计量学-ARMA模型的自相关函数概述26116.pptx
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1、(三)(三)ARMA模型的自相关函数模型的自相关函数 由ARMA(p,q)的自协方差公式可以看出,n只有 的q个自相关 的值同时依赖于 和 ;n当 时,具有与AR(p)模型相同的自相关函数差分公式或者1n若 ,自相关函数 是指数或正弦波衰减的,具体由多项式 和初始值决定。n若 ,就会有 个初始值 不遵从一般的衰减变化形式。nARMA(p,q)的自相关函数是 步拖尾的。这一事实在识别ARMA模型时也非常有用。2nARMA(1,1)过程3二、偏自相关函数(partial autocorrelation function,PACF)n时间序列过程的偏自相关函数就是时间序列在两个时间随机变量之间,排除
2、了其间各个时间随机变量影响的相关系数。4(一)AR(p)模型的偏自相关函数nAR(p)的模型n偏自相关函数定义为n计算方法把 对 回归,得到回归方程其中最后一项的回归系数就是要求的偏自相关系数 。5n根据线性回归法计算偏自相关函数,运用最小二乘法进行参数估计,得到正规方程组n该方程组也可以认为是利用的协方差和自相关函数导出。尤勒沃克方程如下6n分别求解,得到偏自相关系数:7n由于AR(p)模型意味着 与 以后的滞后项不相关,因此大于p阶的偏自相关系数必然都等于0。n这意味着AR(p)模型的偏自相关函数有在 处截尾的特征。n这也是识别自回归模型及其自回归阶数的重要依据。8(二)MA(q)和ARM
3、A模型的偏自相关函数nMA(1)的偏自相关函数 该函数 ,且被衰减指数控制,因此具有拖尾性。n可逆的MA()过程等价于无限阶的AR过程,因此它们的偏自相关函数会无限延伸,被指数衰减和(或)正弦波衰减所控制。总之都具有拖尾的特征。9n自回归移动平均混合过程ARMA(p,q),是由自回归过程和移动平均过程两部分组成,因此它们的偏自相关函数也是无限延伸的,其特征就像纯移动平均过程的偏自相关函数。n混合过程的偏自相关函数被复合的衰减指数和(或)衰减正弦波所控制。衰减特性主要由移动平均过程的阶数和具体参数决定。10三、模型识别方法三、模型识别方法1、基本ARMA模型自相关和偏自相关函数的基本特征(1)A
4、R(p)模型的自相关函数是拖尾的,即会按指数衰减,或正弦振荡衰减,偏自相关函数是截尾的,截尾处为自回归阶数p;(2)MA(q)模型的自相关函数是截尾的,截尾处对应移动平均阶数q。偏自相关函数则是拖尾的;11(3)ARMA(p,q)模型的自相关函数和偏自相关函数都是拖尾的,自相关函数是 步拖尾,偏自相关函数是 步拖尾。122、样本自相关函数和样本偏自相关函数n假设有一组观测样本 ,一般认为近似自相关函数最好的样本自相关函数为:其中13n计算样本偏自相关函数(SPACF)的方法:直接把样本自相关值代入尤勒沃克方程进行计算,或者用公式 回归的方法计算。14第三节第三节 自回归移动平均模型的自回归移动
5、平均模型的估计估计nARMA模型的参数估计常用的方法是利用均值(期望)、自相关函数,包括Yule-Walker方程的矩估计方法。这些矩估计方法是一致估计,但未必有效。n充分有效的估计方法是最大似然法,但最大似然法比较复杂。n在样本容量较大时矩估计与最大似然估计是接近的。15一、移动平均模型参数估计一、移动平均模型参数估计nMA(q)模型的自协方差函数为n自相关函数为16n首先利用样本数据计算出 的估计值n把这q+1个样本自协方差代自协方差函数中的 ,或者根据这些 再计算出 的估计 代入自相关函数,并用 和 分别代自协方差或自相关函数中的待定参数 和 ,可得到q+1个方程的联立方程组。17n如果
6、可以从这个方程组解出 和 ,就是我们要求的参数估计值。n也可以先解出真实参数与自协方差、自相关的关系,再代入样本估计值。n因为 是时间序列过程的二阶矩,上述估计量是通过q+1个样本矩方程求出的,所以是矩估计量,具有一致估计的性质。18nq=1时的参数估计方法一:直接利用一阶自相关函数进行参数估计19n由于可逆性条件要求 的绝对值小于1,因此只有 满足要求。n把样本自相关系数 作为 的估计代入上式,就可以解得模型参数的估计量20方法二:利用自协方差函数 进行估计nMA(1)模型有n求解上述方程组,并利用 ,可解得 21n代入样本自相关和自协方差得模型参数和模型误差项方差 的估计量n由于上述矩估计
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