2023年高考数学压轴题圆锥曲线专题第03讲:面积问题二含解析.pdf
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1、2023年高考数学压轴题圆锥曲线专题第03讲:面积问题二(解析版)第二讲:面积问题(二)【学习目标】基础目标:掌握椭圆,双曲线,抛物线的简单性质,三角形,四边形面积的推导过程;应用目标:掌握椭圆,双曲线,抛物线的弦长公式,点到直线距离公式的应用,并能够熟练使用求解面积;拓展目标:能够熟练应用弦长和点到直线距离公式,求解圆锥曲线面积定值等问题.素养目标:通过数形结合,转化与化归等思想方法,培养独立思考和逻辑分析能力,提升学生的数学运算和数学抽象的核心素养.【基础知识】1、面积范围首选均值不等式,其实用二次函数,最后选导数均值不等式 a2+h2 2ah(a,b e R)变式:a+b 2 fab(a
2、,b e R*);ab 0)与x 的正半轴交于点尸(2,0),且离心率e =*.(1)求椭圆C的方程;(2)若直线/过点Q(l,0)与椭圆C交于48两点,求 面 积 的 最 大 值 并 求 此 时 的 直 线 方 程.变式训练1:已知椭圆+y 2 =1 与抛物线y 2 =8 x 有相同的焦点F.a(1)求椭圆的方程;(2)0 为坐标原点,过焦点F的直线/交椭圆于M,N 两点,求 0MV面积的最大值.例 2.已知点A是抛物线x2=2 P x(p 0)上的动点,过点M(-l,2)的直线AM与抛物线交于另一点B .(1)当4的坐标为(-2,1)时,求点3的坐标;(2)已知点P(0,2),若 M 为线
3、段9 的中点,求 P A B 面积的最大值.2 2变式训练2:已知椭圆C:+方 的 中 心 是 坐 标 原 点 0,左右焦点分别为,工,设 P是椭圆C上 一 点 满 足 轴,归 图=;,椭 圆 C的离心率为当.(1)求椭圆C的标准方程;(2)过椭圆C左焦点”且不与x 轴重合的直线/与椭圆相交于A,8两点,求A 8 入内切圆半径的最大值.(参 考 公 式:已 知 ABC的 三 边 分 别 是a,b,c,且 内 切 圆 的 半 径 是 R ,贝 I.ABC的面积5A A 8 c =27?(a+Z?+c)-例 3.已知圆耳:x2+y2+4 x 0,圆工:x2+y2-4x-i2=0,一动圆与圆耳和圆尸
4、?同时内切.(1)求动圆圆心M 的轨迹方程;(2)设点M 的轨迹为曲线C,两互相垂直的直线4,4 相交于点尸2,4 交曲线C于M,N 两点,4 交圆月于P,Q两点,求.PQM与VPQN 的面积之和的取值范围.变式训练3:已知点A(1,O),点B为直线x =-l 上的动点,过8作直线x =-l 的垂线/一线段A8的中垂线与4 交于点P.(1)求点P的轨迹C的方程;若过点E(2,0)的直线/与曲线C交于“,N 两点,求 M O E 与 N 4 E 面积之和的最小值.(。为坐标原点、)考点二:四边形面积最值2 2例 1.已知椭圆C:+=l(a 人 0)的一个焦点为*2,0),经过点(0,血),过焦点
5、F的直线1 与椭圆C交于A,B两点,线段A B 中点为D,0为坐标原点,过 0,D的直线交椭圆于M,N 两点.(1)求椭圆C的方程;(2)四边形A M B N面积是否有最大值,若有求最大值,若没有请说明理由.变式训练1:已知定点(-1,0),圆N:(x-iy +y 2=1 6,点 Q为圆N上动点,线 段 M Q 的垂直平分线交N Q 于点P,记 P 的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;过 点 M 与 N作平行直线4 和 4,分别交曲线C于点A,B和点D,E,求四边形AB D E 面积的最大值.例 2.已知抛物线C:产=0)上的点(f,4)至 I 焦点广的距离等于圆犬+/一 2 x+4 y-3
6、 1=0 的半径.(1)求抛物线C的方程;过 点 F作两条互相垂直的直线4 与4,直线4 交C于M,N两点,直线 交C于尸,Q两点,求四边形M P NQ面积的最小值.变式训练2:已知抛物线。:产=2 2*5 0)的焦点为尸,抛物线C上的点A 的横坐标为1,且卜尸|=;(1)求抛物线C的方程;(2)过焦点尸作两条相互垂直的直线(斜率均存在),分别与抛物线C交于M、N和 P、Q四点,求四边形面积的最小值.考点三:面积比值(求解),V23例 1.已知椭圆E:+方=1(。0)的右焦点为尸2,上顶点为,O 为坐标原点,/。牝=3 0。,点 呜)在椭圆E上.(1)求椭圆E的方程;(2)设经过点用且斜率不为
7、。的直线/与椭圆E相交于4 8两点,点 P(-2,0),2(2,0).若M,N分别为直s线,BQ与 y 轴的交点,记 N PQ 的面积分别为SM P Q,S&NPQ,求萨丝的值.、4NPQr2 v21变式训练L 已知椭圆吟+犷伍小。)的左、右焦点分别为6,F”实轴长为4,且斜率为-5的直线与椭圆C交于A,B两点,且 A B 的中点为(1)求椭圆C的方程;(2)若椭圆C的左、右顶点分别为A,用,点 p,Q为椭圆上异于A,坊的两点,且 以 p,Q为直径的圆过s点四,设 4 PQ,4 PQ 的面积分别为S 1,邑,计算U 的值.考点四:已知面积比值(求参)例 1.已知点M 是椭圆C:/+/=1(a
8、6 0)上一点,工,尸 2 分别为椭圆C的上、下焦点,|耳闾=4,当Z FtM F2=9 0 ,耳M 入的面积为5.(1)求椭圆C的方程:(2)设过点F?的直线/和椭圆C交于两点A,B,是否存在直线/,使 得 O A&与。8 (0 是坐标原点)的面积比值为5:7.若存在,求出直线/的方程:若不存在,说明理由.2 2变式训练1:已知椭圆G*+g =l(a 6 0)的焦距为4,点(2,勾 在 G上.(1)求椭圆G的方程;(2)过椭圆G右焦点的直线1 与椭圆G交于M,N两点,0为坐标原点,若以。材/:5.=3:1,求直线1 的方程.1 40变式训练2:已知圆q:(x+i)2+y 2=w,圆 2:(x
9、-)2 +y =1,动圆M 与圆。I 外切,且与圆。2 内切.(1)求动圆圆心M的轨迹E的方程,并说明轨迹是何种曲线;设过点尸(0,3)的直线/与直线E交于48两点,且满足“P A G的 面 积 是 PB。,面积的一半,求 A8 0?的面积.考点五:面积比值(证明)例 1.在平面直角坐标系X。),中,己知点”到尸(0,1)的距离与到直线y =-l 的距离相等,记M的轨迹为C.(1)求 C的方程;(2)0 为坐标原点,轨迹C上两点A、8处的切线交于点P,P 在直线y =-2 上,PA、PB 分别交X 轴于M、N两点,记一。和一尸M N的面积分别为加和邑.试探究:是否为定值?若是定值,求出该定值;
10、若不%是定值,说明理由.变式训练1:已知椭圆C:1 +g =l(a 6 0)的左、右焦点分别为白,%,离心率为3,过左焦点耳的直 线 1 与椭圆C交于A,B 两点,AB 八的周长为8.(1)求椭圆C的标准方程;如 图,4,是椭圆C的短轴端点,P 是椭圆C上异于点耳,层 的动点,点 Q 满足Q S PBt,6 0)的右顶点为A,离心率为3.动直线a b2/:y =工(x-1)与 相交于B,C 两点,点B关于x 轴的对称点为B ,点、B到的两焦点的距离之和为4.m(1)求的标准方程;S.(2)若直线9C与x 轴交于点M,Q A C,A M C的面积分别为S S 2,问U 是否为定值?若是,求出该定
11、值;若不是,请说明理由.考点六:面积比值(范围)例 1.已知焦点在X 轴上的椭圆的左、右焦点分别为K,F2,上顶点为B,离 心 率 为 啦,48片鸟的面积3为&-(1)求椭圆的标准方程.(2)若过点4(1,0)的直线与该椭圆交于C,。两点,Sa%与 S.5 分别表示 AC 6 和 AO鸟的面积,求s产 生 的取值范围.变 式 训 练 1:.已知椭圆G:?+/=i与双曲线C 2:5-&=l(a 0 力0)有共同的焦点,用且双曲线的实轴长为2&-(1)求双曲线C?的标准方程;若曲线G与在第一象限的交点为P,求证:牝=9 0。.(3)过右焦点用的直线/与双曲线C 2 的右支相交于的A,B 两点,与椭
12、圆G 交于C,。两点.记4 A o 8,5 C8的面积分别为4,S2,求寸的最小值.%变式训练2:设0为坐标原点,动点P在圆O:Y +y 2=l上,过点P作 轴的垂线,垂足为Q且QO =&Q P.(1)求动点D的轨迹E的方程;直线/与圆O:V +y 2 =l相切,且直线/与曲线E相交于两不同的点A、B,T为线段A B的中点.线段0A、5,0B分别与圆0交于M、N两点,记-A O T,-的面积分别为S“邑,求寸的取值范围.【当堂小结】1、知识清单:(1)椭圆,双曲线,抛物线弦长公式;(2)弦长最值的基本不等式求解;(3)交点坐标的求解和非弦长的计算;(4)面积比值转化为底边或高线的比值;2、易错
13、点:基本不等式的应用;3、考查方法:基本不等式,数形结合思想,数与形的转化;4、核心素养:数学运算,数学抽象.【过关检测】1.已知椭圆E:5+5=l(a 。)的离心率为3,点是椭圆E上一点.(1)求 E的方程;(2)设过点4 0,-2)的动直线/与椭圆 相交于P,。两点,。为坐标原点,求 面 积 的 取 值 范 围.2 22.已知椭圆(7:1+马=1,过定点7。,0)的直线交椭圆于EQ 两点,其中7 e(O,a).a b3(1)若椭圆短轴长为2 方且经过点(-1,),求椭圆方程;2(2)对(1)中的椭圆,若t=6,求 O P Q面积的最大值,并求此时直线尸。的方程;3 .如图所示:已知椭圆C:
14、的长轴长为4,/过点M(-1,0)交椭圆于C,O两点,记Z V IC。的面积为S.(1)求椭圆c的标准方程;(2)求S 的最大值.离心率e=.A是椭圆的右顶点,直线24 .已知圆6:(x+l f+y 2=9,圆5:(x-iy +y 2=i,动圆尸与圆好内切,与圆F2 外切.。为坐标原点.(1)若求圆心P的轨迹C的方程.(2)若直线/:y =-2 与曲线C交于A、B 两点,求一Q 4 B 面积的最大值,以及取得最大值时直线/的方程.2 25 .如图,已知椭圆C:+a =l(a b 0)的左、右焦点分别为耳、用,忻玛|=2 五,设尸(毛,几)是第一象限内椭圆C上的一点,P 小 尸工的延长线分别交椭
15、圆C于点。(4 乂)、Q2(,y2).当/用 有=6 0。时,E P 鸟的面积为冬叵.3(1)求椭圆C的方程;(2)分别记耳心Qi和 K E Q?的面积为S,和用,求S2-S,的最大值.6 .已知抛物线。:丁=2 2*(2 0)的焦点到准线的距离为2.(1)求 C的方程:(2)过 C上一动点P作圆M:(x-4 y +V=l的两条切线,切点分别为A,B,求四边形P A M B 面积的最小值.7.已知抛物线C:y 2=2 p x(p 0)的焦点为F,点P在抛物线上,当以乙为始边,E P为终边的角ZAFP=60时,|闭=4.(1)求C的方程(2)过点尸的直线交C于A,8两点,以 为 直 径 的 圆。
16、平行于y轴 的 直 线 相 切 于 点 线 段Q M交C于点N,求一A M 8的面积与oAW 的面积的比值2 28.已知椭圆C:=+4=1 (a b 0)的焦距为2 VL且经过点A Q T),过点A的直线/与椭圆交于点比a b(1)求椭圆C的标准方程;设M为线段4 3的中点,。为原点,OM所在的直线与椭圆C交于P,。两 点(点。在X轴 上 方),问是否存在直线/使得 A M 2的面积是一B M。面积的6倍?若存在,求直线/的方程,并求此时四边形4 P 8 Q的面积,若不存在,请说明理由.9.已知在平面直角坐标系中,动点P到耳(-1,0)、鸟(1,0)两点的距离之和等于2石.(1)求动点尸的轨迹
17、E的方程;若与圆O:/+y 2 =I相切的直线4:y =+根 与曲线C相交“、N两点,直线4与直线4平行,且与曲S,线E相切于点A(。、A位于直线4的两侧),记AMN、。的V的面积分别为3、52,求7t的取值范围.第二讲:面积问题(二)【学习目标】基础目标:掌握椭圆,双曲线,抛物线的简单性质,三角形,四边形面积的推导过程;应用目标:掌握椭圆,双曲线,抛物线的弦长公式,点到直线距离公式的应用,并能够熟练使用求解面积;拓展目标:能够熟练应用弦长和点到直线距离公式,求解圆锥曲线面积定值等问题.素养目标:通过数形结合,转化与化归等思想方法,培养独立思考和逻辑分析能力,提升学生的数学运算和数学抽象的核心
18、素养.【基础知识】1、面积范围首选均值不等式,其实用二次函数,最后选导数均值不等式c i2+b2 2abM b e R)变式:a+b2 ab a,b e R);ab 6 0)与x 的正半轴交于点P(2,0),且离心率6 =乎.(1)求椭圆C的方程;(2)若直线/过点Q(1,O)与椭圆C交于A,B两点,求.A 0 8 面积的最大值并求此时的直线方程.【答案】、+y 2 =l;(2)也;x=4 -22 2解析:椭 圆C:l(a0)与x轴的正半轴交于点P(2,0),贝 叱2e=,则。=百,=1a 2椭圆C的方程为:三+),2=14(2)当直线/的斜率为0时,A 0,8三点共线,显然不满足题意.当直线
19、/的斜率不为。时,设/:x =?y +l代入亍+丁=i ,得至i J(M+4)y 2 +2/n y-3 =0设 A(X i,y j,8(毛,%)-2mm+4-3y.%=5 7 r +4S AOB=S A O P+S 8OP=g x l x|y 一%|S A O B=;Xy/(yl+y2)-4 yl y2=2 d m 2+3苏+42t _ 2AO8=2=-j-t+.t /m2+3,t f3 ir f=r-3,S令令y =f+;,在 6+8)单调递增,.当f =G S 40 8=*为最大:.m=0,此时/的方程为:x=l变式训练L已知椭圆”与 抛 物 线 有 相 同 的 焦 点F.(1)求椭圆的方
20、程;。为坐标原点,过焦点/的直线/交椭圆于,N两点,求,OMN面积的最大值.【答案】+产=1;苴52解析:(1)椭圆5+丁=1与抛物线V=8x有相同的焦点尸,a.-.F(2,0)即 c =2 且 b =l,I2=白+c2=5,2.椭圆的方程为:y +y =l.(2)由(1)可知F的坐标为(2,0).显然/的斜率不为0.设直线/的方程为:x =my+2,设N(x2,y2).x =tn y +2联立.片+2 ,可得(+5)/+4阳-1 =0,.T+y-A =(4 w)2+4(/H2+5)=20m2+2 0 0 恒成立,4m I XI+1)U|=M-丫2 1=J(M +y J-4 y%=2 国 m2
21、+1r r r+5 SA M=(E|+帆|)=1|O F|E -刃=;x 2 x 2呼 不乙44U l f I J2底/疗+1 _ 2逐 0)上的动点,过点用(-1,2)的 直 线 与 抛 物 线 交 于 另一点3.(1)当A的坐标为(-2,1)时,求点8的坐标:(2)已知点尸(0,2),若为线段反的中点,求 P 4?面积的最大值.【答案】(1)(6 9);(2)2解析:当A的坐标为(2,1)时,则22=2pJ,所以2 P =4,所以抛物线的方程为:/=,由题意可得直线4 W的方程为:尸1 =与(+2),即),=x+3,-1 +2代入抛物线的方程可得d-4 x 7 2 =0 解得x=-2 (舍
22、)或 6,所以,8的坐标为(6,9)(2)法一:设直线A3 的方程:y-2=k(x +1),即 y =k x +k +2,设直线A B 与y 轴的交点为Q ,A(X|,yJ,B(x2,y2),y =k x+k +2由1 2 oI x=2p ynJ W.2-2p k x-2p k-4p =0,xt+x2=2p k ,xtx2=-2p k-4p ,因为为线段A3 的中点,所 以 后 卫=p k =-l令 x=0,y =k +2,即。(0 +2),所以。=同则 P A 8 的面积S=;P Q k-司=;|斗 J(xx 2y=g|4,J(X 1+X 2-4 g=;闷.J 4P 2&2+4(2 p k
23、+4p),把 p k =-1 代入上式,s =/-k2+4 k,当k =2 时,5鹏=2,所以 R48 的面积的最大值为2.(2)法二:y=A x+攵+2x2=2 p ynf x2-2p k x-2p k-4p =0,xi+x2=2p k ,x2=-2p k-4p ,因为M 为线段A B的中点,所 以 美 X=p&=-1,设点尸到直线A8的距离为,则”=*十,71+A:2AB=J 1 +/J(X +)2 -4X|1=J l +、2 -y l p2k2+4(2 p Z:+4p)S=;A 8 M=;闲 J 4P 2k?+4(2p k +4p)把 p k =-1 代入上式,s =+4%,所以,当k
24、=2 时,A B C 的面积的最大值为22 变式训练2:已知椭圆C:+=l(a 60)的中心是坐标原点0,左右焦点分别为耳,B,设 P是椭圆C上一点满足轴,|P周=;,椭圆C的离心率为白.(1)求椭圆C的标准方程;(2)过椭圆C左焦点的且不与x 轴重合的直线/与椭圆相交于A 8 两点,求 ABF2内切圆半径的最大值.(参 考 公 式:已 知 M C 的 三 边 分 别 是 a,A c,且 内 切 圆 的 半 径 是 R,则4?C 的面积SzUBC =3 氏(+人+,).【答案】(1)E+2=1;;4 2解析:设 耳(-。,0),E(c,O),由题意尸是椭圆C 上一点,满足户用_Lx轴,PF2=
25、,离心率为日c_j3_a-Vb2 1-a 2c2=a2-b2a=2=1=Gb,解得.椭圆C 的标准方程为二+丁=1;4(2)由(1)可知月(-6,0),AB%的周长为体目+|A用+忸图=4a=8,设直线/为x=由,x=my-y13x2 ,(/w2+4)y2-2y/3my-1=0.+y2=14-设A&M,3,%),则%+当=鬻)科=岛 瓦一必卜,(乂+%)2-4%必=4 4册 2 +1m+4-A -tn+4 A-二 S A 监 一_ 耳lip|p可.1图 回一%|一 -.2+4+1令内切圆的半径为R,则S.F,=:x8xR=4R,即R=3321 2 m+4_ 6二 6 :G =1令,=J*+l,
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- 2023 年高 数学 压轴 圆锥曲线 专题 03 面积 问题 解析
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