湖南省长沙市2023届高三上学期入学摸底考试数学试题及答案.pdf
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1、2023届新高三入学摸底考试数学一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若 集 合 =打 中2 4%所以z N=(a +bi)(a-bi)=/+=|z=2.故选:B.2 23.已知双曲线C:=一4 =1 (a o,b 0)的一条渐近线为y=2x,则C的离心率为()a bA.V2 B.百 C.2 D.V5【答案】D【解析】【分析】由条件可得2 =2,又因为 2=/+,计算得到g=后.a a2上2【详解】因为双曲线C:二a=l的一条渐近线为y =2x,所以2 =2,a故选:D.4.已知/(x)是定义在K上的奇函数,/(x 1)为偶函数
2、,且当0 x 4 1时,/(x)=l og2 l x,则/(2 1)=()A.-1 B.0 C.l og,3 D.1【答案】D【解析】【分析】根据奇偶性的性质化简可得/(x)是以4为周期的函数,即可求出.【详解】因为/(x)是定义在R上的奇函数,故可得/)=一/(X),又/(x l)为偶函数,故可得/(x _l)=/(_x _ l)=_/(x +l),则 X)=_/(X+2)=_/(X+4)=/(X+4),故/(X)以 4 为周期,故 21)=1)=1暇2=1.故选:D.5.每年的6月6日是全国爱眼日,某位志愿者跟踪调查电子产品对视力的影响,据调查,某高校大约有45%的学生近视,而该校大约有2
3、0%的学生每天操作电子产品超过1 h,这些人的近视率约为50%.现从每天操作电子产品不超过l h的学生中任意调查一名学生,则他近视的概率为()7 3 1A.B.C.D.一16 8 16 4【答案】A【解析】【分析】令事件4 =玩手机时间超过l h的学生”,4 =”玩手机时间不超过l h的学生“,8=”任意调查一人,此人近视”,则由尸(8)=尸(4)尸(5 l 4)+P(4)产(剂4)可求出.【详解】令事件4 =玩手机时间超过l h 的学生”,4 =”玩手机时间不超过l h 的学生,8=任意调查一人,此人近视“,则样本空间。=4 口4,且 4,4 互斥,尸(4)=0.2,P(4)=0.8,P(5
4、|4)=O.5,p(5)=0.45,依题意,尸(8)=尸(4)尸(P 4)+尸(4)尸(8l 4)=0 2X0.5+0.8XP(3|4)=045,7 7解得P(面 4)=而,所以所求近视的概率为正.故选:A.6.已知点/为 圆 台 下 底 面 圆 02的圆周上一点,S 为上底面圆01的圆周上一点,月.SO|=1,9,02=G,O M=2,记直线”与直线。2所成角为。,则()A.e f o,-l B.C.9 -,-l 6 I 3 6 3j【答案】C【解析】【分析】根据 线 面 角 的 定 义 确 定 再 根 据 圆 的 性 质 计 算 得 解.【详解】由题意,设上、下底面半径分别为4,4,其中4
5、=1,&=2,7147t2D.9e如图,过S 作必 垂直下底面于。,则所以直线S4与 直 线 所 成 角 即 为 直 线 S/与直线S D所成角,即ZA S D =0,而 tan。A D _ A DSDl/3,由圆的性质,1=用一O i D W A D W O D +R2=3,所以故选:c.71兀67.已知函数/(x)=2sin(2 x-q 1,若方程/(x)=|在(0,兀)的解为为,x2(x,x2),则sin(x1-x2)=()A2V2 R 2V2 n _13 3 3 3【答案】A【解析】【分析】结合正弦型函数的图像与性质可得土产=1|,进而可得sin(%-X2)=-cos(2 X 1-g)
6、,明确玉的范围得到结果.冗 f 乃 54 (4 【详解】因为XW(0,T T),所以2%一 w J,又因为玉户2是sin 2T一 的 两 根,结合图象可知-=-所以迎=-玉,2 12 6所以sin(M -/)5万又因为玉(x)的对称轴为直线x=0,则一一=0,可得6=0,3a则/(X)=3(2X2+c,/(x)=ax3+cx,在滑道最陡处,设滑雪者的身体与地面所成角为。,则.(乃)/、sin a+,,小,(I 2)cosa 1f (0)=c=tan a+=-7-=-=-,2)sina tanacos a+I 2)Y I所以 f(=ax3-,/7 x)=3ax2-tana tana由图可知/(%
7、)=3叫02-1-=0tan crf(xo)=axo-=-10tana可得 2玉)=30tana,因为a 44,则 2/=30tana 28.97 29(m).二、多选题:本题共4 小题,每小题5 分,共 20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5 分,部分选对的得2分,有选错的得0 分.9.医用口罩由口罩面体和拉紧带组成,其中口罩面体分为内、中、外三层.内层为亲肤材质(普通卫生纱布或无纺布),中层为隔离过滤层(超细聚丙烯纤维熔喷材料层),外层为特殊材料抑菌层(无纺布或超薄聚丙烯熔喷材料层).根据国家质量监督检验标准,医用口罩的过滤率是重要的指标,根据长期生产经验,某企业
8、在生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率X N (0.9372,0.01392).则下列结论正确的是()(参考数据:若X 则尸(-2crXK +2b)=0.9545,P(-3 b X 4 +3cr)=0.9973,O.9772550 0.3164.)A,尸(X 4 0.9)0.9789)=0.00135C,P(X0.4)1.5)D.假设生产状态正常,记y表示一天内抽取的50只口罩中过滤率大于+2cr的数量,则尸(丫 2 1)=0.6836【答案】ABD【解析】【分析】根据题意可得=0.9372,7=0.0139,然后根据正态分布的性质逐个分析判断即可【详解】由题意可知,正态分布的 =0.9
9、 3 7 2,b =0.0 1 3 9.选项A,因为0.9,所以P(X W 0.9)0.9 7 8 9)=P(X 4 +3。),且尸(一3。0.9 7 8 9)=-=0.0 0 1 3 5,故 B 正确;选项 C,因为 一 0.4|1.5-“,0.4 1.5,所以 P(X P(X 1.5),故 C 错误;1-0 9 5 4 5选项D,因为一只口罩过滤率小于等于+2 b的概率为0.9 5 4 5+二 =0.9 7 7 2 5 ,2又因为=1 P(Y =0)=1 0.9 7 7 2 5 5。=0.6 8 3 6 ,故 D 正确.故选:A B D.1 0.已知(%以),8(马必)是圆。:/+/=上两
10、点,则下列结论正确的是()A.若|1倒=1,则=WB.若点。到直线A B的距离为g ,则*C.若Z A O B=,则卜+弘一 1|+|x2+%-1|的最大值为2近D.若乙A O B =g,则 卜+y-l|+W+y 2 Tl的最大值为4【答案】A D【解析】【分析】对于选项A,B,根据垂径定理可判断,对于选项C,D,根据点到直线的距离公式可求解判断.故A正确;若点。到直线4 8的 距 离 为 贝I J可 知 增=1,从而得故B错误;对于B,对于C,D,|须+乂一”,卜 2+为一1|&0的值可转化为单位圆上的/(石,凹),8 (,外)两点到直线x+y-l =0的距离之和,又N A O B =90,
11、所以三角形Z O 8是等腰直角三角形,设M是 的 中 点,则0A/143,且|0闾=也|。|=,则加在以。点为圆心,半 径 为 也 的 圆 上,48两点到直线x+y 1 =0的距离之和为Z8的 中 点/到 直 线x+y-=O的距离的两倍.点。(0,0)到直线x+y 1 =0的 距 离 为 击=乎,所以点M到直线x+y-i =o的距离的最大值为也+也=J5,2 2所以修卜2缓_的最大值为2 亚.因此ki +必-1|+|x2+j 2-1|的最大值为4.从而可知C错误,D正确.1 1.已知定义在R上的偶函数/(X),其导函数为/(X),当x NO时,/(x)+s i n 2 x 0.则()A.函数8
12、(刀)=/()一(;0 5 2%的图象关于 轴对称B.函数g(X)=/(X)co s?X在区间 0,+。)上单调递减C.不等式/(力-/1+|3 5 2%的解集为18,_7)D.不等式/(X)-/x+1 /(x)-co s2x,即g x+|J g(x).根据函数g(x)的奇偶性和单调性可求解.【详解】解:对于选项A,由g(-x)=/(-x)-co s 2(-x)=/(x)co s 2 x,所以g(x)为偶函数,所以函数g(x)=/(x)-co s?的图象关于y轴对称.故A正确;对于选项 B,由 g(x)=/(x)-co s 2 x为偶函数.当珍0时,g (x)=/(x)+s i n 2 x 0
13、 ,所以g(x)在 0,+巧 上单调递减,故g(x)在(-8,0 上单调递增.故B正确;对于 C、D 选项,由/(x)-/x+、)co s 2 x,得/(x)-/x+)/(x)-co s2x,即+-co s 2 ,所以g(x+gg(x).所以x+g 国,解得x 2)的离心率为也,过点P (1,1)的直线与椭圆C交于4 B两a 2 3点,且满足方=/1万.动点。满 足 而=-/1丽,则下列结论正确的是()A.a=3B.动点。的轨迹方程为2 x+3 y-6=0C.线段。(。为坐标原点)长度的最小值为竺11 3D.线段。(。为坐标原点)长度的最小值为g叵1 3【答案】A B D【解析】【分析】对于A
14、:利用离心率直接求出a=3;对于B:设/(%,乂),8(,必),。(加,),进行向量坐标n 7 1 1化,整理化简得到+万=1,即可判断出动点。的轨迹方程为直线2 x+3 y-6=0,故B正确;对于C、D:求出线段。长度的最小值即为原点到直线的距离,利用点到直线的距离公式即可求解.【详解】对于A:由椭圆C:W +:=l(a2)的离心率为 半,得2=乎,所以。=3,故 A正确;对于 B:设/(1,弘),8卜2,%),0(加/o=(1_玉,1_乂),06 =(2 _ 1,少2_1),A Q =(z n-X p H-yll Q B =(x2-tn,y2-n),由 万=4 而,而=_义/,得1 玉二%
15、(工2 1),m-xx=-/l(x2 一 加),+-x?=1 +A,X,一/1%2 =加(1 一 丸),两式相乘得X;-万 石=2(1-Z2),同理可得 分 货=(1_巧,./2弓 _2 丸2 ,_ 22_ 2、/+_ J.=(1-A2)fy +-由题意知/1 0 且/I K I,否 则 与 而=一 4 班矛盾,.%+2=1,.动点。的轨迹方程为小义=1,即直线2 x+3 y-6 =0,故 B正确;3 2 3 2对于C、D:所以线段。长度的最小值即为原点到直线的距离,.|O Q|m i n=1 1 V 4 7 9 1 3故 C错误,D正确.故选:A B D.三.填空题:本题共4小题,每小题5分
16、,共20分.1 3.已知函数J(x)满足:J(x+y)=/(x)/e),且当x y 时,J(x)/U),请你写出符合上述条件的一个函数7(x)【答案】2*(答案不唯一)【解析】【分析】由y 时,,f(x)fiy)所以函数x)=2 满足条件,故答案为:2X(答案不唯一)一 3 一1 4.已知在中,点。满足点E在 线 段(不含端点A,O)上移动,若4AE=X AB+/fAC,则与二.A【答案】3【解析】【分析】方=机 而(0 加 1),利用向量的线性运算求得衣关于彳瓦衣的表达式,利用平面向量基本定理中的分解唯一性得到Z关于加的表达式,进而得到答案.【详解】如图,由题意得存在实数?,使 得 万=加1
17、万(0 2 =,故顶点P的轨迹长度为2标 兀 故答案为:2五X兀.1 6.若直线/:y =A x +b为曲线/(x)=e与曲线g(x)=e2-ln x的公切线(其中e为自然对数的底数,e a 2.7 1 8 2 8),则实数 6=.【答案】0或-e2#-e2或0【解析】【分析】设切点坐标,求导,根据切线方程的求解,分别得到/(x),g(x)的切线方程,由两条切线方程相同可联立方程即可求出切点横坐标,进而可求解.【详解】根据切线方程的求解,联立方程即可解得切点,进而可求6.设/与/(x)的切点为(4,匕),则 由/(x)=e ,有/:y =x e,+(l-x j e,同理,设/与g(x)的切点为
18、2e2(巧,/),由g (x)=J,有/:y =x +e (lu x 2 -1).x X?,e2故,x2 由式两边同时取对数得:X=2-卜工2 =I n 0-1=1一再,将代(l-xt)eV|=e2(ln x2-1),(2)入中可得:(1 x J(e,-e2)=0,进而解得二,或 二.=e I=1则/=ex 或y =百丫一/.故 6 =0 或-e2.故答案为:0或-5四、解答题:本题共6 小题,共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1 7.Z B C中,内角4 B,C所对的边分别是a,b,c,已知a b c o sC =c si n B-3(1)求内角8的大小;(2)已 知 的
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