2023年常微分方程第三版课后习题超详细解析超详细解析答案.pdf
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1、常微分方程第三版课后习题答案 习题 1、2 1.dxdy=2xy,并满足初始条件:x=0,y=1 的特解。解:ydy=2xdx 两边积分有:ln|y|=x2+c y=e2x+ec=cex2另外 y=0 也就是原方程的解,c=0 时,y=0 原方程的通解为 y=cex2,x=0 y=1 时 c=1 特解为 y=e2x、2、y2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件:x=0,y=1 的特解。解:y2dx=-(x+1)dy 2ydydy=-11xdx 两边积分:-y1=-ln|x+1|+ln|c|y=|)1(|ln1xc 另外 y=0,x=-1也就是原方程的解 x=0,y=1 时 c=e 特解:
2、y=|)1(|ln1xc 3.dxdy=yxxyy321 解:原方程为:dxdy=yy2131xx yy21dy=31xx dx 两边积分:x(1+x2)(1+y2)=cx2 4、(1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解:原方程为:yy1dy=-xx1dx 两边积分:ln|xy|+x-y=c 另外 x=0,y=0 也就是原方程的解。5.(y+x)dy+(x-y)dx=0 解:原方程为:常微分方程第三版课后习题答案 dxdy=-yxyx 令xy=u 则dxdy=u+xdxdu 代入有:-112uudu=x1dx ln(u2+1)x2=c-2arctgu 即 ln(y2+x2)=c-2arctg
3、2xy、6、xdxdy-y+22yx=0 解:原方程为:dxdy=xy+xx|-2)(1xy 则令xy=u dxdy=u+xdxdu 211u du=sgnx x1dx arcsinxy=sgnx ln|x|+c 7、tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为:tgydy=ctgxdx 两边积分:ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c|siny=xccos1=xccos 另外 y=0 也就是原方程的解,而 c=0 时,y=0、所以原方程的通解为 sinycosx=c、8 dxdy+yexy32=0 解:原方程为:dxdy=yey2ex3 2 ex3-3e2y=c、9、x(lnx-lny
4、)dy-ydx=0 解:原方程为:dxdy=xylnxy 令xy=u,则dxdy=u+xdxdu 常微分方程第三版课后习题答案 u+xdxdu=ulnu ln(lnu-1)=-ln|cx|1+lnxy=cy、10、dxdy=eyx 解:原方程为:dxdy=exey ey=cex 11 dxdy=(x+y)2 解:令 x+y=u,则dxdy=dxdu-1 dxdu-1=u2 211udu=dx arctgu=x+c arctg(x+y)=x+c 12、dxdy=2)(1yx 解:令 x+y=u,则dxdy=dxdu-1 dxdu-1=21u u-arctgu=x+c y-arctg(x+y)=c
5、、13、dxdy=1212yxyx 解:原方程为:(x-2y+1)dy=(2x-y+1)dx xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0 dxy-d(y2-y)-dx2+x=c xy-y2+y-x2-x=c 14:dxdy=25yxyx 解:原方程为:(x-y-2)dy=(x-y+5)dx xdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0 dxy-d(21y2+2y)-d(21x2+5x)=0 y2+4y+x2+10 x-2xy=c、常微分方程第三版课后习题答案 15:dxdy=(x+1)2+(4y+1)2+8xy1 解:原方程为:dxdy=(x+4y)2+3 令 x+4y=u
6、则dxdy=41dxdu-41 41dxdu-41=u2+3 dxdu=4 u2+13 u=23tg(6x+c)-1 tg(6x+c)=32(x+4y+1)、16:证明方程yxdxdy=f(xy),经变换 xy=u 可化为变量分离方程,并由此求下列方程:1)y(1+x2y2)dx=xdy 2)yxdxdy=2222x-2 y x2y 证明:令 xy=u,则 xdxdy+y=dxdu 则dxdy=x1dxdu-2xu,有:uxdxdu=f(u)+1 )1)(1ufudu=x1dx 所以原方程可化为变量分离方程。1)令 xy=u 则dxdy=x1dxdu-2xu (1)原方程可化为:dxdy=xy
7、1+(xy)2 (2)将 1 代入 2 式有:x1dxdu-2xu=xu(1+u2)u=22u+cx 17、求一曲线,使它的切线坐标轴间的部分初切点分成相等的部分。解:设(x+y)为所求曲线上任意一点,则切线方程为:y=y(x-x)+y 则与 x 轴,y 轴交点分别为:x=x0-0yy y=y0-x0 y 常微分方程第三版课后习题答案 则 x=2 x0=x0-0yy 所以 xy=c 18、求曲线上任意一点切线与该点的向径夹角为 0 的曲线方程,其中=4。解:由题意得:y=xy y1dy=x1 dx ln|y|=ln|xc|y=cx、=4 则 y=tgx 所以 c=1 y=x、19、证明曲线上的
8、切线的斜率与切点的横坐标成正比的曲线就是抛物线。证明:设(x,y)为所求曲线上的任意一点,则 y=kx 则:y=kx2+c 即为所求。习题 2、1 1、xydxdy2,并求满足初始条件:x=0,y=1 的特解、解:对原式进行变量分离得。故它的特解为代入得把即两边同时积分得:eexxycyxxcycyxdxdyy22,11,0,ln,212 ,0)1(.22dyxdxy并求满足初始条件:x=0,y=1 的特解、解:对原式进行变量分离得:。故特解是时,代入式子得。当时显然也是原方程的解当即时,两边同时积分得;当xycyxyxcycyxydydxxy1ln11,11,001ln1,11ln0,111
9、2 3 yxydxdyxy321 解:原式可化为:常微分方程第三版课后习题答案 xxyxxyxyxyyxyccccxdxxdyyyxydxdy2222222232232)1(1)1)(1(),0(ln1ln21ln1ln2111,0111)故原方程的解为(即两边积分得故分离变量得显然 .0;0;ln,ln,lnln0110000)1()1(4xycyxxycyxxycyyxxdyyydxxxxyxyxdyyydxx故原方程的解为即两边积分时,变量分离是方程的解,当或解:由:常微分方程第三版课后习题答案 10ln1lnln1ln1,0ln0)ln(ln:931:8.coslnsinln07lns
10、gnarcsinlnsgnarcsin1sgn11,)1(,6ln)1ln(21111,11,0)()(:53322222222222cdxdydxdyxycyuduudxxxyudxxydyxyydxdyyxxcdyyyyydxdycxytgxdxctgydyctgxdytgydxcxxxycxxudxxxduxdxdudxduxudxdyuxyuxyydxdyxcxarctgudxxduuuudxduxudxduxudxdyuxyuxyxyxydxdydxxydyxyeeeeeeeexyuuxyxuuxyxyyxxx两边积分解:变量分离:。代回原变量得:则有:令解:方程可变为:解:变量分离
11、,得两边积分得:解:变量分离,得:也是方程的解。另外,代回原来变量,得两边积分得:分离变量得:则原方程化为:解:令:。两边积分得:变量分离,得:则令解:常微分方程第三版课后习题答案 cxyxarctgcxarctgtdxdtdxdtdxdtdxdytyxdxdycdxdydxdyttyxeeeeexyxyyx)(,11111,.11222)(代回变量得:两边积分变量分离得:原方程可变为:则解:令两边积分得:解:变量分离,12.2)(1yxdxdy 解 cxyxarctgyxcxarctgttdxdttttdxdtdxdtdxdytyx)(1111222,代回变量,两边积分变量分离,原方程可变为
12、,则令 变量分离,则方程可化为:令则有令的解为解:方程组UUdXdUXUXYYXYXdXdYYyXxyxyxyxyxyxdxdyU2122222,31,3131,31;012,0121212.132 常微分方程第三版课后习题答案.7)5(72177217)7(,71,1,525,14)5(22cxyxcxtdxdttttdxdtdxdtdxdytyxyxyxdxdyyxt代回变量两边积分变量分离原方程化为:则解:令 15.18)14()1(22xyyxdxdy 原方程的解。,是,两边积分得分离变量,所以求导得,则关于令解:方程化为cxyxarctgdxduuudxdudxdudxdyxuyxy
13、xxyyyxxdxdy6)383232(941494141412)14(1818161222222 16.2252622yxxyxydxdy 解:,则原方程化为,令uyxxyxydxdyxxyyxydxdy323223323222322)(32(2)(126326322222xuxuxxuxudxdu,这就是齐次方程,令cxxyxycxyxycxxyxycxzzdxxdzdzzzzzxyxyzzzzzzzdxdzxdxdzxzzzdxdzxzdxduzxu15337333533735372233222)2()3(023)2()3,)2()3112062312306)1.(.1261263的解为
14、时。故原方程包含在通解中当或,又因为即(,两边积分的(时,变量分离当是方程的解。或)方程的解。即是(或,得当,所以,则 常微分方程第三版课后习题答案 17、yyyxxxyxdxdy3232332 解:原方程化为123132;)123()132(2222222222yxyxdxdyyxyyxxdxdy 令)1.(123132;,22uvuvdvduvxuy则 方程组,);令,的解为(111101230132uYvZuvuv 则有zyzydzdyyzyz23321023032)化为,从而方程(令)2.(.232223322,所以,则有ttdzdtzttdzdtztdzdtztdzdyzyt 当是原
15、方程的解或的解。得,是方程时,即222222)2(1022xyxytt当cxyxydzzdtttt5222222)2(12223022两边积分的时,分离变量得 另外 cxyxyxyxy522222222)2(2原方程的解为,包含在其通解中,故,或 常微分方程第三版课后习题答案,这也就是方程的解。,两边积分得分离变量得,则原方程化为令解)(并由此求解下列方程可化为变量分离方程,经变换证明方程cyxxydxxduuuuuxuuuuxyxyxdxdyyxxdydxyxyuxyxyfdxdyyx4ln142241)22(1dxduuxy(2)0.x,c2故原方程的解为原也包含在此通解中。0y,c2即,
16、c2两边同时积分得:dxx12udu变量分离得:),(2ux1dxdu则方程化为u,xy令1dxdyyx时,方程化为0sxy是原方程的解,当0y或0 x当:(1)解程。故此方程为此方程为变u)(uf(u)x11)(f(u)xu1)y(f(u)dxduf(u),1dxduy1得:ydxdudxdyx所以,dxdydxdyxy求导导得x关于u,xy证明:因为22).2()1(.1)(18.222222222222224223322222222xyxyxyxyxuuuuyx 19、已知 f(x)xxfxdtxf0)(,0,1)(的一般表达式试求函数、解:设 f(x)=y,则原方程化为xydtxf01
17、)(两边求导得12yyy cxyycxdyydxdxdyy21;121;1;233所以两边积分得代入把cxy21xydtxf01)(xyccxccxcxdtctx21,02)2(;2210所以得常微分方程第三版课后习题答案 20、求具有性质 x(t+s)=)()(1)()(sxtxsxtx的函数 x(t),已知 x(0)存在。解:令 t=s=0 x(0)=)0(1)0()0(xxx=)0()0(1)0(2xxx 若 x(0)0 得 x2=-1矛盾。所以 x(0)=0、x(t)=)(1)(0()()(1)(1)(lim)()(lim22txxtxtxttxtxttxttx)(1)(0()(2tx
18、xdttdx dtxtxtdx)0()(1)(2 两 边 积 分 得arctg x(t)=x(0)t+c 所以 x(t)=tgx(0)t+c 当 t=0 时 x(0)=0 故 c=0 所以 x(t)=tgx(0)t 习题 2、2 求下列方程的解 1.dxdy=xysin 解:y=e dx(xsine dxcdx)=ex-21ex(xxcossin)+c=c ex-21(xxcossin)就是原方程的解。2.dtdx+3x=et 2 解:原方程可化为:dtdx=-3x+et 2 所以:x=edt3(et 2 edt3cdt)=et 3(51et 5+c)=c et 3+51et 2 就是原方程的
19、解。3.dtds=-stcos+21t 2sin 常微分方程第三版课后习题答案 解:s=etdtcos(t 2sin21edtdt3c)=etsin(cdttettsincossin)=etsin(cetettsinsinsin)=1sinsintcet 就是原方程的解。4.dxdynxxeynx ,n 为常数、解:原方程可化为:dxdynxxeynx )(cdxexeeydxxnnxdxxn )(cexxn 就是原方程的解、5.dxdy+1212yxx=0 解:原方程可化为:dxdy=-1212yxx dxxxey212(cdxedxxx221)21(ln2xe)(1ln2cdxexx=)1
20、(12xcex 就是原方程的解、6.dxdy234xyxx 解:dxdy234xyxx =23yx+xy 令xyu 则 uxy dxdy=udxdux 因此:dxduxu=2ux 21udxdu dxduu2 常微分方程第三版课后习题答案 cxu331 cxxu 33 (*)将xyu带入 (*)中 得:3433cxxy就是原方程的解、3332()21()227.(1)12(1)12(),()(1)1(1)()1(1)dxP x dxxP x dxdyyxdxxdyyxdxxP xQ xxxeexeQ x dxcx P(x)dx232解:方程的通解为:y=e =(x+1)(*(x+1)dx+c)
21、=(x+1)(x+23221(1)()211,()()dyyxcdyydxxydxxydyyyQ yyyeyQ y dyc2243P(y)dyP(y)dyP(y)dy1)dx+c)=(x+1)即:2y=c(x+1)+(x+1)为方程的通解。8.=x+y解:则P(y)=e方程的通解为:x=ee 2331*)22y dycyycyy =y(=即 x=+cy是方程的通解,且y=0也是方程的解。常微分方程第三版课后习题答案()()()19.,1),()()01adxP x dxaxP x dxP x dxaadyayxadxxxaxP xQ xxxeexeeQ x dxcaa为常数解:(方程的通解为:
22、y=1 x+1 =x(dx+c)xx 当 时,方程的通解为 y=x+ln/x/+c 当 时,方程01aaaa的通解为 y=cx+xln/x/-1 当,时,方程的通解为x1 y=cx+-1-3331()()()310.11(),()1()(*)dxP x dxxP x dxP x dxdyxyxdxdyyxdxxP xQ xxxeexeeQ x dxcx x dxccxcx 33解:方程的通解为:y=1 =xx =4x方程的通解为:y=4 3 常微分方程第三版课后习题答案 22212111()()222ln112.(ln2)424ln2ln2ln22ln2ln(),()()ln1()(P x d
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