湖南省长沙市示范中学2021-2022学年高一下学期期末考试——数学试题.doc
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1、2021-2022学年度高一第二学期期末考试数学一选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.1. 已知,则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】将整理得,根据复数的除法运算,可求出z,即得答案.【详解】根据,可得,故选:D.2. 若平面向量两两的夹角相等,且,则( )A. 2B. 5C. 2或5D. 或【答案】C【解析】【分析】分类讨论,再由向量求模公式,即可求解.【详解】当两两的夹角均为0时,显然;当两两的夹角均为120时,故选:C.3. 若的内角,所对的边分别为,已知,且,则=( )A. B. C. D. 【答案】
2、D【解析】【分析】根据正弦定理得到,利用三角恒等变换得到,计算得到答案.【详解】,则,故,故.,故,化简整理得到:,故,.故选:D.【点睛】本题考查了三角恒等变换,正弦定理,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.4. 过点P(1,1)作直线l,与两坐标轴相交所得三角形面积为1,则直线l有( )A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条【答案】B【解析】【分析】由题意设直线的方程为,然后求出直线与坐标轴的交点坐标,再由直线与两坐标轴相交所得三角形面积为1,列方程可求出的值,从而可得直线的条数【详解】由题意可知,直线的斜率存在,则设直线的方程为,令,解得;令,解得.,化为,即,由于方程,方程无解,可
3、得两个方程共有2个不同的解.因此直线共有2条.故选:B.5. 下列说法不正确的是( )A. 一个人打革时连续射击两次,事件“至少有一次中革”与事件“两次都不中革”互斥B. 掷一枚均匀的硬币,如果连续抛郑1000次,那么第999次出现正面向上的概率是C. 若样本数据的标准差为8,则数据的标准差为16D. 甲乙两人对同一个靶各射击一次,记事件“甲中靶”,乙中靶”,则“恰有一人中靶”【答案】D【解析】【分析】根据互斥事件的概念、独立重复试验的概率,及样本数据变化前后方差的性质即可判断A、B、C的正误,由即知所表示的事件含义.【详解】A:“两次都不中靶”与“至少有一次中靶”不可能同时发生正确B:每一次
4、出现正面朝上的概率相等都是正确C:样本数据,其标准差,则,而样本数据的方差为,其标准差为正确D:“靶被击中”,错误故选:D6. 设,是两个不同的平面,a,b是两条不同的直线.下列说法正确的是( )若 ,则a或;若,则ab;若,则;若,则.A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据直线和平面的位置关系可判断A;由线面垂直的性质可判断B,C;根据面面垂直 的性质可判断D.【详解】若,可得或,故正确;若,由直线与平面垂直的性质可得,故正确;若,由直线与平面垂直的性质可得,故正确;若,当时,一定有成立,当时,不一定成立,故不正确.说法正确的是.,故选:.7. 已知直线l:在x轴上的截距的取
5、值范围是(,3),则其斜率的取值范围是( )A. B. 或C. 或D. 或【答案】D【解析】【分析】先求出含参数的直线所过定点坐标,然后求出直线两端点的斜率,画出示意图,写出范围即可【详解】已知直线l:(2+a)x+(a1)y3a=0,所以(x+y-3)a+2x-y=0 ,所以直线过点,由题知,在轴上的截距取值范围是,所以直线端点的斜率分别为:,如图:或.故选:D.8. 已知正四面体的表面积为,为棱的中点,球为该正四面体的外接球,则过点的平面被球所截得的截面面积的最小值为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题首先可以将正四面体放入正方体中,然后借助正方体的性质得出外接球的球心,
6、通过正四面体的表面积为即可计算出长,从而求得外接球的半径,利用截面圆的性质求得最小截面圆的半径径,问题得解【详解】如图所示,将正四面体放入正方体中,则正方体的中心即为其外接球的球心,因为正四面体的表面积为,所以,因为是正三角形,所以,设正方体的边长为,则:,解得:所以正四面体的外接球直径为,设过点的截面圆半径为,球心到截面圆的距离为,正四面体的外接球半径为,由截面圆的性质可得:当最大时,最小,此时对应截面圆的面积最小.又,所以的最大值为,此时最小为所以过点的最小截面圆的面积为,故选B【点睛】本题考查截面圆的相关性质,主要考查几何体与球的外接问题,可将几何体放入正方体中并借助正方体的相关性质得出
7、球心,考查推理能力,是难题二多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9. 已知为虚数单位,下列说法中正确的是( )A. 若复数z满足,则复数z对应的点在以 为圆心,为半径的圆上B. 若复数z满足,则复数C. 若复数,满足,则D. 若复数,满足,则【答案】BC【解析】【分析】根据复数模的几何意义可判断A;设,根据列式求得a,b,即得复数z,判断B;根据复数的模相等,结合复数与其共轭复数的积的运算,判断C;举反例判断D.【详解】对于A,满足的复数对应的点在以为圆心,为半径的圆上,故错误;对于B,设,则
8、,由,得,故 ,解得 ,B正确对于C,设,若,则,即,所以,所以C正确;对于,若,则,而,所以错误.故选:.10. 如图是一个古典概型的样本空间及事件A和事件B,其中,则( )A. B. C. 事件A与B互斥D. 事件A与B相互独立【答案】ABD【解析】【分析】计算出事件A和事件B,以及,的概率,即可判断A,B;由于,可判断C;分别计算的值,看二者的关系,判断D.【详解】, ,故正确,正确;与不互斥,故C错误;,事件A与相互独立,故D正确.故选:ABD.11. 已知向量,在向量上的投影向量为,则( )A. B. 与方向相同的单位向量为或C. 的最小值为0D. 的最小值为【答案】ABD【解析】【
9、分析】根据已知条件可知,设,利用数量积的坐标表示可判断A;由的坐标可求与方向相同的单位向量可判断B,利用数量积的坐标运算求的最小值可判断C;计算的最小值,进而可得的最小值可判断D,进而可得正确选项.【详解】由投影向量的定义可知:,可知,设对于A:,所以,故选项A正确;对于B:由于,所以与方向相同的单位向量为即或故选项B正确;对于C:因为,所以所以当时,的最小值为,故选项C不正确;对于D:因为,所以当时,的最小值为,故选项D正确,故选:ABD.12. 如图,在边长为2的正方形 中,E,F分别是 的中点,D是EF的中点,将 分别沿SE,SF折起,使 两点重合于G,下列说法正确的是( )A. 若把
10、沿着EF继续折起, 与G恰好重合B C. 四面体 的外接球体积为D. 点G在面SEF上的射影为SEF的重心【答案】ABC【解析】【分析】根据,可说明 与G恰好重合,判断A;根据线面垂直的性质定理可判断B;将四面体 补成长方体,可求得其外接球半径,进而求得外接球体积,判断C;根据线面垂直证明线线垂直,说明点G在面SEF上的射影为三角形的高的交点,判断D.【详解】对于A,因为,故把沿着继续折起,与恰好重合,正确;对于B,因为,D是EF的中点,故;又,故平面GEF,而平面GEF,故,又平面SGD,所以平面,平面,所以正确;对于,由翻折的性质可知,两两垂直,将其补成相邻三条棱长为1,1,2的长方体,则
11、长方体外接球和四面体外接球相同,其体对角线长,所以长方体外接球半径为,故外接球的体积为,故正确;对于D,因为两两互相垂直,故平面GEF,则,设P为点G在平面SEF上的射影,连接EP,SP,则 ,而平面SGP,故平面SGP, 平面SGP,故,同理可证,即点P为三角形高线的交点,所以点在平面上的射影为的垂心,故D错误,综上,正确答案为ABC,故选:ABC三填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13. 已知是空间的一个单位正交基底,向量是空间的另一个基底,用基底表示向量_.【答案】【解析】【分析】设,然后整理解方程组即可.【详解】设,即有,因为是空间的一个单位正交基底,所以有,所以.故答案为:
12、14. 投到某出版社的稿件,先由两位初审专家进行评审,若能通过两位初审专家的评审,则直接予以录用,若两位初审专家都未予通过,则不予录用,若恰能通过一位初审专家的评审,则再由第三位专家进行复审,若能通过复审专家的评审,则予以录用,否则不予录用.设稿件能通过各初审专家评审的概率均为,复审的稿件能通过评审的概率为,各专家独立评审,则投到该出版社的1篇稿件被录用的概率为_.【答案】【解析】【分析】1篇稿件被录用分为两种情况:(1)稿件通过了两位初审专家;(2)稿件通过了一位初审专家,也通过了复审专家.分别对求解两种情况的概率,再对两种情况的概率求和即可。【详解】记A表示事件:稿件能通过两位初审专家的评
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