线性代数正交向量精品文稿.ppt
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1、线性代数正交向量第1 页,本讲稿共21 页v向量的内积 设有n维向量x(x1 x2 xn)T y(y1 y2 yn)T 令 x yx1y1x2y2 xnyn x y 称为向量x与y 的内积 说明 内积是两个向量之间的一种运算 其结果是一个实数 用矩阵记号表示 当x与y 都是列向量时 有 x y xTy下页 第2 页,本讲稿共21 页v向量的内积 设有n 维向量x(x1 x2 xn)T y(y1 y2 yn)T 令 x y x1y1 x2y2 xnyn x y 称为向量x 与y 的内积 v内积的性质 设x y z 为n维向量 为实数 则(1)x y y x(2)x y x y(3)x y z x
2、 z y z(4)当x0时 x x0 当x0时 x x0(5)x y2 x x y y 施瓦茨不等式 下页 第3 页,本讲稿共21 页v向量的长度 令|x|称为n 维向量x 的长度(或范数)v向量的长度的性质 设x y 为n维向量 为实数 则(1)非负性 当x0时|x|0 当x0时|x|0(2)齐次性|x|x|(3)三角不等式|x y|x|y|下页 第4 页,本讲稿共21 页三角不等式|x y|x|y|的证明 因为|x|22|x|y|y|2即|x y|x|y|(|x|y|)2由施瓦茨不等式 有|x y|2 x y x y x x2 x y y y 返回 第5 页,本讲稿共21 页解v向量间的夹
3、角称为n 维向量x 与y 的夹角 当x0 y0 时 第6 页,本讲稿共21 页v向量间的夹角称为n 维向量x 与y 的夹角 当x0 y0 时 当 x y0时 称 向 量 x与 y 正 交 显 然 若 x0 则 x与 任 何 向 量 都 正交 下页若一非零向量组中的向量两两正交,则称该向量组为正交向量组第7 页,本讲稿共21 页v向量间的夹角称为n 维向量x 与y 的夹角 当x0 y0 时 当 x y0时 称 向 量 x与 y 正 交 显 然 若 x0 则 x与 任 何 向 量 都 正交 v定理1 若n维向量a1 a2 ar是一组两两正交的非零向量 则a1 a2 ar线性无关 下页第8 页,本讲
4、稿共21 页v定理1 若n 维向量a1 a2 ar是一组两两正交的非零向量 则a1 a2 ar线性无关 设有1 2 r 使1a1 2a2 rar0 以a1T左乘上式两端 得1a1Ta10因a10 故a1Ta1|a1|20 从而必有10 类似可证2 3 r0 因此 向量组a1 a2 ar线性无关 证明 返回 第9 页,本讲稿共21 页 例1 已知3维向量空间R3中两个向量a1(1 1 1)T a2(1 2 1)T正交 试求一个非零向量a3使a1 a2 a3两两正交 解 设a3(x1 x2 x3)T 则a3应满足a1Ta30 a2Ta30即a3应满足齐次线性方程组 取a3(1 0 1)T即合所求
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