角转化和角的形式变化,需要熟练学握各个式子的相互转化,属于难题。9.(2018年陕西预赛】设A4BC的内角4 B,C所对的边分别为a,b,c,且4 一 C=a,b,c成等差数列,则cosB=.【答案】74【解析】分析:根据三角形内角和定理及其关系,用N C表示N A与
8、N B;根据a,b,c成等差,得到2b=a+c,利用正弦定理实现边角转化。得到关于/C的等式;由cosB=c o s g-2 C)=sin2c即可得到最后的值。详解:A+B +C=n ;4-C=所以4=:+C,B=-2 C同取正弦值,得sirh4=sin(+C)=cosCITsinF=sin(2C)=cos2C因为Q,b,C成等差,所以2b=Q +C,由正弦定理,边化角2cos2C=cosC+s in C,根据倍角公式展开2(cosC+sinC)(cosC-sinC)=cost+sinC所以cosC-sinC=%等式两边同时平方得(cosC-sinC)2=%化简2sinCcosC=即sin2c
9、=:而 cosB=cos 2C)=sin2C=|点睛:本题考查了三角函数正弦定理的应用,三角函数求值中各个边角转化和角的形式变化,需要熟练学握各个式子的相互转化,属于难题。10.【2018年湖南预赛】函数/(%)=sinx+2sinxf x E 0,2汨的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点,则 k 的 取 值 范 围 是.【答案】l k 3【解析】/(x)=1,?作出其图像,可只有两个交点时k 的范围为1 k 3.故答案为:l k sinD=与 场)s i n D s i n 3 O s i n D 2由 得 富=在三 n (x+l)V x2-1=V3=x4+2x3-2x-4=02(x+l
10、)2 =(x+2)(/-2)=0,因为x+20,;.丁=2.即久=返.故答案为:x=V213.2018年贵州预赛】函数y=2(5-x)sinm-1(0 x 10)的 所 有 零 点 之 和 等 于.【答案】60【解析】函数y=2(5-x)sinjrx-1(0 x 10)的零点,即为方程2(5-x)sin7rx-1=0在区间 0,10上的解.等价于函数y=2sin x的图象与函数y=-的图象,在区间 0,10上的交点的横坐标.因为函数y=2sinm的图象与函数y=W的图象,均关于点(5,0)对称,且在区间 0,10上共有12个 交 点(6组对称点),每组对称点的横坐标之和为10,即 这12个点横
11、坐标之和为60.所以函数y=2(5-x)sin7rx-l(0 x 14-2sinx-cosx=-=sinx cosx=-=sin3x+cos3x2 4 8=(sinx+cosx)(sin2%sinx-cosx+cos2%)2 k 8/1615.【2018年安徽预赛】函数f (%)=|sin2%+sin3%+sin4%|的最小正周期=.【答案】27r【解析】/(%)=|1+2cosx|sin3%|,其中|1+2cos%的最小正周期是2兀,|sin3x|的最小正周期是去故答案为:27r16.2018年湖北预赛】若对任意的6 e 。,引,不等式4+2sin0cos0-asin。-acosd 0恒成立
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