外切球与内切球常用模型简单易懂之试题版本.docx
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1、乾坤未定立体几何1球试题外接球一、正方体模型OPCBA正方体外接球半径 r外接球=32边长正四面体棱长为a,外接球半径r外接球=64a & 推导:正四面体可以放到正方体里面,正四面体棱长为a,正方体边长为22a 正方体外接球半径r外接球=32边长=3222a=64a二:适用于:顶点的投影在底面的外心上的棱锥外接球PQ2=OA2=OQ2+AQ2r外接球2=r外接球2+R底面外接圆2化简得: r外接球=2+R底面外接圆22& 推广:侧棱相等的锥体外接球半径:r外接球=h2+R底面外接圆22h三、长方体模型:长方体的三边长为a、b、c r外接球=a2+b2+c22 变形侧棱两两垂直(墙角模型)对棱相
2、等(设棱长,勾股定理)鳖臑阳马 & 对棱相等详解:四面体中,这种四面体叫做对棱相等四面体,可以通过构造长方体来解决这类问题如图,设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,则a2+b2=m2a2+c2=n2b2+c2=t2,三式相加可得a2+b2+c2=m2+n2+t22而显然四面体和长方体有相同的外接球,设外接球半径为r外,则,所以r外=a2+b2+c22四、直三棱柱模型:r外接球2=R 底面外接圆2+22直三棱柱的底边长为a、b、c,高为,外接球半径r外接球2=R 底面外接圆2+22& 求解过程:底面三角形外接圆半径R底面外接圆可用正弦定理求解:asinA=bsinB=csinC=2R底面外接圆
3、变形:侧棱底面的棱锥(以下图四个点构成的三棱锥为例)圆柱的外接球求 : 侧棱 底面的三棱锥外接球半径 等价于 求直三棱柱的外接球半径五:切瓜模型:有两个平面互相垂直的棱锥 & 推导过程:分别在两个互相垂直的平面上取外心O1、O2,过两个外心做两个垂面的垂线,两条垂线的交点即为球心0,取公共交线BC的中点为E ,连接OO1、OO2、O2E、O1E为矩形由勾股可得|OC|2=|O2C|2+OO22 =|O2C|2+O1C2CE2r外接球2=R1底面外接圆2+R2底面外接圆2l交线22六、矩形模型适用范围:两个直角三角形的斜边为同一边,则该边为球的直径 r外接球2=l22(l为公共斜边长度)内切球方
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