高考数学理科(高考真题模拟新题)分类汇编:D单元数列.pdf
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1、数 学D单 元 数 列D1数列的概念与简单表示法1 7.、2 0 1 4 江西卷已知首项都是1的两个数列 斯,乩(打#0,“GN*)满足“也+-a”+i 卅+2 b “+也”0.令 c,尸 言 求 数 列 c,J的通项公式;(2)若为=3 T,求数列 斯 的前n项和Sn.1 7.解:因为a,4+1 研 也+2 跖 也=0,为#0(柏,所以”一骨=2,即 c“+i一。=2,所以数列 c,J是以C 1 =1 为首项,d=2为公差的等差数列,故金=2-1.(2)由九=3 T,知。“=(2 -1 )3 t ,于是数列 6 的前“项和 S”=1 X 3+3 X 31+5 X 3?4-F(2-1)X 3
2、T,35=1 X 3+3 X 324-F(2 n-3)X 3n-l+(2 n-1)X 3,将两式相减得-2 S=l+2 X(3+324-F 3 T)-(2 -l)X 3=-2-(2 -2)X 3,所以 Sn=(n-1)3+1.1 7.、2 0 1 4新课标全国卷I 已知数列 恁 的前项和为S”,“1=1,a“W 0,ana-n=XSn-1,其中7 为常数.(1)证 明:an+2an=X.(2)是 否 存 在 使 得 斯 为等差数列?并说明理由.1 7.解:(1)证明:由题设,ana+=XS 1,an+i 可得 42=4-1 由(1)知,的=7+1.若“为等差数列,则 2 a 2=。1+。3,解
3、得7=4,故%+2 一%=4.由 此 可 得 是 首 项 为 1.公差为4 的等差数列,2 n-|-4/?3;-2 是首项为3,公差为4 的等差数列,a2 n=4n-l.所以 a“=2 -1,a“+i a”=2.因此存在幺=4,使得数列%为等差数列.1 7.、2 0 1 4.新课标全国卷II已知数列”“满足0 =1,a+l=3a+I.(1)证明卜“+3 是等比数列,并求 斯 的通项公式:1 1 1 3(2)7 证明一a +a+T.2an 21 7 解:(1)由 a +i=3a+1 得知+5=3(。+/).又 0+3 4 所以 恁+斗是首项为京公比为3 的等比数列,所以为+3 号,因此数列 a,
4、J的通项公式为?(2)证明:由(1)知因为当“2 1 时,3 1 2 2 X 3、,所 以 后fW荻F?即 =亨 匚7W尹于是5+9+91 +舁+即=差1 1 1 3所以+_H-F.ax a2 an 2 _22.,2014重庆卷设 0 =1,即+1 =若一2%+2+b(n w N*).若b=l,求助,的及数列%的通项公式.(2)若匕=-1,问:是否存在或数c使得2。3 +1对所有C N 成立?证明你的结论.2 2.解:(1)方法一:&=2,6=啦+1.再由题设条件知(z+1 1 )2=(a-1 )2+1.从而(对一 1y是首项为0,公差为1的等差数列,故(为一1尸=一1,即 a,=yn +l(
5、nN*).方法一:生=2,可 写 为=、1 1 +1,。2=721 +1,的=口31 +1.因此猜想斯=41 1 +1.下面用数学归纳法证明上式.当”=1时,结论显然成立.假设=&时结论成立,即依=出 一1 +1,则0/(+1 yj(ah 1)2+1 +1 yj(.k1)+1+1 yj(fc+1)1 +1,这就是说,当”=%+1时结论成立.所以 an n 1 +1(nGN).(2)方法一:设为0=(x T)2+1 T,则知+|=73”).令 c=y(c),即 cyj(c1)2+l 1,解得 c=;.下面用数学归纳法证明命题a2nca2n+i.当=1时,生=1)=0,的=/(0)=也 一1,所以
6、“2;的 1,结论成立.假设n k时结论成立,即42s易知人x)在(一8,1上为减函数,从而c=/(c)次 如+1)/1)=2,即1。侬+2。2再由7(X)在(一8,1上为减函数,得c=)勺(侬+2)勺3)=的 1,故。2+3 1,因此 42(*+1)。2(*+1)+1 1,这就是说,当=&+1 时结论成“.综上,存 在C =R吏2 C a2a+l对所有WN”成立.方法二:设 段)=一3-1)2+1 1,则为+=/(%).先证:0Wa”W l(GN).当”=1时,结论明显成立.假设”=火时结论成立,即0W见W1.易知./(x)在(一8,1上为减函数,从而0=/0)勺(必)AO)=啦 一1 1.
7、即OW%W 1.这就是加 当=k+l时结论成立.故成立.再证:的 2+1(九).当=1时,2=犬1)=。,3=八 2)=*0)=啦 1,所以。23,即=1时成立.假设nk时,结论成立,即。2。2%+1.由及/U)在(-8,1上为减函数,得2A+1=汽。20次 2+1)=。24+2,。2(1)=#。2+1)4。2%+2)=2(&+1)+1-这就是说,当=2+1时成立.所以对一切0N 成立.由得知 川昌 一2 a%1+2 1,即 3+1 尸 2,共 2.所以2 +1 X 总+1 2%+1+2 1,解得侬+号.综上,由知存在c=(使a2 n c a2 n+i对一切 6N*成立.D2等差数列及等差数列
8、前n 项和1 2.、2 0 1 4安徽卷数列 斯 是等差数列,若 由+1,6+3,死+5 构成公比为q的等比数列,则 4=.1 2.1 解析因为数列 斯 是等差数列,所以0+1,的+3,的+5 也成等差数列.又q+1,的+3,%+5 构为公比为q的等比数列,所以0+1,的+3,%+5 为常数列,故 q=1.1 2.2 0 1 4.北京卷若等差数列 斯 满 足ay+as+aO,a i+aiO ,。7+。1 0 =。8 +。9,。9 60+8 00?若存在,求”的最小值;若不存在,说明理由.18.解:(1)设数列 斯 的公差为,依题意得,2,2+d,2+4 d 成等比数列,故有(2+J)2=2(2
9、+4 J),化 简 得 4 4=0,解得=0 或 d=4.当 d=0 时,%=2;当 d=4 时,a=2+(n 1)-4=4 2.从而得数列 册 的通项公式为%=2或 ,=4/7-2.(2)当时=2 时,Sn=2 n,显然 2“60+8 00成立.当 an4n-2 时,Sn-2 2/?.令 2 n 6 0n+8 00,即 川 一 3 0 -4 000,解得/?4 0或”60+8 00成立,”的最小值为4 1.综上,当斯=2时,不存在满足题意的正整数;当 今=4 -2时:存在满足题意的正整数,其最小值为4 1.2 0.、2 014 湖南卷己知数列 斯 满足|=1,|斯+|一斯尸p,G N*.(1
10、)若 斯 是递增数列,且 G,2 a 2,3 a 3 成等差数列,求 P的值;(2)若 斗 且 d 是递增数列,%是递减数列,求数列 为 的通项公式.2 0.解:(1)因为 斯 是 递 增 数 列,所 以 斯+1斯=&+1%l=p.而=1,因此色=+1,3=P +1 .又。1,2 2,3 a 3 成等差数列,所以 4 2=。1+3 的,因而 3 P 之 一 p=0,解得或P=。当p=0 时,%+i=%,这与 ”是递增数列矛盾,故 =/由于。2 -1 是递增数歹U,因而。2 +1 。2 -1 0,于是(。2”+1 。2 )+(。2 。2 I)0.因为呼7 吸口,所以|。2 +1 。2/。,因此
11、a2 n 一-1 =G J =22Z,-1/l 2 n(1)2 +i因为。2”是递减数列,同理可得,。2 +1一。2 0,故。2 +1一。2=.(-1)I由可知,为+1 斯=2 .(_ )A于 是。=四+(2 一。1)+(3-G 2)H-F(aw a-)=1 +27-1-声 1-=1 +4 1 (一 1)故数列 “的通项公式为an=m 2T.8.2 014 辽宁卷设等差数列 斯 的 公 差 为 若 数 列 2 0为 为递减数列,贝 1()A.J 0 C.a d 0 D.8.C 解析令 b“=2 a i%,因为数列 2 幻斯 为递减数列,所 以 铲=警 詈=2 0 伍+14”)=2 01,所得
12、d 可 得。2=义 1,由 知,13=1+1.若 斯 为等差数列,则2例=仰+。3,解得7=4,故斯+2一%=4.由此可得。2,门 是首项为1.公差为4的等差数列,Uln 471-3;物 是首项为3,公差为4的等差数列,%=4-1.所以。=2一1 ,cin+l 斯=2.因此存在2=4,使得数列 痣 为等差数列.19.,2014山东卷已知等差数列 斯 的公差为2,前项和为S”且Si,S2,兴成等比数列.(1)求数列 斯 的通项公式;(2)令%=(-1)T一包一,求数列 ,的前 项 和T,.2 x 11 9.解:(1)因为 S=,S2=2OI+-X 2=24+2,4X3S4=4。+2 X 2=4
13、+12,由题意得(2q+2)2=白1(4+1 2),解得“1 =1,所以 cin=2,n 1.(2)由题意可知,访+14n(2 一1)(2+1)=(-D”(2 n-l+2 n+l)当为偶数时,7产。+9-(;+3+-+(高+右)一(*+就)=1 2+12n2H+T当”为奇数时,2+12 n-l)+Qn-l2n+2/7+2=2 n+V所 以Tnp n+2I 2H+12 n、2+1为奇数,为偶数.(或27 尸一+1 亦+(一 1)16.,2 014 陕西卷 aA B C 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.(1)若 a,b,c 成等差数列,证明:si n A+si n C=2 si n(A
14、+C);(2)若 a,h,c 成等比数列,求c o s B 的最小值.16.解:b,c 成等差数列,a+c=2 b.由正弦定理得si n A+si n C=2 si n B.V sin B=sin n-(A+0=sin(A+0,si n A+si n C=2 si n(A +C).b,c 成等比数列,./=.由余弦定理得c+c b2 c iac l ac c os B=l ac =l ac.ac当且仅当a=c 时等号成立,c o s B的最小值为;.1 1.、2 0 1 4 天津卷设&是首项为a”公差为-1的等差数列,S”为其前项和.若$,52,S4 成等比数列,则伯的值为.1 1.解析;S2
15、=2 a|-l,S4=4 m+苫 义(-1)=4/-6,S”S2,S4 成等比数列,(2 4?|1 )=4 Z|(4 a i 6),解得 c i 2 2.,2 0 1 4 重庆卷设 0 =1,即+|=九一2 “+2+伙功4).(1)若匕=1,求。2,的及数列 斯 的通项公式.(2)若 8=1,问:是否存在实数C 使得2 。4 2+1 对所有 e N*成立?证明你的结论.2 2.解:(1)方法一:&2=2,的=4+L再由题设条件知3“+|-1)2 =(%1)2+1.从而(即一1 y 是首项为0,公差为1 的等差数列,故(即一1)2=”-1,即 a”y/n 1 +1(/?G N*).方法:。2 =
16、2,。3=4 +1,可写为 =、1 1+1,2=q 2 1+1,43=勺 3-1+1.因此猜想%=q -1+1.下面用数学归纳法证明上式.当=1 时,结论显然成立.假设=/时结论成立,即以=#=i+1,则 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _仅+i =yj(a 1)2+1 +1 =7 (k一)+1 +1 =勺(A+1)-1 +1,这就是说,当=k+l时结论成立.所以 an1 +l(nG N).(2)方法一:设7 x)=Y (x-l)2+1 1,则即+=/(%).令 c=/(c),即 C=q(C 1)?+1 1,解得 c=;.下面用数学归纳法证明命题a2n c a2 n+,当=1时,2=4
17、1)=0,”3=X0)=也 1,所以 2;的1,结论成立.假设n=k时结论成立,即a2k c a2 k+。侬+2。2再由八尢)在(一 8,1上为减函数,得c=/(c)勺(。2/2)勺(。2)=的1,故CV2女+31,因此42伙+1)”。2(+1)+11,这就是说,当=&+1时结论成立.综上,存 在c=%吏。2 8侬+1对所有WN*成立.方法二:设於)=AJ(x 1)2+1 1,则%+1=73”).先证:OWa”W l(GN*).当”=1时,结论明显成立.假设”=火时结论成立,即0W见W1.易知_/(x)在(-8,1上为减函数,从而0=/0)0(像)AO)=啦 一1 1.即O W%W 1.这就是
18、加 当=k+l时结论成立.故成立.再证:a2na2+i(C N*).当”=1 时,C l 2 =f i.1)=0,43=共&2)=4。)=1 )所以“2 结论成立,即42s。2*+|.由及7U)在(-8,1上为减函数,得侬+1 =火的)次3+1)=侬+2,。2(*+1 )=7(。2+1)勺(42*+2)=2(*+1)+1-这就是说,当=k+l时成立.所以对一切eN*成立.由得。2”四一 2(72+2 1 ,即 3 +1 )2“2+2.所以如+i村 虑+L2a2.+1+2-1 解 得 知+1不 综上,由知存在c=使a2 n c 60+8 0 0?若存在,求 的最小值;若不存在,说明理由.1 8.
19、解:(1)设数列 “的公差为4依题意得,2,2+4,2+4 4 成等比数列,故有(2+)2=2(2+4J),化简得/-4 =0,解得4=0 或 1=4.当 d=0 时,=2;当 d=4 时,。=2+(14=4-2.从而得数列 “的通项公式为a=2或 iz=4n2.(2)当斯=2 时,Sn=2 n,显然 2 60”+800成立.I,L n2+(4n-2)2当斯=4 一2 时,5,=-2-=2n2.令 2 260+8 0 0,即“230 -4000,解得40或“60+800成立,的最小值为41.综上,当即=2 时,不存在满足题意的正整数;当%=4-2 时,存在满足题意的正整数,其最小值为41.17
20、.、2014新课标全国卷H已知数列 斯 满足0 =1,即+i=3a“+l.(1)证明卜”+且是等比数列,并求 斯 的通项公式;1 1 1 3(2)证明十+2+十 0u U 2 tin 乙1 7.解:由斯+|=3为+1 得即+|+=3(斯+;).又 0+;=白,所以 的十普是首项为今 公比为3 的等比数列,所 以 知+;=:,因此数列 “的 通 项 公 式 为 恁=早.1 2(2)证明:由知卷=击.因为当2 1 时,3-1 2 2 X 3 T,所以3 _ 或2义;一,即=3 1 W yk.于是5+5+9 1 +%“+导 IO -晶1 1 1 3所以厂+-1-FT.a 做 斯219.,2014.山
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