2023年空间向量知识点归纳总结全面汇总归纳..pdf
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1、 空间向量与立体几何知识点总结 一、基本概念 :1、空间向量:2、相反向量:3、相等向量:4、共线向量:5、共面向量:6、方向向量 :7、法向量 8、空间向量基本定理:二、空间向量的坐标运算:1.向量的直角坐标运算 r r 设 a (a1,a2,a3),b (b1,b2,b3)则 (1)r r b1,a2 b2,a3 b3);(2)r r a b (a1 a b (a1(3)r a2,a3)(R);(4)r r a (a1,a b a1b1 2.设 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则 b1,a2 b2,a3 b3);a2b2 a3b3;uuur uuur uuur AB OB
2、OA=(x2 x1,y2 y1,z2 z1).r r 3、设 a(x1,y1,z1),b(x2,y2,z2),则 r r r r r r r r r r a Pb a b(b 0);a b a b 0 x1 x2 y1 y2 z1z2 0.4.夹角公式 r r r r a1b1 a2 b2 a3b3.设 a (a1,a2,a3),b (b1,b2,b3),则 cos a,b a12 a22 a32 b12 b22 b32 5异面直线所成角 r r r r|a b|x1x2 y1 y2 z1 z2|cos|cos a,b .|=r r x12 y1 2 z12 x2 2 y22 z22|a|b|
3、6平面外一点 p 到平面 的距离 n r 已知 AB 为平面 的一条斜线,n 为平面 的一个法 uuur r 向量,A 到平面 的距离为:d|ABr?n|n|空间向量与立体几何练习题 一、选择题 z 1.如图,棱长为 2 的正方体 ABCD ABC D D1 C1 在空间直角坐标 A1 B 1 1111 uuur F 系中,若 E,F 分别是 BC,DD1 中点,则 EF 的坐标为()A.(1,2,1)B.(1,2,1)C.(1,2,1)D.(1,2,1)D(O)C y E A B x 2如图,ABCD A1B1C1D1 是正方体,B1E1D1F1 A1 B1 ,则 BE1 与 4 DF1 所
4、成角的余弦值是()15 B 17 1 2 图 C 8 D 17 3 2 3.在四棱锥 P ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,E 为 PD 中点,uuur r uuur r uuur r uuur 若 PA a,PB b,PC c,则 BE()A.1 r 1 r 1 r a b c 2 2 2 C.1 r 3 r 1 r a b c 2 2 2 二、填空题 B.D.1 r 1 r 1 r a b c 2 2 2 1 r 1 r 3 r 图 a b c 2 2 2 4.若点 A(1,2,3),B(uuur uuur r 3,2,7),且 AC BC 0,则点 C 的坐标为 _.5在正方体 A
5、BCD AB C D 中,直线 AD 与平面 A BC 夹角的余弦值为 _.1111 11 三、解答题 1、在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AB 1 与底面 ABCD 所成的角为,4 (1)求证 BD1 面 AB 1C (2)求二面角 B1 AC B 的正切值 2在三棱锥 P ABC AB AC 3 中,AP 4,PA 面 ABC,BAC 90,D是PA中点,点 E在 BC上,且 BE 2CE,(1)求证:AC BD;P D A C E (2)求直线 DE 与 PC 夹角 的余弦值;(3)求点 A 到平面 BDE 的距离 d 的值.B 3在四棱锥 PABCD中,底面 ABCD是一直
6、角梯形,BAD=90,AD BC,AB=BC=a,AD=2a,且 PA底面 ABCD,PD与底面成 30角 (1)若 AE PD,E为垂足,求证:BE PD;(2)求异面直线 AE与 CD所成角的余弦值 4、已知棱长为 1 的正方体 AC1,E、F 分别是 B1C1、C1D 的中点 (1)求证:E、F、D、B 共面;(2)求点 A1 到平面的 BDEF 的距离;(3)求直线 A1D 与平面 BDEF 所成的角 5、已知正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 2,点 E为棱 AB的中点,求:()D1E与平面 BC1D所成角的大小;()二面角 D BC1C的大小;一、考点概要:1、空间向量及
7、其运算 (1)空间向量的基本知识:定义:空间向量的定义和平面向量一样,那些具有大小和方向的量叫做向量,并且仍用有向线段表示空间向量,且方向相同、长度相等的有向线段表示相同向量或相等的向量。空间向量基本定理:定理:如果三个向量 不共面,那么对于空间任一向量,存在唯一的有序实数组 x、y、z,使。且把 叫做空间的一个基底,都叫基向量。正交基底:如果空间一个基底的三个基向量是两两相互垂直,那么这个基底叫正交基底。单位正交基底:当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时,称为单位正交基底,通常用 表示。空间四点共面:设 O、A、B、C 是不共面的四点,则对空间中任意一点 P,都存在唯一的有序实数组 x、
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