人教版九年级数学下册全册教案1.pdf
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1、人教版九年级数学下册教案正弦和余弦(一)一、素质教育目标(一)知识教学点使学生知道当直角三角形的锐角固定时,它的对边、邻边与斜边的比值也都固定这一事实.(二)能力训练点逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力.(三)德育渗透点引导学生探索、发现,以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯.二、教学重点、难点1.重点:使学生知道当锐角固定时,它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的这一事实.2.难点:学生很难想到对任意锐角,它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的事实,关键在于教师引导学生比较、分析,得出结论.三、教学步骤(一)明确目标1.如图6-1,长5米的梯子架在高为3米的墙上,则
2、A、B间距离为多少米?2.长 5 米的梯子以倾斜角NCAB为 3 0 靠在墙上,则 A、B 间的距离为多少?3.若长5 米的梯子以倾斜角4 0 架在墙上,则 A、B 间距离为多少?4.若长5 米的梯子靠在墙上,使 A、B 间距为2米,则倾斜角NCAB为多少度?前两个问题学生很容易回答.这两个问题的设计主要是引起学生的回忆,并使学生意识到,本章要用到这些知识.但后两个问题的设计却使学生感到疑惑,这对初三年级这些好奇、好胜的学生来说,起到激起学生的学习兴趣的作用.同时使学生对本章所要学习的内容的特点有一个初步的了解,有些问题单靠勾股定理或含3 0 角的直角三角形和等腰直角三角形的知识是不能解决的,
3、解决这类问题,关键在于找到一种新方法,求出一条边或一个未知锐角,只要做到这一点,有关直角三角形的其他未知边角就可用学过的知识全部求出来.通过四个例子引出课题.(二)整体感知1.请每一位同学拿出自己的三角板,分别测量并计算3 0、4 5、6 0 角的对边、邻边与斜边的比值.学生很快便会回答结果:无论三角尺大小如何,其比值是一个固定的值.程度较好的学生还会想到,以后在这些特殊直角三角形中,只要知道其中一边长,就可求出其他未知边的长.2.请同学画一个含4 0 角的直角三角形,并测量、计算4 0 角的对边、邻边与斜边的比值,学生又高兴地发现,不论三角形大小如何,所求的比值是固定的.大部分学生可能会想到
4、,当锐角取其他固定值时,其对边、邻边与斜边的比值也是固定的吗?这样做,在培养学生动手能力的同时,也使学生对本节课要研究的知识有了整体感知,唤起学生的求知欲,大胆地探索新知.(三)重点、难点的学习与目标完成过程1.通过动手实验,学生会猜想到“无论直角三角形的锐角为何值,它的对边、邻边与斜边的比值总是固定不变的”.但是怎样证明这个命题呢?学生这时的思维很活跃.对于这个问题,部分学生可能能解决它.因此教师此时应让学生展开讨论,独立完成.2.学生经过研究,也许能解决这个问题.若不能解决,教师可适当引导:图6-2若一组直角三角形有一个锐角相等,可以把其顶点Ai,A2,A3重合在一起,记作A,并使直角边
5、AC1,AC2,AC3落在同一条直线上,则斜边ABAB2,AB3落在另一条直线上.这样同学们能解决这个问题吗?引导学生独立证明:易知,B1C1/B2c2 B3c3.,:.AB-|C-|s AB2c2s AB3c3s.,警 警 警 余 等 第,因 此 在 这 些 直 角 三 角形中,N A的对边、邻边与斜边的比值,是一个固定值.通过引导,使学生自己独立掌握了重点,达到知识教学目标,同时培养学生能力,进行了德育渗透.而前面导课中动手实验的设计,实际上为突破难点而设计.这一设计同时起到培养学生思维能力的作用.练习题为sin 6。=白作了孕伏同时使学生知道任意锐角的对边与斜边的比值都能求出来.(四)总
6、结与扩展1.引导学生作知识总结:本节课在复习勾股定理及含30 角直角三角形的性质基础上,通过动手实验、证明,我们发现,只要直角三角形的锐角固定,它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的.教师可适当补充:本节课经过同学们自己动手实验,大胆猜测和积极思考,我们发现了一个新的结论,相信大家的逻辑思维能力又有所提高,希望大家发扬这种创新精神,变被动学知识为主动发现问题,培养自己的创新意识.2.扩展:当锐角为30 时,它的对边与斜边比值我们知道.今天我们又发现,锐角任意时,它的对边与斜边的比值也是固定的.如果知道这个比值,已知一边求其他未知边的问题就迎刃而解了.看来这个比值很重要,下节课我们就着重研究这个“
7、比值”,有兴趣的同学可以提前预习一下.通过这种扩展,不仅对正、余弦概念有了初步印象,同时又激发了学生的兴趣.四、布置作业本节课内容较少,而且是为正、余弦概念打基础的,因此课后应要求学生预习正余弦概念.五、板书设计正弦和余弦(二)角三角形证明:第 十 四 章 解 直锐角三角函数一、素质图6-2结论练习教育目标(一)知识教学点使学生初步了解正弦、余弦概念;能够较正确地用sinA、cosA表示直角三角形中两边的比;熟记特殊角3 0、4 5、60角的正、余弦值,并能根据这些值说出对应的锐角度数.(二)能力训练点逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力.(三)德育渗透点渗透教学内容中普遍存在的运动变
8、化、相互联系、相互转化等观点.二、教学重点、难点1.教学重点:使学生了解正弦、余弦概念.2.教学难点:用含有几个字母的符号组sinA、cosA表示正弦、余弦;正弦、余弦概念.三、教学步骤(一)明确目标1.引导学生回忆“直角三角形锐角固定时一,它的对边与斜边的比值、邻边与斜边的比值也是固定的.”2.明确目标:这节课我们将研究直角三角形一锐角的对边、邻边与斜边的比值一一正弦和余弦.(二)整体感知当直角三贼有T角为3 r时,它的对边与斜边的比值为看只要知道三角形任一边长,其他两边就可知.而上节课我们发现:只要直角三角形的锐角固定,它的对边与斜边、邻边与斜边的比值也固定.这样只要能求出这个比值,那么求
9、直角三角形未知边的问题也就迎刃而解了.通过与“30角所对的直角边等于斜边的一半”相类比,学生自然产生想学习的欲望,产生浓厚的学习兴趣,同时对以下要研究的内容有了大体印象.(三)重点、难点的学习与目标完成过程正弦、余弦的概念是全章知识的基础,对学生今后的学习与工作都十分重要,因此确定它为本课重点,同时正、余弦概念隐含角度与数之间具有一一对应的函数思想,又用含儿个字母的符号组来表示,因此概念也是难点.在上节课研究的基础上,引入正、余弦,“把对边、邻边与斜边的比值称做正弦、余弦”.如 图63:请学生结合图形叙述正弦、余弦定义,以培养学生概括能力及语言表达能力.教师板书:在AABC中,N C为直角,我
10、们把锐角A的对边与斜边的比叫做/A的正弦,记作sinA,锐角A的邻边与斜边的比叫做N A的余弦,记作cosA.B边/对多 7 a 边A邻 边 b图 6-3C乙 曲 献 I“/通物BI nA=xnz-cosa=j.斜边 9tvL若把NA的对边BC记作a,邻边AC记作b,斜边AB记作c,则a bnA=-,EA=_.c c引导学生思考:当NA为锐角时、sinA、cosA的值会在什么范围内?得结论OVsinAVI,0cosA1 (NA为锐角).这个问题对于较差学生来说有些难度,应给学生充分思考时间,同时这个问题也使学生将数与形结合起来.教材例1 的设置是为了巩固正弦概念,通过教师示范,使学生会求正弦,
11、这里不妨增问“cosA、cosB”,经过反复强化,使全体学生都达到目标,更加突出重点.例1 求出图64所示的RtAiABC中的sin A、sin B和 cos A、cosB 的值.(1)(2)图 6-4解,(D:斜边 心=以 0*8 coB=绸 温*,cosB-.VA.C=5/ABJ-BC3=12.n 12 A 12.anB=,cwA.=.学生练习1中1、2、3.让每个学生画含3 0、4 5 的直角三角形,分别求 sin30、sin45、sin60 和 cos30、cos45、cos60.这一练习既用到以前的知识,又巩固正弦、余弦的概念,经过学习亲自动笔计算后,对特殊角三角函数值印象很深刻.s
12、inS O*=i.sinWcos3Q.=与 cos45e=字 cos60*=:例 2求下列各式的值:(l)fin3(r+cos30*i(22siaAT c60T.解 (1).+w f30=:+4=t/,v z2 2 2(2)in45*-corfO*-V 2x =TB为了使学生熟练掌握特殊角三角函数值,这里还应安排六个小题:(1)sin45+cos45;(2)sin30-cos60(3)0.5-SU160*jan3O*cot31rJWZA*-.(QMcosA.=,J8ZA=*.在确定每个学生都牢记特殊角的三角函数值后,引导学生思考,“请大家观察特殊角的正弦和余弦值,猜测一下,sin20大概在什么
13、范围内,cos50呢?这样的引导不仅培养学生的观察力、注意力,而且培养学生勇于思考、大胆创新的精神.还可以进一步请成绩较好的同学用语言来叙述“锐角的正弦值随角度增大而增大,余弦值随角度增大而减小.”为查正余弦表作准备.(四)总结、扩展首先请学生作小结,教师适当补充,”主要研究了锐角的正弦、余弦概念,已知直角三角形的两边可求其锐角的正、余 弦 值.知 道 任 意 锐 角A的正、余弦值都 在0 1之间,即0sinA1,0cosA n 3 O*s m 4 5*s in 6 0*=-,n 9 O*=li=L邛,邛,czr.OMW=0.4.在0 9 0 之间,锐角的正弦值、余弦值怎样随角度的变化而变化?
14、答:在0 9 0 之间,锐角的正弦值随角度的增加(或减小)而增加(或减小);锐角的余弦值随角度的增加(或减小)而减小(或增加).本节课我们将运用以上知识解决有关问题.(二)重点、难点的学习与目标完成过程1.本章引言中提到这样一个问题:修建某扬水站时,要沿着斜坡铺设水管.假设水管AB长 为105.2米,NA=30 6,求坡高BC(保留四位有效数字).现在,这个问题我们能否解决呢?这里出示引言中的问题,不仅调动学生的积极性,激发学习动机,同时体现了教学的完整性,首尾照应.C图6-6对学生来说,此题比较容易解答.教师可以请成绩较好的学生口答,谢 1版 拓 在 RtAABC中,anA=,,BC=AB,
15、sinA=105.2 sin30 6=105.2X0.5015心 52.76(米).这一例题不仅起到巩固锐角三角函数概念的作用,同时为下一节“解直角三角形”做了铺垫.同时向学生渗透了数学知识来源于实践又反过来作用于实践的辩证唯物主义观点,培养学生用数学的意识.2.为了过渡到第二大节“解直角三角形”,教材还安排了例1,它既是对概念的巩固、应用,又为解直角三角形作了铺垫.出示投影片图6-7例1 1如图6-7,在RtZXABC中,已知AC=35,A B=45,求NA(精确到 1。).分析:本题已知直角三角形的斜边长,直角边长,所以根据直角三角形中锐角的余弦定义,先求出cosA,进而查表求得NA.教师
16、可请一名中等学生板书,其他学生在本上完成.AC 35解 cesA=50.77781查表得NA仁39,3.教材为例题配置了两个练习题,因此在完成例题后,请学生做巩固练习在4ABC中,NA、NB、N C所对的边分别为a、b、c.已 知a=32,NB=50。,求c(保留两位有效数字)(2)已知 c=20,b=1 4,求NA(精确到 1。).学生在做这两个小题时,可能有几种不同解法,如(1),应选择c=高 新 鞭,选2 4襁 便,3比较,使学生学会选择恰当的三角函数关系式解题,培养学生的计算能力.4.本课安排在第一大节最后一课,因此本课还有对整个第一大节进行归纳、总结的任务.由于在课前复习中已经将几个
17、知识点一一复习,因此这里主要配备小题对概念加以巩固和应用.(1)判断题:i对于任意锐角a,都有OVsin a V 1和0cosa 1()i i对于任意锐角a 1,a 2,如果a 1 a 2,那么COSa 1COS a 2()i i i如果sin a 1 V sin a 2,那么锐角aV锐角ai v如果cosa icosa 2,那么锐角a锐角a2()这道题是为巩固正弦、余弦的概念而配备的,可引导学生用图形来判断,也可用“正弦和余弦表”来判断.对于假命题,应请学生举出反例.(2)回答下列问题i sin20+sin40 是否等于 sin60;ii cos10+cos20 是否等于 cos30.可引导
18、学生查表得答案.这两个小题对学生来说极易出错,因为学生对函数sinA、cosA理解得并不深,而且由于数与式的四则运算造成的负迁移,使学生易混淆.(3)在 RtZXABC中,下列式子中不一定成立的是A.sinA=sinBB.cosA=sinBC.sinA=cosBD.sin(A+B)=sinC这一小题是为复习任意锐角的正弦值与余弦值的关系而设计的.通过比较几个等式,加深学生对余角余函数概念理解.教师可请学生口答答案并说明原因.(彼 叫“翎,=那么(1A.0 VNAW3 0。B.3 0 ZA45C.45ZA60D.60 ZA90对于初学三角函数的学生来说,解答此题是个难点,教师应给学生充足时间讨论
19、,这对培养学生分析问题、解决问题能力很有好处,如果学生没有思路,教师可适当点拨;要想探索N A在哪个范围,首先观察其余将值C8A独修T画内,箸:0cA 4560。角的各个三角函数值,会计算含有这三个特殊锐角的三角函数值的式子,会由一个特殊锐角的三角函数值说出这个角的度数,了解一个锐角的正切(余切)值与它的余角的余切(正切)值之间的关系.(二)能力训练点逐步培养学生观察、比较、分析、综合、概括等逻辑思维能力.(三)德育渗透点培养学生独立思考、勇于创新的精神.二、教学重点、难点1.重点:了解正切、余切的概念,熟记特殊角的正切值和余切值.2.难 点:了解正切和余切的概念.三、教学步骤(一)明确目标1
20、.什么是锐角N A的正弦、余弦?(结合图6-8回答).2.填表度 a函数03045090sin acos a3.互为余角的正弦值、余弦值有何关系?4.当角度在0。90。变化时,锐角的正弦值、余弦值有何变化规律?5.我们已经掌握一个锐角的正弦(余弦)是指直角三角形中该锐角的对边(邻边)与斜边的比值.那么直角三角形中,两直角边的比值与锐角的关系如何呢?在锐角三角函数中,除正、余弦外,还有其它一些三角函数,本节课我们学习正切和余切.(二)整体感知.正切、余切的概念,也是本章的重点和关键,是全章知识的基础,对学生今后的学习或工作都十分重要.教材在继第一节正弦和余弦后,又以同样的顺序安排第二节正切余切.
21、像这样,把概念、计算和应用分成两块,每块自成一个整体小循环,第二循环又包含了第一循环的内容,可以有效地克服难点,同时也使学生通过对比,便于掌握锐角三角函数的有关知识.(三)重点、难点的学习与目标完成图6-91.引入正切、余切概念本节课我们研究两直角边的比值与锐角的关系,因此同学们首先应思考:当锐角固定时,两直角边的比值是否也固定?因为学生在研究过正弦、余弦概念之后,已经接触过这类问题,所以大部分学生能口述证明,并进一步猜测“两直角边的比值一定是正切和余切给出正切、余切概念如图6-10,在RtAABC中,把N A的对边与邻边的比叫做N A的正切,记作tanA.N A的 对 边即tanA二 乙4的
22、 邻 边并把N A的邻边与对边的比叫做N A的余切,记作cotA,Z A的 邻 边即COtA=ZA的 对 边2.tanA与cotA的关系,1请学生观察tanA与cotA的表达式,得结论侬心嬴万(c o t A=1 上,t a n A c o t =1)这个关系式既重要又易于掌握,必须让学生深刻理解,并与 tanA=cot(90O-A)区别开.3.锐角三角函数由上图,s.m4 Aa=jC-4 =7b ta nAA 7a M AA=b/把锐角、的正弦、余弦、正切、余切都叫做N A的锐角三角函数.锐角三角函数概念的给出,使学生茅塞顿开,初步理解本节题目.问:锐角三角函数能否为负数?学生回答这个问题很
23、容易.4.特殊角的三角函数.教师出示幻灯片三角函数/0。/3 0。/45。/60。/90。三 角函数03 0456090sin A022V 2VV3y1cos A1V32V 2Vj_20tanAcotA请同学推算3 0。、45。、60。角的正切、余 切 值.(如图6-11)tan 3 0=tan A=V3BCtan 45=tan A=rACArtan 60=tan B=-=BCACcot 3 0=cot A=-=BC r ABcot 45=cot A=:-rBCcot 60=cot B=-=AC 6 3通过学生计算完成表格的过程,不仅复习巩固了正切、余切概念,而且使学生熟记特殊角的正切值与余切
24、值,同时渗透了数形结合的数学思想.0,90。正切值与余切值可引导学生查“正切和余切表”,学生完全能独立查出.5.根据互为余角的正弦值与余弦值的关系,结合图形,引导学生发现互为余角的正切值与余切值的关系.结论:任意锐角的正切值等于它的余角的余切值,任意锐角的余切值等于它的余角的正切值.即 tanA=cot(90-A),cotA=tan(900-A).练习:1)请学生回答tan45。与cot45。的值各是多少?tan60。与 cot3 0。?tan3 0与 cot600呢?学生口答之后,还可以为程度较高的学生设置问题:tan60。与cot60有何关系?为什么?tan3 0。与cot3 0。呢?2)
25、把下列正切或余切改写成余角的余切或正切:(l)tan52;(2)tan3 620;(3)tan75017,;(4)c o t l 9;(5)c o t 2 4 0 4 8z;(6)c o t l 5 0 2 36.例题例1求下列各式的值:(1 )2 s i n 3 0 0+3 t a n 3 0 0+c o t 4 5 ;(2)c o s 2 4 5+t a n 6 0 0-c o s 3 0 0.解:(I)2sin3 00+3 tan3 00+cot451 J3=2X-+3X +12 3=2 4-V3:(2)cos2450+tan600-cos3 0=(务1 3 +一2 2=2.练习:求下列
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