湖南省长沙市四校联考2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题(解析版).pdf
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1、湖南省长沙市四校联考2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题一、单项选择题(共8小题,每小题5 分,共 40分。每小题只有一个选项符合题意)1.已知复数z =-(3-i),其中i 是虚数单位,则复数|z|等于()A.3 B.2 0 C.10 D.7 10R 解 析2.z =-3(3-i)=-l-3i,|z|=7(-l)2+(-3)2=V10.K 答 案 U D2.已知 A(?,0),8(0,1),C(3,-l),且 A,B,C 三点共线,则,*=()3 2 3 2A.-B.-C.-D.-2 3 2 3K 解 析 D 由 A(,”,0),8(0,1),C(3,-l),可 得 血=(-肛
2、1),BC =(3,-2),因为A,B,C三点共线,所以通 B。,即(TW)X(-2)-1X3=0,解得m =.2R 答 案 W A3.在 A A f i C 中,若 A B=3,8 c=3 0,N B =45。,则 A A BC 的面积为()A.2&B.4 C.-D.-2 2K 解 析 U 在 A A f i C 中,若 A B=3,8 c =3 夜,Z f i =45。,S.w r=-A B B C s i n Z B=-x 3x 3/2x =-.M B C 2 2 2 2K 答 案 2 D4.某校有高一年级学生990人,高二年级学生920人,高三年级学生8 47 人,教职工243人,学校
3、根据疫情形势和所在地疫情防控政策要求,全校师生按比例分层抽样的方法抽取容量为300的样本进行核酸抽测,则应抽取高一年级学生的人数为()A.99 B.100 C.90 D.8 0K 解 析 H全校师生的总人数为990+920+8 47 +243=3000人,设应抽取高一年级学生的人数为”,则由分层抽样的定义可知,幽=,-,解得=99.3000 990故应抽取高一年级学生的人数为99 人.R答 案 2 A5.设a,是两个不同的平面,/,1是两条不同的直线,则下列命题中正确的是()A.若a-L?,Iu a,m e/3,贝B.若/J_ a,/J_尸,allfJC.若 in 工 0 ,a,/3,则加aD
4、.若a/,且/与a 所成的角和?与力所成的角相等,贝!/加R解 析D A 选项,若a_L,l u a ,m u /3,/与机可能相交、平行、异面,所以A 错误;B 选项,垂直于同一条直线的两个平面平行,所以B 正确;C 选项,若根J_尸,a L p,则 m u a 或机/夕,所以C 错误;D 选项,若a/?,且/与。所成的角和m 与6 所成的角相等,/与机可能相交、异面、平行,所以D 错误.工答案B6.已知某圆锥的侧面积为行乃,该圆锥侧面的展开图是圆心角为2 等 的 扇 形,则该圆锥的体积为()2 4 8A.n B.一 冗 C.2兀 D.)3 3 3工解析某圆锥的侧面积为石乃,该圆锥侧面的展开
5、图是圆心角为2 部 的 扇 形,设该圆锥的母线长为/,底面圆的半径为r,由 拽 三 厂=石 ,得 石.因 为 2夕=舅 包 x 石,所以r=l,2 5 5所以该圆锥的体积为k/x 叼=空.33K答 案 U A7.如图,在正方体A8C/)-4 8 C。中,E、F 分别为棱C C、4 3 的中点,则异面直线A77与 E尸所成角的余弦值是()irF RK 解 析 取 CD的中点,连结M E,F M ,因为F,M 分别为A B,C 的中点,所以R W/A Z),又 A Z/A D,所以 A 。尸M,则Z E F M即为异面直线A D 与E F所成角,不妨设正方体的棱长为2,则 RW=2,屈 M=jm
6、=夜,所 以EF=庐不屈=6,在 R t A E F M 中,cosZEFM=,所 以 异 面 直 线 与 所 所 成 角 的 余 弦 值 喈1/A F BK 答 案 A8.对于函数 f(x)和 g(x),设 ae x(x)=O ,6 e x|g(x)=0,若存在 a,0 ,使得a-/3,则称/(x)和 g(x)互 为“零点相邻函数”,若函数/(x)=/(x-l)+x-2 与g(x)=x 2-ax-a+8 互 为“零点相邻函数”,则实数。的取值范围是()A.j,1 B.4,|C.1,3 D.2,4 K 解 析 2 f(x)的定义域为/,(x)=+1 =0,x-1 x-1f(x)在(1,+8)上
7、单调递增,又/(2)=0,,/(x)只有一个零点x =2.若/(x)和 g(x)互 为“零点相邻函数”,则 g(x)在 1,3 上存在零点.4 =4(8 ci).0 ,解得 u.4 或 q,8.(1)若 4=0,即a=4 或。=一8 时,g(x)只有一个零点x=,显然当a=4 时,-=2 e l,3,当a=8 时,-g1,3,不符合题意;2 2 若 4 0,即。4 或。-8,若g(x)在口,3上存在1个零点,则 g(1)g(3)0,即(9 一加)(17-4a),0,解得 U17 釉9 1U7 融 Q4 2 4 2g17若g(x)在1,3上存在2 个零点,贝(1 g (3).0,.-.44.41
8、 -B,则 sin A sin BB.若 A=(,则 3 的取值范围是(0,、)C.sin A+sin 8 cos A+cos 3D.tanBtanC 1K解 析H 因锐角AABC,若 A 5,即正弦函数丁=$后元在(),)上单调递增,/.sin A sin B,故选项A 正确;若 4=工,B+C=,而B,C 均为锐角,故工 3 2,故选项B 错误;3 3 6 2由工 A+3 ;r,.0-A sin(-A)=cos A,2 2 2 2同理 sin A cos 8,/.siinA+sinB cos A+cos B.故项 C 正确;,/B+C T T,/.cos(B+C)0,即 cosBcosC0
9、,tanB tanC l.故选项 D 正确.K答 案 2 ACD10.一个袋子中装有除颜色外完全相同的5 个球,其中有3 个红球,2 个白球,每次从中随机摸出1个球,则下列结论中正确的是()A.若不放回的摸球3 次,则恰有2 次摸到红球的概率为之5B.若不放回的摸球2 次,则第一次摸到红球的概率为310C.若不放回的摸球2 次,则在第一次摸到红球的条件下第二次摸到红球的概率为!2D.若有放回的摸球3 次,仅有前2 次摸到红球的概率为生125K解 析 X对于A,若不放回的摸球3 次,则恰有2 次摸到红球的概率为享=2,故 A 正确;对 于 B,若不放回的摸球2 次,则第一次摸到红球的概率为,故
10、B 错误;5对于C,若不放回的摸球2 次,则在第一次摸到红球的条件下第二次摸到红球的概率为2=,4 2故 C 正确;对于D,若有放回的摸球3 次,仅有前2 次摸到红球的概率为3 x 3 x 2 =生,故 D 正确.5 5 5 125K答 案 U ACDI I.在正方体A 8 8-A B C A 中,棱长为1,点 P 为 线 段 上的 动 点(包含线段端点),则下列结论正确的是()A.当/=3 邛 时,R P/平面80GB.当 P 为 中 点 时,四棱锥尸-例 2 )的外接球表面为g 万C.A P+P。的 最 小 值 为 手D.当=?时,点 p 是 A B Q 的重心K解 析 员对于A,连接B
11、R,则匕=4 x,x l=,S=-X 5/2xxsin600=,AC=V3,历 必 3 2 6 2 2 1设点A 到平面A g R 的距离为,则解得=且,所以力=1A C,3 2 6 3 3则当户时,尸为A C 与平面A8Q1的交点,又 A D、H BC、,AR G,对于B,当点尸为A 0 的中点时,四棱锥尸-刈。为正四棱锥,设平面A4Q1。的中心为O,四棱锥尸-想 。的外接球半径为R,则(/?-景+(亭2 =夫2 ,解得R=1,所以四棱锥P-的外接球表面积为当,对于 C,连接AC,DtC,则 RfZ A A C n R rZ sA Q C,所以 AP=R 尸,由等面积法可得,可的最小值为.,
12、A C =所以AP+P。的最小值为2 匹,对于D,由以上分析可得,当AP=当 时,A P 即三棱锥的高,所以AP_L平面R A g,又三棱锥A-。丹为正三棱锥,所以点尸是 A片R 的重心.K答 案 2 ACD1 2.钻石是金刚石精加工而成的产品,是世界上最坚硬的、成分最简单的宝石,它是由碳元素组成的、具有立方结构的天然晶体.如图,己知某钻石形状的几何体由上、下两部分组成,上面为一个正六棱台A B S E F-A B iG R E/(上、下底面均为正六边形,侧面为等腰梯形),下面为一个正六棱锥P-ABCAEb,其中正六棱台的上底面边长为且P到平面AM G的距离为3。,则下列说法正确的是()a,下
13、底面边长为2”,(台体的体积计算公式:V=-(Sl+S2+)h,其 中 邑 分 别 为 台 体 的 上、下底面面积,人 为台体的高)A.若平面以 FJL平面AM A,则正六棱锥P-A B C D E F的 高 为 三 普.B.若 PA=2 同,则该几何体的表面积为3后+2 1 6“22C.该几何体存在外接球,且外接球的体积为 出;rd81D.若该几何体的上、下两部分体积之比为7:8,则该几何体的体积为巨叵“32K解 析 设,N 分别为正六棱台上、下底面的中心,对于选项A,如 图 1,分别取A F,其耳,C,D,CD的中点。,R,S,T,连接 RS,RQ,TS,TQ,则 RS=6 a,QT=2岛
14、,可得Q,R,S,T 四点共面,且点P,M ,N 均在该平面上,连接P M,则 N 在 RW上,得如图2 所示的截面PQ R ST,四边形QRST为等腰梯形,且 NPQR为二面角尸-4 F-A 的平面角,即NPQR=90。,过点R 作&_1_。7 交QT于点L,则 NRQL=/Q P N,可 得 法=染,即 N P -RL=LQ-Q N =-a-百a=a2,而 N P+RL=M P =3a,故N P Q a-N P X?,解得可 尸=也 叵”,故 A 正确;2 2对于选项B,如图3 为截面PAA.D.D,依题意得AR=2 a,AD=4a,连接 P A f,则 PM=3 a,又 PA=2 0 a
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