D数列(理科)(高考真题+模拟新题).pdf
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1、D数列DI数列的概念与简单表示法21.D I、D3、E l、M32012重庆卷 设数列&的前项和S“满足S“+尸a2S”+即 其111做力。.(1)求证:%是首项为1的等比数列;若 2 I,求证:SW(i+a“),并给出等号成立的充要条件.21.解:(1)证法一:由 2=曲目+。得田+。2 =。2田 +即。2 =。2。1.因 故#。,故。1=1,得”=。2.又由题设条件知S+2=2S“+1+1,S+=。2szi+1,两式相减得 S2 -5+=。2(*+1-S),即即+2 =。2。+1,由 ”2#0,知 4,1#0,因 此”=。2.+1综上,血=。2对所有1-1且。2#0,由(1)知4=1,an
2、-1时,雄一 1与 雄 一 l(r=1,2,一 1)同为正.因此当2-1且2W1时,总有3-1)(4 -1)0,即&+区 1 +搂(r=1 2 ,n-1).上面不等式对,从1到-1求和得2 Q +。:+成 I 1)(1+2)由此可得 1 +。2 +;+.-1且%彳。时,有5“W(ai+a),当且仅当n=1,2或 敢=1时等号成立.证法二:当=1或2时,显然+),等号成立.当2=1时,Sn=n=(a+斯),等号也成立._ i t当时,由知 =;、斯=区下证:1 一。27 T q a 1+&T)(W23,2-1且 西/1)1 。2 2当时,上面不等式化为(-2)卷+na 2 -ne b 1 n-2
3、(2 3).令 A2)=(-2)原+na?-na 2 当 一 1 做 0 时,I 。,故&2)=(九 -2)2 +2(1 -)(-2)1 2?一 2,即所要证的不等式蔻立.当 0 做 1 时,对2 求导得 r(2)=n(n-2)t/2 1-(H-1)6/2 2+1 =g(2).其中 g )=(-2)雄 J(T)雄-2 +1,则 g(敢)=(n-2)(-1)(a 2 -l)t?2 3 g(l)=0,从而/3 2)=g(2)0,进而大。2)是(0,1)上的增函数,因此火。2)1时,令匕=,,则0 b -1且。2 0时,有S,W(a i +a“),当且仅当=1,2或“2=1时等号成立.2 3.M 2
4、、Dl 2 0 1 2上 海 卷 对 于 数 集*=-1,x”x2,,x),其中 0 X|X22,且 -1,1,2,X 具有性质P,求X的值;(2)若X具有性质P,求证:1G X,且当%1时,x i =l;(3)若X具有性质P,且 为=1、皿=(4为常数),求有穷数列x”也,%的通项公式.2 3.解:选取m =(x,2),Y中与内 垂直的元素必有形式(-1,份,所以x=2 b,从而x =4.证 明:取。1=(修,%i)y,设。2 =($,f)y,满足。1以2 =0.由(s+。修=0得s +f =0,所以s,异号.因为-1是X中唯一的负数,所以s,1之中一个为-1,另一个为1,故1 E X.假设
5、为=1,其 中1 攵,则0 为 1 两,矛盾;若,=-1,则 X”=矛盾.所以X =L 设G =(S ,八),。2=(5 2,切,则。1以2 =0等价于0=一互,t$2记8=%飞X,e x,l.s l l d,则数集X具有性质P当且仅当数集8关于原点对称.注 意 到-1是x中的唯一负数,8 n(-8,o)=-孙-工3,-4 共有-1个数,所以8A(0,+8)也 只 有 个 数.由于 为 血,已有-1个数,对以下三角数阵X”-1 X”-2 X1出-旦-.%工X n I R”-2 X 2 -X -/“-二 ,=所以出-=&=i =,从而数列的通项为4=占件)=d的 X i XI Xn-1 Xn-2
6、 X k=1,2,,n.7 .D2、El 2 01 2 浙江卷设 S“是公差为d(d W O)的无穷等差数列 斯 的前项和,则下列命题车肯误的是()A.若 d 0D.若对任意“W N*,均有S“0,则数列 S“是递增数列7.C 解析本题考查等差数列的通项、前项和,数列的函数性质以及不等式知识,考查灵活运用知识的能力,有一定的难度.法一:特值验证排除.选项C显然是错的,举出反例:-1,0,1,2,3,满足数列 S,是递增数列,但是5“0 不恒成立.法二:由 于Sn=na i+”2 1)”=寰+(1-4,根据二次函数的图象与性质知当d 0,但对任意的 N,S“0 不成立,即选项C错误;反之,选 项
7、 D是正确的;故应选C.点评等差数列的求和公式与二次函数的图象的关系是解决本题的重要依据.D2等差数列及等差数列前n 项和6.D 2 Q 01 2 辽宁卷在等差数列 斯 中,已知4+念=1 6,则该数列前1 1 项和5“=()A.5 8 B.88C.1 4 3 D.1 7 66.B 解析本小题主要考查等差数列的性质和求和公式.解题的突破口为等差数列性质的正确应用.由等差数列性质可知,如+。8=1 +U=1 6,S u =X-皿 =88.5.D 2 2 01 2 全国卷已知等差数列 斯 的前项和为S“,的=5,S s=1 5,则 嬲的前1 00项和为()A1 00 n 9 9AA-1-0-1-R
8、D-1-0-1-9 9 1 01rc 1 0 0 Du-1 0 05.A 解析本小题主要考查等差数列的前项和公式与裂项相消求和法,解题的突破口为等差数列前奇数项和与中间项的关系及裂项相消求和法.由 55=5 4 3得 的=3,又5=5,服 a=n.=/:d-7,/-7+7 T+一ana,n(n+1)n n+1 可念 42a31 1 1 1 1 1 1 1 100-+薪 嬴;=1 +r 5+而 一 而=1-而=而,故选A10.D22012北京卷已知。“为等差数列,S“为其前”项和,若。|=,S 2=e 则念10.1 解析本题考查等差数列基本公式和基础运算,设等差数列%的公差为d,由 2=。3 可
9、 得,=3-2=d=J,所以2=2/=2xg=1.2.D2 2012.福建卷等 差 数 列%中,|+5=1 0,。4=7,则数列 斯 的 公 差 为()A.1 B.2 C.3 D.4筋+i+4d=10,2 +4d=10,2.B 解析根据已知条件得:即 解 得 勿=4,。+3d=7,ai+3d=7,所以d=2.所以选择B.11.D2 2012广东卷已知递增的等差数列 斯 满 足 用=1,。3=是-4,则册=.11.2-1 解析 设等差数列的公差为d,由于数列是递增数列,所 以 d 0,。3=田+2J=1 +2d,“2=“I+”=1 +d,代入已知条件:03=泊-4 得:1 +2J=(1+(I)2
10、-4,解得屋=4,所以 d=2(4=-2 舍去),所以.“=1 +(-1)X2=2“-1.7 T12.B 3、D22012.四川卷设函数/)=2x-cosx,”“是公差为R的等差数列,%。+加2)OH-F/(5)=5 兀,则/(的)?一。阳5=()A.0C.亲 D.方兀 兀 兀 兀12.D 解析设的=呢 则 a】=a-2=-g,a4=+g,a5=+,由Al)+加2)+加5)=5兀,得 2 X 5a-cosa-/)+cos(a 一 +cosa+cos(a+cos(a+=5兀,即 10a-(A/2+V2+l)cosa=5兀.T T当OWGWTT时,左边是。的增函数,且仪=方满足等式;当 a 兀时,
11、10a10兀,n5(V2+y2+1 )cosa 5cosa5,等式不可能成立;当a 0 时,10a 而-(6+4 2 +6+)cosa 5,等式也不可能成立.!兀故的=a=,A3)2-=兀2-(a-)(a+,=jjn2.19.D 2、D52012广东卷设数列 斯 的前n 项和为S.,满足25“=%+12/1+1,N*,且“1,。2+5,。3成等差数列.求 的 值;(2)求数列 斯 的通项公式;I 1 3(3)证明:对一切正整数,有一+H-Fq.2%21 9.解:.4,方+5,的成等差数列,2(2+5)=c i +a y又二 2 i =2s l =刃-2?+1,2(1 +=252=a3-23+1
12、,Q 2=2Q|+3,0 3 =6 t 7|+1 3.因此 4 d i +1 6 =7 +1 3,从而a =1.(2)由题设条件知,22时,2 Sn-1=-2 +1,2S =Q“+-27+1.=-斯-2,于是%+1=3 az i+2”(22).而由知,。2=如+3 =5=3。1+2,因此对一切正整数n,有许+=3 an+2”,所 以*+2 T =3+2”).又.;a i +2i =3,.斯+2 是 以 3 为首项,3为公比的等比数列.故斯+2 =3 ,即册=3 -2.4 =3 -2 =3 3 7 -2 =3 一|+2(3 t -2 T)N3 T,1 L1 9.D2、D 3、M2 20 1 2湖
13、南卷已知数列 斯 的各项均为正 数,记 4(n)=。|+即+“+斯,B()=a 2+。3 -|,C5)=a 3+4 4 H-F a+2 n ,2,.(1)若 上=1,a2=5,且对任意 G N*,三个数A(a),B(),C()组成等差数列,求数列 斯 的通项公式;(2)证明:数列 册 是公比为q的等比数列的充分必要条件是:对 任 意“W N*,三个数4(),B(n),C()组成公比为q的等比数列.1 9.解:对任意n N*,三个数A(),B(),C()是等差数列,所以B()-A()=C()-B(n),E P ani-ai=a2-a2,an2an =a2-a1=4.故数列“是首项为1,公差为4的
14、等差数列.于是 a =1 +(n -1)X 4 =4n-3.(2)必要性:若数列 斯 是公比为q的等比数列,则对任意 W N*,有“,1 =。的.由王“0 知,A(),B(n),C()而大于 0,于是-8-(”)-a-2-+-a-3-+-+-1-+-做-+-+-=Z IA(n)Q 1+Q2+Q 1 +Q2+C(n)=-。-3-+-。-4-+-+-%-+-2=-9-(-做-+-的-+-+-1-)=B(n)02+03+即+1 2 +03+a“i 即普?=5驾=q 所以三个数C5)组成公比为9的等比数列A(n)b(n)充分性:若对任意 W N*,三个数A(八),8(”),C()组成公比为q的等比数列
15、,则B(n)=qA(n),C(n)=qB(n).于是 C()-8()=4 8(N)-4(N),得为+2-。2=虱。“7-田),B P an.2-qan.x=a2-qax.由 ”=1 有 B(l)=qA(I),即。2=W1,从而斯*2-4 a 1 =0.因为。“0,所 以 包 二=%a+1 1故数列 斯 是首项为a”公比为夕的等比数列.综上所述,数列 斯 是公比为q的等比数列的充分必要条件是:对任意 E N*,三个数A(n),B(n),C(”)组成公比为q的等比数列.1 2.D 2 201 2 江 西 卷 设 数 列 乩 都 是 等 差 数 列.若=7,的+优=2 1,则。5 +。5 =1 2.
16、3 5 解析 考查等差数列的定义、性质;解题的突破口是利用等差数列的性质,将问题转化为研究数列的项与项数之间的关系求解.方法一:设 C=a +6”,:%,出”是等差数列,c”是等差数列,设其公差为d,则 q =7,c3=c i +2d=2L 解得 d=7,因此,c$=恁+%=7 +(5-1)X 7 =3 5.故填 3 5.方法二:设 c“=a”+历,是等差数列,6 是等差数列,2 Q+比)=(田 +加)+(。5+%5),即 4 2=7 +(a 5+-因此的+左=4 2-7 =3 5.故填 3 5.1 7.D2、D 5 201 2陕西卷 设 斯 是公比不为1 的等比数列,其前项和为a,且的,。3
17、,。4 成等差数列.(1)求数列 为 的公比:(2)证明:对任意k G N+,叉+2,Sk,成等差数列.1 7.解:(1)设数列 ,的公比为q(g#0,g#l),由“5,“3,四成等差数列,得 力3 =%+。4,即2a q 2=aqA+,由R#0,q#0 得/+g-2=0,解得知=-2,1(舍去),所以q=-2.证法一:对任意k N+,Sk+2+S m -2 Sk=(1+2-S。+(S x -S Q=*+1 +四+2+W+1=如+1+四+(-2)=0,所以,对任意女 N.,S”Sk,SA”成等差数列.证法二:对任意k N.,2 s L 怨沪,/1 k+2、/&+1、/c k+2*+1、,1(1
18、-g ),4 1(1-q )。1(2-q-q )s*2+&i=;+;=-r-1 -q 1 -q 1 -q八 s ,A+2 A:li -q加I(1 一 /)i-q2S-(SA+2+SK I)=为2(1 _ 力 _(2 _ 尸2 _式如=+q _ 2)=o,因此,对任意k N.,S*+2,Sk,S*.成等差数列.1.D 2 201 2重庆卷在等差数列&中,做=1,0 4=5,则 斯 的前5 项和S5=()A.7 B.1 5 C.20 D.251.B 解析因为 斯 是等差数列,所以6+。4 =勾+。5=1 +5=6,所以S5=也产D3等比数列及等比数列前n 项和1 3.D 3 201 2 浙江卷设公
19、比为g(q 0)的等比数列 飙 的前项和为S,,若$2=3 敢+2,S 4=3 4 4+2,贝!J q=.31 3$解析本题主要考查等比数列的求和以及二元方程组的求解.当4=1时,由S2=3 2+2 得 的=-2,由S4=3(7 4 +2 得。4=2,两者矛盾,舍去,则q W l,联立方程。1 +闻=3 q +2,p j =-1,0(1 -/可解得3 故应填*=3 q +2,q=,Z 点评注意分类,必须对q=l加以讨论,否则直接利用等比数列的求和公式容易导致遗漏.1 4.D 3 201 2辽宁卷已知等比数列 斯 为递增数列,且 达=。以 2(斯+%+2)=5为+”则数列 斯 的通项公式为a,.
20、=.1 4.2 解析本小题主要考查等比数列的概念与性质.解题的突破口为灵活应用等比数列通项变形式,是解决问题关键.由已知条件 4 为等比数列,可知,2(即+。+2)=5%+时 4)=5 应=为2-54+2=00q =:或 2,又因为 ”是递增数列,所 以 q =2.由a 。得。5=夕=3 2,所以=2c,“=a q n-1=2.7.D 3 201 2湖北卷定义在(-8,0)U(0,+8)上的函数於),如果对于任意给定的等比数列 斯,依为)仍是等比数列,则称大x)为“保等比数列函数”.现有定义在(一8,0)U(0,+8)上的如下函数:A x)=x2;颔 x)=2 y(x)=V k l;颜 x)=
21、ln ld则其中是“保等比数列函数”的A x)的序号为()A.B.C.D.7.C 解析设数列 斯 的公比为q.对于,噢)二 竽 二/,故数列伏阂)是公比为7 的等比数列;对于,.陪?=第1=2a”t-a“(不为常数),故数列伏。“)不是等比数列;对于,=M,故数列伏斯)是等比数列;对于,端=%(不为常数),故数列伏。“)不是等比 数 列.由“保等比数列函数”的定义知应选4.D 3 2 0 1 2 安徽卷公比为该的等比数列 知 的各项都是正数,且 w u=1 6,则 lo g 2 a 比=()A.4 B.5 C.6 D.74.B 解析本题考查等比数列,等比中项的性质,对数运算等.(解法一)由等比
22、中项的性质得“3 即=鬲=1 6,又数列 斯 各项为正,所以劭=4.所以=劭、/=32.所以 lo g 2 a 1 6 =5.(解法二)设等比数列的公比为q,由题意,册0,则。3 M l =7=(爷)2 =卓昌6=24,所以=21 0,解得 1 6 =2 .故 lo g 2 a l6=5.6.D 3 2 0 1 2 上海卷有一列正方体,棱长组成以1 为首项、g 为公比的等比数列,体积分别记为匕,V2,匕,则l一i m8(H+L+匕)=_ _ _ _ _ _ _ _.Q6今 解析】考查等比数列和无穷递缩等比数列的极限,此题只要掌握极限公式即可解决,是简单题型.由已知可知匕,V2,匕,构成新的等比
23、数列,首项=1,公比q =由极限公式得Oy 1 o(匕+匕+匕)=:-=71-82 1.DI、D 3、El、M3Q 0 1 2.重庆卷设数列 斯 的前w 项和S“满足S.+i=a 2 s“+。|,其中。2#0.(1)求证:斯 是首项为1 的等比数列;(2)若做 一1,求证:S“音 3+即),并给出等号成立的充要条件.2 1.解:(1)证法一:由 S 2 =2 S +得。+2 =2 1 +,即 2 =。2。1.因。2 。,故。1=1,得.=0 2.又由题设条件知S +2 =Q 2 S 1+1+1,S i-1=做5 +。1,两式相减得 S?+2-S+i =2(S +i -S 3即品+2 =。2 ”
24、+1,由 2 。,知恁+|W 0,因此&=2.综上,&n=。2对所有1-1且由(1)知。=1,斯=*所以要证的不等式化为1 +2 +:+加 2 3),)n+即证:1+做+。3+a?W 2(1+凶)(22).当2=1时,上面不等式的等号成立.当时,凶-1与-1(r=1,2,,-1)同为负;当。2 1 时,1 与 M -1(r=1,2,,-1)同为正.因此当2-1且。2彳1时,总有1)(或1)0,即,+1 +=1,2,,n-1).上面木等式对r从1至-1求和得2(2+Cl2+(12*)-1且。2 2 0时,有S W女 +),当且仅当n=1,2或2=1时等号成立.证法二:当=1或2时,显然+”),等
25、 号成立.当2=1时,Sn=n=2(f li+斯),等号也成立.当”#1时,由知$?=;也,an=a下证:1 一 2 _ Q”丁q 3(i+。夕|)(2 3,2-1且“2/1)1 一。2 乙当-1 念 1时,上面不等式化为(n-2)及+-雄 -2(23).令 加2)=(H-2)2+区 I当 一 1 2 0,故大 2)=(-2)成+2(1 -凶 2)(-2)1。2 1 一 2,即所要证的不等式成立.当 0 2 1 时,对 2 求导得 r (2)=(-2)2 1-(n-1)2 2+1=ng(a2)-其中g(。2)=(-2)小 J (-1)雄?+1,则 g(。2)=(-2)(一 1)(2-1)近 3
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