数值分析(宋岱才版)课后答案.pdf
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1、第一章绪论一本章的学习要求(1)会求有效数字。(2)会求函数的误差及误差限。(3)能根据要求进行误差分析。二本章应掌握的重点公式(1)绝对误差:设x为精确值,X*为x的一个近似值,称e*=x*-x为X*的绝对误差。*(2)相对误差:z*=oX(3)绝对误差限:*=k*|=x*-X卜(4)相对误差限:*=二=匕 二d。(5)一元函数的绝对误差限:设一元函数/(X)=O,则(/*)=,(/)(6)一元函数的相对误差限:(7)二元函数的绝对误差限:设一元函数/(x,y)=O,则 (/*)=)(*)(8)二元函数的相对误差限:三本章习题解析1.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值,(1)试指出它们有几
2、位有效数字,(2)分别估计A 及 A2的相对误差限。X;=1.1021,X2*=0.031,x3*=385.6,x;=56.430解:(1)%;有 5 位有效数字,苫 2*有 2 位有效数字,;有 4位有效数字,;有 5 位有效数字。A =x1x2x3,=x2x3,丝L=玉,皂=X,X2,山题可知:为 4的近似值,-dx dx2 8X3X;,x2*,Xj分别为玉,工 3 近似值。所以0.2154=区,则 有 生=_ 1,四=_-,同 理 有 4,*为 4 2 的近似值,x,*,%*为 花,-匕 加%血 (x j -%4的近似值,代入相对误差限公式:2.正方形的边长大约为10 0 c m,怎样测
3、量才能使其面积误差不超过l e n?解:设正方形的边长为x,则面积为S=/,生=2 x,在这里设X*为边长的近似值,S*为dx面积的近似值:由题可知:5)=(岂(%)4即:2X*-(X*)41 推出:,(X*)0时,22(e+i)2ee+e)2ee+e)2(e+e)2(e+e)(2)当 网-00时,JW+IN1 ,-:_lx=argtgx1 +X-N+lN=arg 次(N+1)-arg tgN25.歹 i j%满足递推关系”=10 儿 I,n=l,2,.,若 以=后”1.4 1,计算到几时误差有多大?这个计算数值稳定吗?解:已 知 准 确 值%=收,近 似 值 算=L 4 1,设他们的误差为则
4、有:8 =必-卜|阿。7)-(1%1卜明。一仆1%。2 九 工|=|阿 州)-(耳 卜。啊-习=10 。以此类推所以&。=氏-司 卜|(1。H-1)-(1。斤1卜10小。-4 1 0%=1 0,|2-1.4 1|101x x102=x1086 .计算f =取 血,1.4,直接计算和用 1 、来计算,哪一个最好?(3+2何解:依题意构造函数“x)=(x-l)*,则/z(x)=6(x-l)5,由绝对误差公式(/*)=|/(x*),H*)=6 x(1.4-1 升 收 一 1.4 卜 6 x 0.0 1 24 x;x I 0 i =0.0 0 3 0 7 27 .求二次方程1-1 6*+1=0 的较小
5、正根,要求有3 位有效数字。解:由求根公式:x J J;6T.所以。玉=8 +病,工 2=8-而 对 比 可知:较小的根为=8-倔,由相近数相减原理则有:(8 +而)(8-病)1x2=8-V 6 3 =77=;-=-0.0 6 27-(8 +V6 3 8 +V6 38 .如果利用四位函数表计算1-co s2,试用不同方法计算并比较结果的误差。解:1-co s 2 1-0.9 9 4 =0.0 0 61-co s 2 =吧-2 X 0-0 3 4 9-6.0 9 2 x 1 0-4l +co s20 1.9 9 49 .设 x的相对误差限为6,求 V的相对误差限。解:由题意可知:设 x)=y叫
6、则有r(x)=1 0 0 X,9 在这里设为 X 的近似值,/*为了的近似值,由已知X的相对误差限为6。所以:(/*)/(x(x*)_ I。(x 广 伞)_ 1 0 0 e(x*)FT|4*)|=(了 方=1 0 0 61 0.已知三角形面积s=l absi n c,其中c为弧度,满足0 c -,且a,b,c,的误差分别为b a、Nb,2 2A c o证 明 面 积 误 差 加 满 足 竺 竺|+|竺+。s a h c解:由误差定义:A?d sd b似|+奈 皿|,又 因 为:旨bsi n c,2 =L si n c2 d b 2d s 1-=-ab c o sc,代入上式可得:d e 2A
7、s 一bsi n c21+a si n e2|A&|+c b sc|A c|两边同除以s可得:b sin c21 a si n e2a/?si n e2a/?si n e2-ab c o sc2_1 ,.-a/?si n e2小八一r m/A a b b A c约分可得:一 +s a b tgcTT因为:0 c c 0.,丁7人皿45/A c _ .所以命感 W-1-1-成立。ah第二章插值法一 本章的学习要求(1)会用拉格朗日插值和牛顿插值求低阶插值多项式。(2)会应用插值余项求节点数。(3)会应用均差的性质。二 本章应掌握的重点公式(1)线性插值:L,(x)=l0(x)y0+/|(%)必
8、o(2)抛 物 插 值:L,(x)=/0(x)y0+Z (x)yt+12(x)y2(3)次插值:=(x)以。k=0(4)拉格朗日插值余项:R“(X)=/(x)-L.(x)=/%(x)。+1!(5)牛顿插值公式:N(X)=/(X0)4-/X0,XI(X-X0)+-/X0,X1-X,(X-X0)(X-X1)-(X-X,I)(6)/区,演,%=六1f(xJ)(x-x0)(x-x,)-(x-x(x f j(7)fx0,x-xn =p-.n(8)牛顿插值余项:R“(x)=x)-N“(x)=/x o,X x0+i(x)。三本章习题解析1.给 定 的 一 系 列 离 散 点(1,0),(2,5),(3,6)
9、,(4,3),试求 Lagrange插值多项试。解:设所求插值多项式为(元)=3 )=/。(工),0+/1卜 乂 +/2()九 且 已 知:x()=L,(尸0对k 2%=-5 X2=3 y2=-6 x3=4 y3=3,代入插值基函数公式.川 得.1心-1)(1心)._尤)_(x _ 2)(x _ 3)(x-4)(X。一 -12乂尤一13)(-1 X-2X-3)J z X (x-X o)(x-X 2)(x-,3)=(1)(3)(1)1(X 1-X O)(X 1-X2)(X 1-X3)(lx-lx-2)J zvA (x-X o)(x-X i)(x-X 3)=(x T)(x 2)(X-4)2(12
10、一%0乂1 2一%)(1 2一羽)(2 X1X1)化简代入p(x)得:p(x)=x3-4 x2+32.若/(%)=2 16-3/+/+1,求/3 3 36,/3,3-37O解:由/(x)=2x 6!,所以:/=2x 6!,严(x)=严=0.由均差的性质(三)可知:/3,3,3 6=/)=2,/3。33,=/7I=%。3.给定函数表X i012345-7-452 66512 8(1)试用Lagrange插值 法 求 一个三次插值多项式“X),并由此求/(。.5)的近似值。(2)试用Newton插值公式求一个三次插值多项式N?(X),并由此求/(0.5)的近似值。解:=3,取0.5附近的4个点为宜
11、。故取,%=0,x,=l=-4=2,%=5,七=3,%=26。则L、(X)=/o(x).yo+/|(x).y +/,(x).y,,按照习题 1 求出插值基函数。代入L,(X)。可得:LX)=J +2X-7,所以:/(0.5卜11+2 x1-7 =-5.875(2)设牛顿插值多项式为N3(x)=f(x+f x o X)(%-X o)+/%o*Xe X 2 (x-X o)(x-X i)列差商表:玉一阶插商二阶插商三阶插商0-71-4325933262161所以:3(X)=-7+3(X-0)+3(X-0)(X-1)+(X-0)(X-1)(X-2)=X3+2X-7=-5.8 754.设%为互异节点(j
12、=0,l,2,n)求证:之 X;/j(x)三 丁,%=0,1,2,.,其中/0)为J=o 1 J 1次插值基函数。证明:根据题意:设 x)=x ,所以有 匕=/(.)=%:,结合上式所以有:之也(X)=“j(x)=/j(x)y =L,(%J;=o;=o j=O J由余项定理可知:/(可)=4(%)+R(%J且由定理二可知,当O WJ W时,R“(x j =O所以就有/(x J =L.(,)=x/。在这里令变量Xj=X,所以命题:Y xkj lx)=X 成立。7=05.设 f(x)ec 2 a /且/=/(/?)=0,求证:m a x|/(x)|-a)2 m a x|/z(x)|.证明:由题可知
13、:、0=。,%=0,司=弘=0,故可构造线性插值多项式即为下式:L(X)=/(x)/)+/。)/),记 为 式,因为X)=L(X)+R(X),记 为 式,其中.(x)=护(x _ a)(x叫,记 为 式,将(3)代 入(2)整理:II.f(x)=L(X)+R(x)=”a)+A /e)+R J,)(i)(x-b)a-D D Cl 2!所 以 邛(讣4-11 1-2!max|()(j)这里取 =方-代axb乙入,可推出:|/(x)|2!4再放缩得S V吊 仅 一。)2黑 引/(N6.若f(x)=anxn+an_ix+.+atx+a0有 个 不 同 实 零 点4 ,%,证 明:nZj=lXQ,Q k
14、 n-2r GO。“廉=-1证明:由题可知:/(X)有 个不同实零点,故/(X)还可以表示成根形式的多项式,即:由导数的定义可知:力%X-%人 X j I%在此设:。(%)=%;nz六I/(町)=-Cln J=(%广 第)(工 厂 )(工 广 Xy+I)-(X;-%“).力幌为 式当后=一1 时,“i(x)=(l)!,则(1)变为4-;当0 M女 一2,则(1)式变为0,综上所述:y-X;7.给定函数表0,0 k g x0,x1,-xn,所以命题成立。10.给定函数表X,0.00.20.40.60.8/(X,)1.000001.221401.49 18 21.8 22122.22554试分别用
15、Ne wt o n前插值公式和Ne wt o n后插值公式计算/(0.0 5)的近似值。分析:基于本题内容为教材中的选讲部分,考试不做任何要求。故只给出习题结果,有兴趣的 同 学 可 自 行 解 答,分 别 代 入 Ne wt o n 前 插 值 公 式 和 Ne wt o n 后 插 值 公 式 可 得/(0.0 5)=1.0 5 1 2 6.1 1 .若要给出/(x)=c o s x,x 0 日的一张按等距步长h分布的函数表,并按线性插值计算任何x e的c o s x的值。问当h取多大才能保证其截断误差的绝对值不超过_ 2 _?1 0 。分析:基于本题内容为教材中的选讲部分,考试不做任何要
16、求。故只给出习题结果,有兴趣的同学可自行解答,代入余项公式,即可求出力4 0.0 2。1 2 .设/(x)e c 2 +2 q,可,采 用 La g r a n g e 插值余项的证明方法,证明:埃尔米特插值余项f2+2(R(x)=/(x)-”2,川(x)=;2 +2)!苏 用(X)。分析:基于本题内容为教材中的选讲部分,考试不做任何要求。故只给出习题结果,有兴趣的同学可自行解答,将定理2代入余项公式即可求得,在此不做说明。1 3 .求不超过 3 次的多项式“(X),使其满足”(-1)=9,(-1)=1 3 7(1)=1 W,(l)=-1 o分析:基于本题内容为教材中的选讲部分,考试不做任何要
17、求。故只给出习题结果,有兴趣的同学可自行解答,设所求多项式为:H(x)=a0+alx+a3x2+a3x3,代入条件,即可求得:/(X)=X3-4X2+4X1 4 .求 不 超 过 4 次的多项式p(X),使其满足P(0)=尸(0)=0,P(1)=P/(1)=1 ,P =1。分析:基于本题内容为教材中的选讲部分,考试不做任何要求。故只给出习题结果,有兴趣的同学可自行解答,设所求多项式为分析p(x)=aQ+atx+a2x2+a3x3+a4x4,1 5.给定函数表代入条件,即可求得:p(x)=|?(x-3)2o0123 七)00.521.5(1)在 边 界 条 件/=0.2,/(3)=-1 下求三次
18、样条插值函数S(X);(2)在边界条件/(0)=-0.3,/(3)=3.3 下求三次样条插值函数S(X)。分析:基于本题内容为教材中的选讲部分,考试不做任何要求。故只给出习题结果,有兴趣的同学可自行解答,代入样条插值函数公式,即可求得,在此不做说明。0.48x3-0.18x2+0.2x,xe0,l结果为:(1)5(x)=J-1.04(x-l)3+1.25(x-l)2+1.28(x-l)+0.5,xel,20.68(x-2)3-1.86(x-2)2+0.68(x-2)+2.0,xe2,30.5x3-0.15x2+0.15x,xe0,l(2)j(x)=-1.2(x-1)3+1.35(x-1)2+1
19、.35(x-1)+0.5,x e 1,21.3(x-2)3-2.25(x-2)2+0.45(x-2)+2,xe2,3第三章函数逼近及最小二乘法一本章的学习要求(1)会用最小二乘法求拟合曲线。(2)会将非线性函数转化成线性函数。二 本章应掌握的重点公式线性曲线拟合公式:(媒斗媒0)。(力3M=(。晶0媒(浦由(力j=0 i=03。)=公弘亿)。亿),电f=o)WCy电八工,(KWyi=0 i=0三本章习题解析1 .设。(x),(x)。,i(x)是区间 0,1 上带权夕(力=的最高项系数为1 的正交多项式序列,其中0 o(x)=l,求,x(x)d x及|(x)和)。分析:基于本题内容为教材中的选讲
20、部分,考试不做任何要求。故只给出习题结果,有兴趣j J.i-0 、的同学可自行解答,在这里只给出结果。结果为:(x)d x=1 2 ;.(x)=x-2;0,0 3/2 6 3么3=%-1+历。2 .判断函数或(x)=l,/(x)=x,,么(x)=%2 _;,在 -1,1 上带权夕(x)=l 正交,并求.(力 使其在-1,1 上带权p(x)=l 与白(X),0),我(无)正交。分析:基于本题内容为教材中的选讲部分,考试不做任何要求。故只给出习题结果,有兴趣的同学可自行解答,在这里只给出结果。结果为:53.证明:若函数组直。卜)是在 a,b 上带权夕(x)正交的函数组,则媒(x),由(x)0,*)
21、必然是线性无关的函数组。分析:基于本题内容为教材中的选讲部分,考试不做任何要求。故只给出习题结果,有兴趣的同学可自行证明。4.已知点列 =-2,玉=-1,x2=0,x3=1,%=2 及权函数 0(x()=0.5,y(xj=)=0(x3)=1,C9(x4)=1.5,利用公式(47)和(48)构造对应的正交多项式 PO(X),PG),P 2 3。分析:基于本题内容为教材中的选讲部分,考试不做任何要求。故只给出习题结果,有兴趣的 同 学 可 自 行 解 答,在 这 里 只 给 出 结 果。结 果 为:p(x)=i,p(x)=x_2,心 十 一 卷 DS。5.已知数据表01234%1.003.856.
22、509.3512.05t 拟合这些数据的直线方程。解:设所要拟合的直线方程为:y=a0+ai X,这里m=4,=1,4)(x)=l,必(x)=x,(九。)=劭。(外 媒(幻=5 电心=电心=Z 。)“)=I。,(么。J=X “(,)“(,)=3。,(。/)=劭 裔()y,.=32.75,i=07 r=0(。/4“(Q=93.1,所以可得到以下方程组:扁:J:。卜 圉:解得:&=1.03,q=2.7 6,所以所求方程为y=L03+2.76x。6.已知数据表X,12345678y33455667求拟合这些数据的直线方程。解:设所要拟合的直线方程为:y=a0+q x,这里 2=7,=1,禽()=1,
23、族(尤)=%,(耙。)/公。)。)=8,(耙=M。)4劭。场(K)=3 6(“4 。氏 场(%.)=285,(必/4。(%,)y=,()4。欧(仙=2 1 6,所以可得到以下方程组:第f c H;解得:4=2.2 2,q=0.9 5,所以所求方程为:y =2.2 2+0.9 5 X O7.某发射源的发射强度公式为I =Ioe-a,现测得/与,的一组数据如下表40.20.30.40.50.60.70.843.1 62.3 81.7 51.3 41.0 00.7 40.5 6试用最小二乘法根据以上数据确定参数/。和a的值。解:先将/=/(线性化,即两边取以1 0 为底的对数,变为怆,=l g/_
24、l g I,设 y =l g,A =l g/%A=“lg所以上式变为 y =Ao+A,*。这里m =7,n=1,O o(x)=l,0|(x)=x,代入公式得:(。0。)=石 劭。0(幻 媒(%)=8,(。=(4.(%M(%)=3.5,M)=$岗%腐%,)=2 0 3,77J)4 劭。)yt=6 8 6 3 8,电)=L a)0 3 0 0 80 62 所以可得到以下方程组设3.5 (甸/0.8 6 3 8 ,解得:008777)3.5,2.0 3 J|_ A j 0.0 8 0 6 2A 产-0.0 4 6 1 8,相应的/()a 5.6 4,a a 2.8 9。8.试用最小二乘法根据以下数据
25、表X i1.0 01.2 51.5 01.7 52.0 0y,5.1 05.7 96.5 37.4 58.4 6求),=aeh x的最小二乘拟合曲线。解 先将y =四灰线性化,即两边取以1 0 为底的对数,变为尼 =炫 +但,设、=尼,4=l g ,A=b l g ,所以原式变为:y =4+Ax。这里m=4 ,=1,0 )=1,A(x)=X,代入公式得(。阂=,之(%,)%)=5,他 欧)=(么。0)N 么(%场)=7 5,仇”)=。丘)必)=11875,(。力=Z 0,我(%,)卜=3 3 3 3,(j)=之 么(%,)y,=5 1.2 2 7 5,=p 333,解得:4=3.7 0 8,_
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