人教版九年级数学下册教案全册.pdf
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1、.第 二 十 六 章 二次函数 本章知识重点1.探索具体问题中的数量关系和变化规律.2.结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义,并了解二次函数的有关概念.3.会用描点法画出二次函数的图象,能通过图象和关系式认识二次函数的性质.4.会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴.5.会利用二次函数的图象求一元二次方程(组)的近似解.6.会通过对现实情境的分析,确定二次函数的表达式,并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题.26.1 二次函数 本课知识重点通过具体问题引入二次函数的概念,在解决问题的过程中体会二次函数的意义.M.M 及创新思维(1)正方形边长为a(cm),它的面积s
2、(cm2)是多少?(2)矩形的长是4 厘米,宽是3 厘米,如果将其长与宽都增加x 厘米,则面积增加y 平方厘米,试写出y 与 x 的关系式.请观察上面列出的两个式子,它们是不是函数?为什么?如果是函数,请你结合学习一次函数概念的经验,给它下个定义.实践与探索例 1.m 取哪些值时,函数=(用2 一 机)/+加+(机+)是以*为自变量的二次函数?分析 若 函 数 y =(一 一?)/+?x+(帆+1)是 二 次 函 数,须 满 足 的 条 件 是:m-m 0 .解 若函数y =(-机)/+比+(m+1)是二次函数,则m2 一m力0.解得?力0,且?w l.因此,当?力0,且加工1 时,函数y =
3、(户一用)/+m x +(?+1)是二次函数.回顾与反思 形如y =a x 2 +x +c的函数只有在a=0的条件下才是二次函数.探索 若函数y =(m2 一?)/+?X+(M+1)是 以 x为自变量的一次函数,则 m取哪些值?例 2.写出下列各函数关系,并判断它们是什么类型的函数.(1)写出正方体的表面积S (c m )与正方体棱长a (c m)之间的函数关系;(2)写出圆的面积y (c m2)与它的周长x (c m)之间的函数关系;(3)某种储蓄的年利率是1.9 8%,存 入 1 0 0 0 0 元本金,若不计利息,求本息和y (元)与所存年数x 之间的函数关系;(4)菱形的两条对角线的和
4、为2 6 c m,求菱形的面积S (c m2)与一对角线长x (c m)之间的函数关系.解(1)由题意,得 S =6 4 2(a 0),其中S是 a的二次函数;x(2)由题意,得 y =d(x0),其中y是x的二次函数;4%(3)由题意,得 y =1 0 0 0 0+1.9 8%x-1 0 0 0 0 (x N O 且是正整数),其中y是x的一次函数;(4)由题意,得 S=-X(2 6-X)=-X2+13X(0 X 2 6),其中 S 是x 的二次函数.2 2例3.正方形铁片边长为1 5 c m,在四个角上各剪去一个边长为x (c m)的小正方形,用余下的部分做成一个无盖的盒子.(1)求盒子的
5、表面积S (c m2)与小正方形边长x (c m)之间的函数关系式;(2)当小正方形边长为3c m时,求盒子的表面积.解(1)S=152-4x2=225-4x2(0%0(2)二次函数为y =4/,则顶点坐标为(0,0),对称轴为y轴.例3.已知正方形周长为C e m,面积为S cm2.(1)求S和C之间的函数关系式,并画出图象;(2)根据图象,求出S=1 cm?时,正方形的周长;(3)根据图象,求出C取何值时,Se 4 cm2.分析 此题是二次函数实际应用问题,解这类问题时要注意自变量的取值范围;画图象时,自变量C的取值应在取值范围内.1 ,解(1)由题意,得5=。2(。0).列表:C2468
6、S C216 _41944描点、连线,图象如图26.2.2.(2)根据图象得S=1卡时,正方形的周长是4cm.(3)根据图象得,当C N 8 cm时,S 4 cm2.回顾与反思(1)此图象原点处为空心点.(2)横轴、纵轴字母应为题中的字母C、S,不要习惯地写成x、y.(3)在自变量取值范围内,图象为抛物线的一部分.当堂课内练习1.在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象,并分别写出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.(1)y =3x?(2)y=-3x2(3)y =22.(1)函数),=1/的开口,对称轴是,顶点坐标是;(2)函数y =a尤2的开口,对称轴是,顶点坐标是.3.已知等边三角形的边长为2
7、x,请将此三角形的面积S表示成x的函数,并画出图象的草图 本课课外作业A组1.在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象.(1)y =-4x2(2)y=-x2-42.填空:(1)抛物线),=一5/,当x=时,y有最_值,是.(2)当m=时,抛物线y =(加一 开口向下.(3)已知函数 是二次函数,它 的 图 象 开 口,当x 时,y随x的增大而增大.3.已知抛物线y =中,当0时,y随x的增大而增大.(1)求k的值;(2)作出函数的图象(草图).4.已知抛物线y =经 过 点(1,3),求当y=9时,x的值.B组5.底面是边长为x的正方形,高为0.5cm的长方体的体积为y cm l (1)求y与x
8、之间的函数关系式;(2)画出函数的图象;(3)根据图象,求出y=8 cm?时底面边长x的值;(4)根据图象,求出x取何值时,y 2 4.5 cm3.6 .二次函数y 与直线丁 =21一3交于点P (1,b).(1)求a、b的值;(2)写出二次函数的关系式,并指出x取何值时,该函数的y随x的增大而减小.7.一个函数的图象是以原点为顶点,y轴为对称轴的抛物线,且过M (-2,2).(1)求出这个函数的关系式并画出函数图象;(2)写出抛物线上与点M关于y轴对称的点N的坐标,并求出/M O N的面积.本课学习体会26.2二次函数的图象与性质(2)本课知识重点会画出y =这类函数的图象,通过比较,了解这
9、类函数的性质.M M及创新思维同学们还记得一次函数y =2x与y =2 x+1的图象的关系吗?,你能由此推测二次函数y =Y与y =x?+l的图象之间的关系吗?,那么y =/与y =/一 2的图象之间又有何关系?_ 实践与探索例1.在同一直角坐标系中,画出函数y =2/与y =2x 2+2的图象.解 列 表.X-3-2-10123y=2x2188202818 y=2x2+2 20104241020 描点、连线,画出这两个函数的图象,如图26.2.3所示.回顾与反思 当自变量x取同一数值时,这两个函数的函数值之间有什么关系?反映在图象上,相应的两个点之间的位置又有什么关系?探索 观察这两个函数,
10、它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有那些是相同的?又有哪些不同?你能由此说出函数),=2/与y =2x2-2的图象之间的关系吗?例2.在同一直角坐标系中,画出函数y=x?+l与y =的图象,并说明,通过怎样的平移,可以由抛物线y=-x2+得到抛物线y =-x2-l.解 列 表.可以看出,抛物线y=-1是由抛物线,=-r +1向下平移两个单位得到的.回顾与反思 抛物线 =一 一+1和抛物线y=f 2 1分别是由抛物线y=向上、向下平移一个单位得到的.探索 如果要得到抛物线 =-X2+4,应将抛物线y=1作怎样的平移?1 .例3.一条抛物线的开口方向、对称轴与 相同,顶点纵坐标是-2,且抛物线经过点
11、(1,1),求这条抛物线的函数关系式.解 由题意可得,所求函数开口向上,对称轴是y轴,顶点坐标为(0,-2),因此所求函数关系式可看作y =a x2-2(。0),又抛物线经过点(1,1),所以,1 =。42-2,解得a=3.故所求函数关系式为y =3 x2-2.回 顾 与 反 思y=a x2+k(a、k是常数,a#0)的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标归纳如下:y-a x2+k开口方向对称轴顶点坐标a 0a 0a +2的图象呢?实践与探索例L在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象.y =1 x2,y =l(x-l)2,y =l(x-l)2-2,并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.描点、连线
12、,画出这三个函数的图象,如图26.2.6 所示.它 们 的 开 口 方 向 都 向,对称轴分别为、,顶点坐标分别为、.请同学们完成填空,并观察三个图象之间的关系.回顾与反思 二次函数的图象的上下平移,只影响二次函数?=。(-/1尸+1 中女的值;左右平移,只影响h 的值,抛物线的形状不变,所以平移时,可根据顶点坐标的改变,确定平移前、后的函数关系式及平移的路径.此外,图象的平移与平移的顺序无关.探索 你能说出函数y =o(x-力+k (a、h、k是常数,a WO)的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?试填写下表.y-a(x-/i)2+k开口方向对称轴顶点坐标a 0a 0,k 0,因此抛物线y
13、=2x2-3 x-5有最低点,即函数有最小值.3 4 9因为 y =2 x?-3 x-5 =2(x-)2-,3 4 9所以当x=2时,函数y =2/一3 x-5有最小值是一一4 8(2)二次函数y =-,-3 x+4中的二次项系数T V O,因此抛物线y=-x2-3x+4有最高点,即函数有最大值.3、2 5因为 y =-x2-3x+4=-(x+)2+,所以当=一己时,函数y =3 x+4有最大值是三.2 4回顾与反思 最大值或最小值的求法,第一步确定a的符号,a 0有最小值,a V O有最大值;第二步配方求顶点,顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值.探索 试一试,当2.5 W xW 3.5时,
14、求二次函数y =Y-2x 3的最大值或最小值.例2.某产品每件成本是1 2 0元,试销阶段每件产品的销售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间关系如下表:X(元)130150165y(件)705035若日销售量y是销售价x的一次函数,要获得最大销售利润,每件产品的销售价定为多少元?此时每日销售利润是多少?分析日销售利润=日销售量X每件产品的利润,因此主要是正确表示出这两个量.解 由 表 可 知x+y=2 0 0,因此,所求的一次函数的关系式为y =-x+2 0 0.设每日销售利润为s元,则有s =y(x-1 2 0)=-(1 6 0)2 +1 6 0 0.因为 x+2 0 0 N 0,x 1
15、2020,所以 1 2 0 4 x 4 2 0 0.所以,当每件产品的销售价定为1 6 0 元时,销售利润最大,最大销售利润为1 6 0 0 元.回顾与反思解决实际问题时,应先分析问题中的数量关系,列出函数关系式,再研究所得的函数,得出结果.例 3.如图 2 6.2.8,在 R t/A B C 中,Z C=9 0 ,B C=4,A C=8,点 D 在斜边 A B 上,分别作 D EJ_ A C,D F 1 B C,垂足分别为E、F,得四边形D EC F,设 D E=x,D F=y.(1)用含y的代数式表示A E;(2)求 y与 x 之间的函数关系式,并求出x 的取值范围;(3)设四边形D EC
16、 F的面积为S,求 S与 x 之间的函数关系,并求出S的最大值.解(1)由题意可知,四边形D EC F为矩形,因此图 26.2.8A E =AC-DF=8-y .(2)由 得 匹=4,即2=殳 2,B C AC 4 8所以,y=S-2x,x 的取值范围是0 x 4.(3)S =xy =x(8-2 x)=-2 x2+8 x=-2(x-2)2+8,所以,当 x=2 时,S 有最大值8.当堂课内练习1.对于二次函数y =x?-2 x +机,当 x=时,y 有最小值.2.已知二次函数y =a(x l)2+b有 最 小 值-1,则a与b之间的大小关系是()A.a b D.不能确定3 .某商场销售一批衬衫
17、,平均每天可售出2 0件,每件盈利4 0件,为了扩大销售,增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施,经过市场调查发现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天可多售出2件.(1)若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元?(2)每件衬衫降价多少元时,商场平均每天盈利最多?本课课外作业A组1.求下列函数的最大值或最小值.(1)y=-x2-2x;(2)y=2x2-2x +1 .2.已知二次函数y =x?-6x +m的最小值为1,求m的值.,3.心理学家发现,学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x (单位:分)之间满足函数关系:y =-0.1x 2+2.6x +4 3(04 x
18、 4 30).y值越大,表示接受能力越强.(l)x在什么范围内,学生的接受能力逐步增强?x在什么范围内,学生的接受能力逐步降低?(2)第10分时,学生的接受能力是多少?(3)第几分时,学生的接受能力最强?B组4 .不论自变量x取什么数,二次函数?=2,-6%+?的函数值总是正值,求 m的取值范围.5 .如图,有长为24 m 的篱笆,一面利用墙(墙的最大可用长度a为 10m),围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.设花圃的宽A B为 xm,面积为S m 2.(1)求 S 与 x 的函数关系式;A D(2)如果要围成面积为4 5 n t 2的花圃,A B 的长是多少米?J-L(3)能围成面积比4 5
19、m?更大的花圃吗?如果能,请求出最大面积,并说明围法;如果不能,请说明理由.Ap-(口6.如图,矩形A BC D中,A B=3,BC=4,线段E F 在对角线A C 上,E fE G 1A D,F H 1 B C,垂足分别是 G、H,且 E G+F H=E F.I、B H C(1)求线段E F 的长;(2)设 E G=x,/A G E 与/C F H 的面积和为S,写出S关于x的函数关系式及自变量x的取值范围,并求出S的最小值.本课学习体会26.2 二次函数的图象与性质(7)本课知识重点会根据不同的条件,利用待定系数法求二次函数的函数关系式.M M及创新思维一般地,函数关系式中有几个独立的系数
20、,那么就需要有相同个数的独立条件才能求出函数关系式.例如:我们在确定一次函数y =H+伙R 0)的关系式时,通常需要两个独立的条件:确定反比例函数y =V(k *0)的关系式忖,通常只需要-个条件:如果要确X定二次函数y +b x +c(a x 0)的关系式,又需要几个条件呢?实践与探索例1.某涵洞是抛物线形,它的截面如图2 6.2.9所示,现测得水/面 宽1.6 m,涵洞顶点0到水面的距离为2.4 m,在图中直角坐标/系内,涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么?图a!2 9 分析 如图,以AB的垂直平分线为y轴,以过点。的y轴的垂线为x轴,建立了直角坐标系.这时,涵洞所在的抛物线的顶点在原点,
21、对称轴是y轴,开口向下,所以可设它的函数关系式是y =a x 2(a 0).此时只需抛物线上的一个点就能求出抛物线的函数关系式.解 由题意,得点B的坐标为(0.8,-2.4),又因为点B在抛物线上,将它的坐标代入y =a x 2(a-2,同时可知抛物线的对称轴为x=3,再由与x轴两交点间的距离为4,可得抛物线与x轴的两个交点为(1,0)和(5,0),任选一个代入y=a(x 3)2-2,即可求出a的值.解(1)设二次函数关系式为y=ax2+云+c,由已知,这个函数的图象过(0,-1),可以得到。=-1.又由于其图象过点(1,0)、(-1,2)两点,可以得到a+b=1a-b=3解这个方程组,得a=
22、2,b=-1.所以,所求二次函数的关系式是y=2/2x 1.(2)因为抛物线的顶点为(1,-3),所以设二此函数的关系式为y=a(x 1)2-3,又由于抛物线与y轴交于点(0,1),可以得到l =a(O-l)2-3解 得a =4.所以,所求二次函数的关系式是y =4(x-l)2-3=4x2-8x +l.(3)因为抛物线与x轴交于点M (-3,0)、(5,0),所以设二此函数的关系式为y=a(x+3)(x-5).又由于抛物线与y轴交于点(0,3),可以得到-3 =a(O +3)(O-5).解 得a=-.5I 1 2所以,所求二次函数的关系式是y =(x +3)(x 5)=x 2 g x 3.(4
23、)根据前面的分析,本题已转化为与(2)相同的题型,请同学们自己完成.回顾与反思确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法,在选择把二次函数的关系式设成什么形式时,可根据题目中的条件灵活选择,以简单为原则.二次函数的关系式可设如下三种形式:(1)一般式:y=a x2+b x+c(a 0),给出三点坐标可利用此式来求.(2)顶点式:y =a(x-/i)2+%3 =0),给出两点,且其中一点为顶点时可利用此式来求.(3)交点式:y=a(x-x,)(x-x2)(0),给出三点,其中两点为与x轴的两个交点(x),0)、(x2,0)时可利用此式来求.当堂课内练习1 .根据下列条件,分别求出对应的二次函数的
24、关系式.(1)已知二次函数的图象经过点(0,2)、(1,1)、(3,5);(2)已知抛物线的顶点为(-1,2),且 过 点(2,1);(3)已知抛物线与x轴交于点M (-1,0)、(2,0),且经过点(1,2).2 .二次函数图象的对称轴是x=-1,与y轴交点的纵坐标是-6,且经过点(2,1 0),求此二次函数的关系式.本课课外作业A组1 .已知二次函数y =/+云+。的图象经过点A(-1,1 2)、B(2,-3),(1)求该二次函数的关系式;(2)用配方法把(1)所得的函数关系式化成y =a(x-)2 +k的形式,并求出该抛物线的顶点坐标和对称轴.2 .已知二次函数的图象与一次函数y =4
25、x 8的图象有两个公共点P (2,m)、Q(n,-8),如果抛物线的对称轴是*=-1,求该二次函数的关系式.3 .某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物,如图所示,大门地面宽AB=4 m,顶部C离地面高度为4.4 m.现有一辆满载货物的汽车欲通过大门,货物顶部距地面2.8m,装货宽度为2.4 m.请判断这辆汽车能否顺利通过大门.4.已知二次函数y=a/+8 x +c,当 x=3时,函数取得最大值1 0,且它的图象在x 轴上截得的弦长为4,试求二次函数的关系式.B组5.已知二次函数y=/+/?x+c 的图象经过(1,0)与(2,5)两点.(1)求这个二次函数的解析式;(2)请你换掉题中的部分已知条件,
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