高考数学(真题+模拟新题分类汇编)数列文.pdf
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1、数 列 D 1 数 列 的 概 念 与 简 单 表 示 法 15.DI,D512013 湖 南 卷 时 于 E=a,a2,-aiw 的 子 集 X=aii,a i2,a i j,定 义 X的 特 征 数 列 为 Xi,x2,Xioo,其 中 x i i=x i 2=*=x i k=l,其 余 项 均 为 0.例 如:子 集 az,a j 的“特 征 数 列”为 0,1,1,0,0,,O 子 集 a“a”a j 的“特 征 数 列”的 前 3 项 和 等 于.;若 E 的 子 集 P 的 特 征 数 列 p”p2,pioo满 足 pi=l,Pi+pi+i=l,lW iW 99;E的 子 集 Q
2、的 特 征 数 列 q“qz,q皿 满 足 卬=1,q+qj+i+q,+2=l,lW jW 9 8,则 PCQ的 元 素 个 数 为.15.2 17 解 析(1)由 特 征 数 列 的 定 义 可 知,子 集 a“a3)as 的“特 征 数 列”为 1,0,1,0,1,0-,0,故 可 知 前 三 项 和 为 2.根 据“E 的 子 集 P 的“特 征 数 列 p p z,,p 满 足 a=L P i+pi+1=l,lW iW 99”可 知 子 集 P 的“特 征 数 列”为 1,0,1,0,,1,0.即 奇 数 项 为 1,偶 数 项 为 0.根 据“E 的 子 集 Q的“特 征 数 列”q
3、“q z,,qwo满 足 q=l,q+q*+q j+2=l,lW jW 98”可 知 子 集 Q的“特 征 数 列 为 1,0,0,1,0,0,0,1.即 项 数 除 以 3 后 的 余 数 为 1的 项 为 1,其 余 项 为 0,则 P C Q的 元 素 为 项 数 除 以 6 余 数 为 1 的 项,可 知 有 a a”al3,a9;,共 1 7项.4.DI 2013 辽 宁 卷 下 面 是 关 于 公 差 d0的 等 差 数 列 an 的 四 个 命 题:p u 数 列 a,是 递 增 数 列;p2:数 列 n a j是 递 增 数 列;P3:数 列 是 递 增 数 列;p,:数 列
4、a“+3nd 是 递 增 数 列.其 中 的 真 命 题 为()A.pi,p2 B.P3,piC.P2,P3 D.Pi,P.|4.D 解 析 因 为 数 列&J为 d 0的 数 列,所 以 是 递 增 数 列,则 必 为 真 命 题.而 数 列 an+3nd 也 是 递 增 数 列,所 以 pi为 真 命 题,故 选 D.D 2 等 差 数 列 及 等 有 效 期 数 列 前 n 项 和 19.D2,D4E2013-安 徽 卷 设 数 列 瓜 满 足=2,a2+at=8,且 对 任 意 n N,函 数 f(x)=(anan+i+an+2)x+an+icos xan+2sin x 满 足 f(V
5、=(1)求 数 列 a j 的 通 项 公 式;(2)若 bn=2|a+y-求 数 列 bn 的 前 n 项 和 Sn.1 9.解:(1)由 题 设 可 得,f(x)=anan+i+an+2an+isin xan+2cos x.对 任 意 nN*,fz an+i+an+2an+i=0,即 an+ian=an+2a m,故 a j 为 等 差 数 列.由 a i=2,a2+a.i=8,解 得 a j 的 公 差 d=l,所 以 an=2+l(n1)=n+l.由 f+E+l=2n+*+2 知,t _ nn(n+1)2 2 2 1S=bi+b2d-Fbu=2n+2-+-7-=n+3n+lr;.乙 1
6、 乙 7.D2 2013 安 徽 卷 设/为 等 差 数 列 aj的 前 n 项 和,S8=4a3,a7=-2,则-=()A.-6 B.-4 C.-2 D.27.A 解 析 设 公 差 为 d,则 8ai+28d=4ai+8d,即 ai=-5d,a7=ai+6d=-5d+6d=d=-2,所 以 a9=a7+2d=-6.20.M2,D2,D3,D5 2013 北 京 卷 给 定 数 列 al,a2,,an,对 i=l,2,,n-1,该 数 列 前 i项 的 最 大 值 记 为 A,后 ni项 ai+i,a+2,,形 的 最 小 值 记 为 B”di=Ai-Bi.设 数 列 aj为 3,4,7,1
7、,写 出 d”d2,d3的 值;设 ai,a2,an(n24)是 公 比 大 于 1 的 等 比 数 列,且 ai0.证 明:di,dz,,dn-i是 等 比 数 列;设 di,dz,,dn-i是 公 差 大 于 0 的 等 差 数 列,且 di0,证 明:a”2,,a一 是 等 差 数 列.20.解:(l)di=2,d2=3,d3=6.(2)证 明:因 为 囱 0,公 比 q l,所 以 a”&,,既 是 递 增 数 列.因 此,对 7=1,2,,n 1,Ai=ai,Bi=ai+i.于 是 对 i=l,2,n1,di=Ai-Bi=aiai+i=ai(1q)q1-1.Q.1.因 此 diWO
8、且 1 一=q(i=l,2,,n2),diBP d d2,,d i 是 等 比 数 列.(3)证 明:设 d 为 d”d2,d-的 公 差.对 l W i W n-2,因 为 d0,所 以 Ai+i=B+di+i2Bi+di+dBi+di=Ai.又 因 为 Ai+i=max A ai+J,所 以 ai+尸 Ai+i Ai2ai.从 而 a1,a2,a 1 是 递 增 数 列,因 此 Ai=aMi=l,2,n1).又 因 为 Bi=Ai-di=ai-dKai,所 以 BKaKa?a1.因 此 3n=Bl.所 以 Bi=B2=-=Bn-i=afl.所 以 ai=Ai=Bi+di=an+di.因 此
9、 对 i=l,2,,n2 都 有 用+iai=di+i di=d,BP au&,,a I 是 等 差 数 列.17.D2、D4 2013 全 国 卷 等 差 数 列 aj中,a7=4,a19=2a9.(1)求 的 通 项 公 式;(2)设 b.=,求 数 列 限 的 前 n 项 和 Sznan17.解:(1)设 等 差 数 列 E J 的 公 差 为 d,则 an=ai+(nl)d.a7=4,|ai+6d=4,因 为 所 以 ai9=2a9,ai+18d=2(ai+8d),解 得 a1=L d=:.所 以 E 的 通 项 公 式 为 a.=*.i 9 2 2(2)因 为 b“=所 以 na n
10、(n+1)n n+12n=n+T-17.D2,D32013 福 建 卷 已 知 等 差 数 列 aj的 公 差 d=l,前 n 项 和 为 S.(1)若 1,a as成 等 比 数 列,求 a“(2)若 S5aia9,求 a 的 取 值 范 围.17.解:(1)因 为 数 列 凡 的 公 差 d=l,且 1,a”a,成 等 比 数 列,所 以 a;=lX(ad2),即 aia,2=0,解 得 ai 1 或 ai=2.(2)因 为 数 列 aj的 公 差 d=l,且 S5ala9.所 以 5a1+10ai+8a1,即 aj+3al 10 解 得 一 5a)即(ai+10d)2=ai(ai+12d
11、),于 是 d(2a,+25d)=0.又 ai=25,所 以 d=0(舍 去),d=-2.故 a=2n+27.(2)令 S“=ai+ai+a7H-Fa31 1T.由(1)知 a3-=-6 n+3 1,故 展 1 是 首 项 为 25,公 差 为 一 6 的 等 差 数 列.从 而 S=(a i+a 3-2)=(6n+56)3n2+28n.20.D22013 山 东 卷 设 等 差 数 列 aj的 前 n 项 和 为 Sn,且 S4=4Sz,a2=2a+l.(1)求 数 列 aj的 通 项 公 式;(2)若 数 列 bn 满 足 灯+b 4-F2=1-J,ndN*,求(b)的 前 n 项 和 T
12、、ai a2 an 220.解:(1)设 等 差 数 列 a“的 首 项 为 a“公 差 为 d.由 S.1 4S2,a2n=2&1+1 得4ai+6d=8ai+4d,a1+(2n1)d=2ai+2(n 1)d+1.解 得 ai=l,d=2.因 此 an=2n1,nGN*.(2)由 已 知 包 十 包 H-1 J,nGN*,31 32 3n 2当 n=l 时,=!;ai 2当 心 2 时,*1 9 _(1 一 制/所 以 neN*.Sn 22n1由 知 an=2n1,n G N*,所 以 bn=-5 一,nN*.又 Tn=+堤+/+专 工 两 式 相 减 得 2n 3.2n 12n所 以 T“
13、=32n+317.D22013 陕 西 卷 设 S”表 示 数 列&的 前 n 项 和.(1)若 a j 是 等 差 数 列,推 导 S”的 计 算 公 式;(2)若 揶=1,q#0,且 对 所 有 正 整 数 n,有 权=尸.判 断 a j 是 否 为 等 比 数 列,并 证 明 1q你 的 结 论.17.解:(1)方 法 一:设 a j 的 公 差 为 d,则 S=ai+a2+,+af l=ai+(ai+d)4-1&+(n-l)d,又 Stl=an+(an-d)H-1-a(n1)d,/.2Sn=n(ai+an),.n(ai+a)*On-2 方 法 二:设 a,的 公 差 为 d,则 Sn=
14、ai+a2+*+an=ai+(ai+d)+,+ai+(nl)d,又 Sn=an+an-H-Fai=ai+(n-1)d+a,i+(n-2)d+a,2Sn=2ai+(n 1)d+2ai+(n 1)d+2ai+(n 1)d=2nai+n(nl)d,.q.n(n-1).Sn=nai+-d.aj是 等 比 数 列.证 明 如 下:_ _(j(l_q)_ 1q 1q 1q 联 nV ai=1,qNO,,当 nel 时,有-=i=q.an q因 此,a“是 首 项 为 1 且 公 比 为 q 的 等 比 数 列.16.D2,D3E2013 四 川 卷 在 等 比 数 列 a.中,a2-a t=2,且 2a2
15、为 3。和 比 的 等 差 中 项,求 数 列 a,的 首 项、公 比 及 前 n 项 和.16.解:设 该 数 列 的 公 比 为 q,由 已 知,可 得 a y a1=2,4aiq=3a1+a1q2,所 以,a,(q1)=2,q24q+3=0,解 得 q=3 或 q=l.由 于 aKq-1)=2,因 此 q=l 不 合 题 意,应 舍 去.故 公 比 q=3,首 项 ai=l.所 以,数 列 的 前 n 项 和 Sn=Z3ny-.117.D2、D4E2013 新 课 标 全 国 卷 I 已 知 等 差 数 列 的 前 n 项 和 S满 足$3=0,S6=-5.(1)求 a0 的 通 项 公
16、 式;(2)求 数 列 1 1)的 前 n 项 和.32n-1 3 2 1 1+1 J1 7.解:(1)设&J 的 公 差 为 d,则 S n=g+(丁)d3ai+3 d=0,由 已 知 可 得 1,解 得 ai=l,d=-I.l5ai+l0d=5,故 an 的 通 项 公 式 为 a=2n.a2n-ia2n+i(32n)(12n)22n3 2n1/数 歹 一 一 1的 前 n 项 和 为;(一 一:+;-;-1-k J J)=1.a2n-ia2n+ij 21 1 1 3 2n3 2n17 12n19.D22013 浙 江 卷 在 公 差 为 d 的 等 差 数 列 卷 中,已 知=1 0,且
17、 2a2+2,5a3成 等 比 数 列.求 d,a,;(2)若 d0,求|3|+区|+|ao|T-F Ian|.1 9.解:(1)由 题 意 得 5a3 ai=(2az+2)1即 d2-3d-4=0.故 d=-1 或 d=4.所 以 既=n+11,nN*或 dn=4n+6,nN*.(2)设 数 列 aj的 前 n 项 和 为 S n,因 为 d0,证 明:a a”,a-是 等 差 数 列.20.解:(1)5=2,&=3,&=6.(2)证 明:因 为 aDO,公 比 ql,所 以 4,a2,a“是 递 增 数 列.因 此,对 i=l,2,n1,Ai=ai,Bi=ai+i.于 是 对 i=l,2,
18、n1,di Ai-Bi=a(ai+i=ai(1q)q-I.因 此 d H O 且 U-=q(i=l,2,,n2),即 d”d2,d I 是 等 比 数 列.(3)证 明:设 d 为 dl,d2,,&T 的 公 差.对 IWiWn2,因 为 d0,所 以 Ai+i=Bi+i+di+i2Bi+&+dBi+di=Ai.又 因 为 Ai+i=max Ai,ai+J,所 以 ai+i=Ai+iAi2ai.从 而 ai,a2,&一 是 递 增 数 列,因 此 Ai=ai(i=l,2,n1).又 因 为 Bi=Ai-di=di-d ai,所 以 BKaKa?0,b0)的 左、右 焦 点 分 别 a b为 R
19、,&,离 心 率 为 3,直 线 y=2 与 C 的 两 个 交 点 间 的 距 离 为 求 a,b;(2)设 过&的 直 线 1 与 C 的 左、右 两 支 分 别 交 于 A,B 两 点,且|AFj=|BR|,证 明:|晒|,|AB|,IBF2I成 等 比 数 列.22.解:(1)由 题 设 知=3,即 2=9,故 b2=8a;a a所 以 C 的 方 程 为 8x2y2=8a?.将 y=2 代 入 上 式,并 求 得 x=-a2+1.由 题 设 知,2 口=/,解 得 a?=l.所 以 a=l,b=2 乖.(2)证 明:由(1)知,Fi(-3,0),F2(3,0),C 的 方 程 为 8
20、x?y2=8.由 题 意 可 设 1 的 方 程 为 y=k(x3),1k|2镜,代 入 并 化 简 得 G Mx?616+y;=d(xi+3)2+8x;-8=-(3xi+l),|BFi I=y(x2+3)2+y2=yj(x2+3)2+8x28=3x2+1.9由|AFI|=|BFI 一(3XI+1)=3 X2+1,即 xi+x2=-o,6k2 2 2 4“一 19故 记 二=-q,解 得 k=m,从 而 xiX2=-由 于 IAF21=yj(X L 3)斗 y:=y/(X L 3)+8xf-8=1-3xi,IBF21=y(x;-3)+yf=N(X2-3)、+8x;-8=3x2-1,I AB|=
21、|AF21-IBF21=2-3(xi+x2)=4,IAF2I,BF2I=3(xi+x2)9 XIX 21=16.因 而 IAF2I|B F2|=|AB 2,所 以|但|,|AB|,IBF2I成 等 比 数 列.47.D3 2013 全 国 卷 已 知 数 列 aj满 足 3an+i+an=0,a2=则 瓜 的 前 10项 和 等 于()A.-6(l-3-1)B.(l-310)C.3(1-3)D.3(1+3)7.C 解 析 由 3a“+d a“=0,得 a“W 0(否 则 a?=0)且 2=一 4,所 以 数 列 a“是 公 比 为(n104 X 1(I-11 I 3/i10一)的 等 比 数
22、列,代 入 a?可 得 小=4,故 S”,=-t-3 X i-l=3(1-3-,0).1+L/J317.D2,D3 2013 福 建 卷 已 知 等 差 数 列 aj的 公 差 d=l,前 n 项 和 为 S0.若 1,a1,a3成 等 比 数 列,求 出;若 SsMa”求 ai的 取 值 范 围.17.解:(1)因 为 数 列 因 油 的 公 差 d=l,且 1,a”a3成 等 比 数 列,所 以 a;=1 X 0+2),即 a:ai2=0,解 得 a=-1 或 a1=2.(2)因 为 数 列 aj的 公 差 d=l,且 SsMa”所 以 5ai+10al+8ai,BP a?+3ai-100
23、,解 得 一 5a2.11.D312013 广 东 卷 设 数 列 aj是 首 项 为 1,公 比 为 一 2 的 等 比 数 列,则 adl&l+aa+I a,|=.11.15 解 析 方 法 一:易 求 得 a?=-2,a3-4,&=-8,尿|+a:,+|aj=15.1 91方 法 二:相 当 于 求 首 项 为 1,公 比 为 2 的 等 比 数 列 的 前 4 项 和,S,=15.1 乙 14.D3 2013 江 苏 卷 在 正 项 等 比 数 列 以 中,a5=1,ao+a7=3.则 满 足 a1+a2H-FaQa包 a”的 最 大 正 整 数 n 的 值 为.14.12 解 析 设
24、 aj的 公 比 为 q.由 a5=1及 eu(q+q2)=3 得 q=2,所 以 a】=,所 以 a6=l,aia2-au=ai1=:l,此 时 ai+azd-FaQl.又 a+a2H-(-312=2,aia2-ai2=2(i2aia2-ai2,但 a+a2T-J-ai3=28,aia2-ai3=2e-27=25 2828,所 以&+a2T-卜 ai3 aia2a13,故 最 大 正 整 数 n 的 值 为 12.12.D3 2013 江 西 卷 某 住 宅 小 区 计 划 植 树 不 少 于 100棵,若 第 一 天 植 2 棵,以 后 每 天 植 树 的 棵 数 是 前 一 天 的 2
25、倍,则 需 要 的 最 少 天 数 n(n2)等 于12.6 解 析 S“=2 C)=2 1 2。100,得 n26.1 214.D3 2013 辽 宁 卷 已 知 等 比 数 列 a j是 递 增 数 列,S.是&的 前 n 项 和.若 a“a3是 方 程 x 5 x+4=0 的 两 个 根,则 S e=.14.63 解 析 由 题 意 可 知 ai+a:,=5,a,as=4.又 因 为 a j为 递 增 的 等 比 数 列,所 以 X(1 96)Hi=1,a3=4,则 公 比 q=2,所 以 Se=63.1 z17.D2,D3 2013 新 课 标 全 国 卷 H 已 知 等 差 数 列
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