2023年高考数学压轴题圆锥曲线专题第04讲:向量问题一含解析.pdf
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1、2023年高考数学压轴题圆锥曲线专题第04讲:向量问题一(解析版)第三讲:向量问题(一)【学习目标】基础目标:掌握椭圆,双曲线,抛物线的简单性质,向量的坐标表示及运算;应用目标:掌握椭圆,双曲线,抛物线中向量的数量积,向量的数乘,向量的线性运算;拓展目标:能够熟练应用向量的相关运算,求解相关的解析几何中的向量问题.素养目标:通过数形结合,转化与化归等思想方法,培养独立思考和逻辑分析能力,提升学生的数学运算和数学抽象的核心素养.【基础知识】解析几何中,将代数和几何联系到一起,形成了图形分析和坐标等的计算,在一定程度上可以进行向量的计算,达到解决解析几何的目的,下面是解析几何中常用的向量的运算,包
2、括:向量的数量积,向量的数乘,向量的线性运算,因此在解析几何中的运算,重点放在点的坐标的表示和计算中。1、向量的数量积若。=(再,%),匕=(占,%),则 4.)=百-2 +%2、向量的数乘若=(占,),/7 =(七,%),则4 =助 时,与=4,=死3、向量的线性运算若。=(内,乂),/?=(%,刈),。=(%3,必),则c =/U +4 匕时,玉=%+号为=九乂【考点剖析】考点一:向量数量积A?21例 1.在平面直角坐标系X。),中,椭圆E:=+Z =l(a 6 0)的左顶点到右焦点的距离是3,离心率为;.a b 2(1)求椭圆E的标准方程;(2)斜率为正的直线/经过椭圆E的右焦点,且与椭
3、圆相交于4,8 两点.已知点P(-3,0),求P4P8的值.变式训练1:已知椭圆,+,=1(。6 0)的 离心率为半,点T(20,且)在椭圆上.(1)求椭圆的方程;(2)已知直线 =点 +,”与椭圆交于A,8两点,点P的坐标为(2&,0),且 为.斯=一1,求实数加的值.变式训练2:已知双曲线的中心在原点,焦点斗鸟在坐标轴上,离心率为0,且过点4,-加).(1)求双曲线的方程;若 点 M(3M)在双曲线上,试 求 岬 的 值.例 2.已知点A(-1,0),圆B:(X-1)2+V=8,点/是圆B上的动点,%的垂直平分线与私交于点Q ,记。的轨迹为C.(1)求 C的方程;(2)设经过点E(0,。)
4、的直线/与C交于M,N两点,求证:OM ON为定值,并求出该定值.变式训练3:已知椭圆E:的左、右 焦 点 分 别 为 小 尸 2,离心率。=冬 P为椭圆上一动点,尸耳后面积的最大值为2.(1)求椭圆E的方程;(2)若C,。分别是椭圆长轴的左、右端点,动点M 满足连接C M交椭圆于点N,。为坐标原点.证明:OM-O N 为定值.变式训练:4:已知抛物线C 的顶点在坐标原点。,对称轴为x 轴,焦点为尸,抛物线上一点A的横坐标为2,U U U U且 R V 0 A =1 6.(1)求抛物线的方程;过 点 M(8,0)作直线/交抛物线于B,C两点,设 83 5),(7(,为),判断OB0 C 是否为
5、定值?若是,求出该定值;若不是,说明理由.例3.已知椭圆E与椭圆+(=1有共同的焦点,且椭圆E经过点(1)求椭圆E的标准方程;设尸为椭圆E的左焦点,M为椭圆E上任意一点,。为坐标原点,求 的 最 小 值.变式训练5:已知椭圆%的左右焦点分别为小 6,离 心 率 为 ,P是椭圆上一点,且 叱 面积的最大值为1.(1)求椭圆的方程;(2)过人的直线交椭圆于M,N两点,求用的取值范围.变式训练6:在平面直角坐标系x。),中,已知点耳(-2,0)、每(2,0),点M满 足 耳 卜/段=2,记点M的轨迹为C.(1)求C的方程;若直线/过圆/+/_ 2工+35=0的圆心。且与圆交于A 3两点,点P为C上一
6、个动点,求R 4.P B的最小值.2 2例4.已知椭圆C:二+今=1(”0)的左焦点为尸(-2,0),点尸到短袖的一个端点的距离为几.a b(1)求椭圆C的方程;(2)过点/作斜率为k的直线/,与椭圆C交于A,B两 点,若。4。8 -2,求&的取值范围.变式训练7:已知椭圆G 的方程为土+y 2=l,双曲线a 的左、右焦点分别是G 的左、右顶点,而 C?的左、4右顶点分别是G 的左、右焦点.求双曲线G 的方程;(2)若直线/:y =h +四与双曲线C?恒有两个不同的交点A和 8,且O 4 O B 2(其中。为原点),求女的取值范围.2 2变式训练8:已知双曲线C:-5=1(力 0)的浙近线方程
7、为四2y =0,且虚轴长为2 G.a h-(1)求双曲线C 的方程;若直线/:y =6+l与双曲线C 相交于不同的两点A,B,且满足O4 O3-1,求k的取值范围.考点二:向量的数乘例 1.己知椭圆七:3+亲-=1(。)过点。-孝)且离心率e*,。为坐标原点(1)求椭圆E的方程;(2)判断是否存在直线/,使得直线/与椭圆E相 交 于 两 点,直 线/与 丫 轴 相 交 于 点 且 满 足C N =-2 C M,若存在,求出直线/的方程;若不存在,请说明理由.变式训练:1己知椭圆C:+=l(a b 0)的左右焦点分别为4,F2,焦距为2,椭圆C 的上顶点为。,。石工为正三角形,过点”的直线/与椭
8、圆相交于4 B两点(1)求椭圆C 的标准方程;(2)若 说=2 疝,求直线4 3的一般方程.变式训练2:已知抛物线C:y 2=2 p x(p 0),准线方程为x=-1.(1)求抛物线的标准方程;若定点以 2,1),直 线 1 与地物线C交于A,B两点,且=求直线1 的斜率.2 2变式训练3:若 双 曲 线 与 一 马=l(a0,b0)的焦点坐标分别为(-2及,0)和(2夜,0),且该双曲线经过点a b-P(3,1).(1)求双曲线的方程;(2)若 F 是双曲线的右焦点,Q是双曲线上的一点,过点F,Q的直线1 与 y 轴交于点M,且MQ+2QF=0,求直线1 的斜率.考点三:双向量数乘例 1 .
9、已知点尸(1,0),直线/:x=T,P 为平面上的动点,过点P作/的垂线,垂足为点。,且 Q P。尸=FP FQ.(1)求动点尸的轨迹C 的方程;(2)过点厂的直线交轨迹C 于 A、B 两点,交直线/于点M.若=MB=%BF(4 w R,4 eR),求4+4 的值.f V2.变式训练1:已知椭圆C:t+2 =l(“b0)的离心率为;,短轴一个端点到右焦点厂的距离为2.a b 乙(1)求椭圆C 的标准方程;(2)过点尸的直线/交椭圆于4 8 两点,交丁轴于尸点,设 抬=/1,4 /8=/128尸,试判断4+4 是否为定值?请说明理由.变式训练3:已知直线/:*=加),+2过双曲线C:二-匕=1的
10、右焦点尸,且直线/交双曲线C于A,B两点.a2 3(1)求双曲线C的方程;(2)若直线1交y轴于点A/,且 总=4 筋,M B =Z2B F,当m变化时,探究4+4的值是否为定值?若是,求出4+4的值;否则,说明理由;考点四:向量的线性运算2 2例 1 .设。为坐标原点,过椭圆E:+方=1(“匕 0)的左焦点厂(-1,0)作直线/与椭圆E交于A,B 两点,点。卜,|)在椭圆E上.(1)求椭圆E的方程;(2)求 0A 8 面积的取值范围;(3)是否存在实数&,使直线/的斜率等于时,椭圆E上存在一点P 满足。P =Q 4+0 B?若存在,求出的所有值;若不存在,说明理由.变式训练1:已知椭圆C:+
11、W =l(a 方 0),F(石,0)为其右焦点,过 F 垂直于x 轴的直线与椭圆相交所a h得的弦长为1.(1)求椭圆C 的方程;(2)设直线/:丫 =履+巩-1 左,2)与椭圆(;相交于八,B两点,O P =O A +OB,其中点P在椭圆C 上,0 为坐标原点,求I O P I 的取值范围.变式训练2:已知椭圆C的右焦点为尸(1,0),点A为椭圆C的上顶点,过点F与x轴垂直的直线与椭圆C相交于P,Q两点,且归。=3.(I )求椭圆C的标准方程;(I I )若直线1的倾斜角为3 0 ,且与椭圆C交于M,N两点,问是否存在这样的直线1使得B 4+硒=0?若存在,求1的方程;若不存在,说明理由.2
12、 2变式训练3:已知A,B分别为椭圆C:鼻+%=1(4 0)的左、右顶点,F为右焦点,点P为C上的一点,P F恰好垂直平分线段0 B (0为坐标原点),PF =.(1)求椭圆C的方程;过F的直线1交C于M,N两点,若点Q满足O Q =OM+ON(Q,M,N三点不共线),求四边形0 M Q N面积的取值范围.考点五:向量的线性运算(范围)例 1.已知圆C:x?+(y +0)2 =1 6,点 A(o,6),P是圆上任意一点,线段A P 的垂直平分线交C P 于点。,当点尸在圆上运动时,点Q的轨迹为曲线E,直线/:,=去+机与,轴交于点。,与曲线E 交于,N两个相异点,且MO=/L DV.(1)求曲
13、线E 的方程;(2)是否存在实数?,使得O M+/IO N =4。?若存在,求出机的取值范围,若不存在,请说明理由.变式训练1:已知椭圆C:+/=l(a 8 0)的两个焦点分别为月弱,过点耳且与y 轴垂直的直线交椭圆C 于 ,N两点,i的面积为5椭圆c的 离心率为今(1)求椭圆c的标准方程;(2)已知。为坐标原点,直线/:y =履+”与 y 轴交于点P,与椭圆C 交于A ,8 两个不同的点,若存在实数A,使得O A +/IO B =4 O P,求机的取值范围.【当堂小结】1、知识清单:(1)椭圆,双曲线,抛物线的简单性质;(2)向量的数量积,数乘,线性运算;(3)不等式的求解和导数单调性求解范
14、围;2、易错点:向量的表示及其运算;3、考查方法:数形结合思想,数与形的转化;4、核心素养:数学运算,数学抽象.【过关检测】1.已知椭圆 C:*+/=1(。6 0)过点 A(-2,0),3(项.(1)求椭圆C 的方程;(2)若直线/过C 的右焦点交C 于M,N两点,A M A N =6,求直线/的方程.2 .己知抛物线C:y 2=2 p x(p 0)上的点(2,。到焦点厂的距离为4.(1)求抛物线C 的方程;(2)设纵截距为1 的直线/与抛物线C 交于A ,B两个不同的点,若 F A F B=4,求直线/的方程.3 .已知抛物线的顶点是坐标原点0,焦点在x 轴上,且抛物线上的点M(4,附到焦点
15、的距离是5.(1)求该抛物线的标准方程和“的值;(2)若过点(2,0)的直线/与该抛物线交于A ,8 两点,求证:0408为定值.2 24 .已知椭圆。:=+4=1(。6 0),椭圆C 的其中一个焦点F 在抛物线y?=4 x 准线上,并且椭圆C 的左a b顶点到左焦点的距离为0-1.(1)求椭圆c的方程;(2)已知经过点尸的动直线/与椭圆交于不同的两点A ,B,点加卜:,。),证明:MAM?为定值.5 .已知椭圆C:5的左、右焦点分别为耳,鸟,离 心 率 为 当 且过点(0,1).(1)求椭圆C 的标准方程;(2)若过点后的直线/与椭圆C 相交于A ,8两 点(A、B非椭圆顶点),求FTARB
16、的最大值.6.己 知 椭 圆+4=l(4 b 0)的长轴长是6,离心率是:a b 3(1)求椭圆E 的标准方程;设 O 为 坐 标 原 点,过点尸(。,2)的 直 线/与 椭 圆 交 于 A 8 两 点,判 断 是 否 存 在 常 数 使 得O4OB+2PA尸 8 为定值?若存在,求出2 的值;若不存在,请说明理由.2 27.已知椭圆C:+2 =l(a b 0)的左、右焦点分别为埠马,若焦距为4,点 P 是椭圆C 上与左、右顶点不重合的点,且耳心的面积最大值2TL(1)求椭圆C 的方程;过 点 E(-2,0)的直线机交椭圆C 于点M、N,且满足OM.ON=勺但-1(。为坐标原点),3 tanN
17、MON求直线机的方程.8.已知双曲线C 的方程为名-2/=1 (。0),离心率为a(1)求双曲线c的标准方程;(2)过E(O,1)的直线/交曲线C 于M、N两点,求 的 取 值 范 围.9.已知椭圆C1 的方程为?+日=1,双曲线c 2 的左、右焦点分别为G 的左、右顶点,而G 的左、右顶点分别是G 的左、右焦点.(1)求双曲线c 2 的方程;(2)若直线/:y =+2 与双曲线C?恒有两个不同的交点A和 B,且。(其中。为 原 点),求女的取值范围.1 0 .设片,鸟分别是椭圆E:+2=1(4 6 0)的左、右焦点,E 的离心率为也,点(0,1)是 E 上一点.(1)求椭圆E 的方程;过 点
18、 的直线/交椭圆E 于 A,B两点,且 班=2 与A ,求直线/的方程.1 1 .在平面直角坐标系x O y 中,已知抛物线C 的顶点在原点,焦点尸在x轴的正半轴上且产到双曲线Y-f =1 渐近线的距离为正.32(1)求抛物线C 的方程;(2)若直线/过抛物线C 的焦点F,与抛物线C 相交于AB两点,且满足AF=4尸 8,求直线/的方程.2 212.已知椭圆C:+与=l(a 6 0),过焦点且垂直于长轴的弦长为1,且焦点与短轴两端点构成等边三a b角形.(D 求椭圆的方程;UUU UU 过 点。(-1,0)的直线/交椭圆于A,B两点,交直线x=Y 于点E,S.AQ =AQ B,=求证:几+为定
19、值,并计算出该定值.13.已知定圆A:(x+l+y 2=1 6,动圆M 过点3(1,0),且和圆A相切.(1)求动圆圆心 的轨迹E 的方程;(2)若过点5 的直线/交轨迹E 于 P,。两点,与)轴于点N,且 NP =2 PB,NQ =Q B,当直线/的倾斜角变化时,探求4+的值是否为定值?若 是,求出彳+M的值;否则,请说明理由.1 4.已知动圆M过点6(-2,0),且动圆M内切于定圆心:(x-2)?+y 2=32,记动圆圆心的轨迹为曲线(1)求曲线的方程;(2)若A、B是曲线上两点,点P满 足%+P4 +PB =0,求直线AB的方程.第三讲:向量问题(一)【学习目标】基础目标:掌握椭圆,双曲
20、线,抛物线的简单性质,向量的坐标表示及运算;应用目标:掌握椭圆,双曲线,抛物线中向量的数量积,向量的数乘,向量的线性运算;拓展目标:能够熟练应用向量的相关运算,求解相关的解析几何中的向量问题.素养目标:通过数形结合,转化与化归等思想方法,培养独立思考和逻辑分析能力,提升学生的数学运算和数学抽象的核心素养.【基础知识】解析几何中,将代数和几何联系到一起,形成了图形分析和坐标等的计算,在一定程度上可以进行向量的计算,达到解决解析几何的目的,下面是解析几何中常用的向量的运算,包括:向量的数量积,向量的数乘,向量的线性运算,因此在解析几何中的运算,重点放在点的坐标的表示和计算中。1、向量的数量积a=(
21、xl,yl),b=(x2,y2),贝!J a I=+%必2、向量的数乘若“=(%,),/,=(%,%),则“=时,否=*,3、向量的线性运算若。=(%,凶),人=(%2,%),。=(X 3,%),则 C =U+。时,刍=%玉 +工 2,、3 =4 乂 +【考 点 剖 析】考点一:向量数量积2 2例 1.在平面直角坐标系X。),中,椭圆E:+方=l(a 6 0)的左顶点到右焦点的距离是3,离心率为,(1)求椭圆E的标准方程;(2)斜率为正的直线/经过椭圆E的右焦点,且与椭圆E相交于A,8 两点.已知点P(-3,0),求抬.尸3 的值.【答案】土丫 2 +匕2 2 =1;1彳2 5.4 3 1 1
22、解析:(1)因为椭圆的左顶点到右焦点的距离是3,所以a +c=3.又椭圆的离心率是不,所以一二7,解得。=2,C =l,从 而=-C?=3.2 a 22 2所以椭圆C的 标 准 方 程 工+二=1 .4 3(2)因为直线/的斜率为近,且过右焦点(1,0),所以直线/的方程为y =7 5(x-1).j =V2(x-1)联立直线/的方程与椭圆方程*y 2 ,1 4 3消去九 W11X2-*16X-4=0,其中 =16 2+16X110.解析:(1)椭圆的离心率e =迈,.匕Qa 3 a2设A(“),S(x,y2),则玉+吟,2=-因为P(-3,0),所以尸4 尸 8=(百+3,),(%2+3,%)
23、=(工 +3)(%2+3)+%=(玉+3)(xj +3)+2(x,-l)(x7 1)=3xix+(x,+x2)+l l12 51 T,因此P A 尸 8 的值是1胃2 5.变式训练1:已知椭圆。1(。”0)的离心率为手,点7(2 0,今 在 椭 圆 上.(1)求椭圆的方程;(2)已知直线y =V 5 x+7 与椭圆交于A,8 两点,点P的坐标为(2&,0),且 为.弗=,求实数机的值.【答案】(1)+-=1;(2)m =-3.9 32则/=3好,3点T(2 近,4 在椭圆上,7解得从=3 ,则4=9 ,2 2椭 圆 的 方 程 为 三+二=1.9 3(2)设4(玉,乂),8 ,%).y=A/2
24、X+m联立,冗 2 y 2 ,得 x1+6 a m v+3 瓶2 -9 =0.+=119 3/.A=(6 6 m)-4 x 7 x(3 加之-9)0 ,即0 根?2 1,6 7 2 3/n2-9再 +/=-/W,X2 =-,P A P B =1,二.P A 必=(苦 20)(/-2 忘)+X V 2 =(%2 也)(工 2 -2&)+(及工+/%)(&工2 +6)=3%j X2+(夜加一2 垃)(玉 +x2)+8+/n2=3+(后 一 2 应 卜(一 字)+8+/=4/+;皿 +2 9=_ ,整理得病+6 w +9 =0,解得机=3,满足A(),故?=3.变式训练2:已知双曲线的中心在原点,焦
25、点用工在坐标轴上,离心率为近,且过点4 4,一 质).(1)求双曲线的方程;若点用(3,?)在双曲线上,试求MK“鸟的值.【答案】(1)X2-/=6;(2)0解析:(1广.屋=夜,可设双曲线的方程为产一丫2 =/1(2*0).双曲线过点尸,一 如),,16 10 =2,即4=6.双曲线的方程为Y 丁=6.(2)由(1)可知,a b l b 得 C=2G,7-260),K(2 G,0),MF,=(-2A/3-3,-/?),=(2 近一 3,-加),从而 MF -M F2=1 26一 3,-机)(2 6-3,-机)=-3 4-nr由 于 点 在 双 曲 线 上,.19 z2=6 ,即机2 3 =0
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- 2023 年高 数学 压轴 圆锥曲线 专题 04 向量 问题 解析
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