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1、优秀教案 欢迎下载 基本不等式一轮复习导学案 2107.12【教学目标】.了解基本不等式的证明过程.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题【知识梳理】一、基本不等式:ab2 ab 1基本不等式成立的条件:_.2等号成立的条件:当且仅当_时取等号 3其中ab2称为正数 a,b 的算术平均数,ab称为正数 a,b 的_.二、基本不等式的变形 1a2b22ab(a,bR)当且仅当 ab 时取等号 2ab_(a,bR),当且仅当 ab 时取等号 3a1a2(a0),当且仅当 a1 时取等号;a1a_(a0,y0 且 x+2y+2xy=8,则 x+2y 最小值为 (5)设 x0,y0,z0,且 x-2
2、y+3z=0,则2yxz的最小值为 (6)若 x,y 满足2241xyxy,则 2x+y 最小值为 (7)已知:abc0,则221121025(ab)aaccaba最小值为 考向二 利用基本不等式证明不等式【例 2】已知 a0,b0,c0,求证:bcacababcabc.大小值问题知识梳理一基本不等式基本不等式成立的条件等号成立的条件当且仅当时取等号其中称为正数的算术平均数称为正数的二基本不等式的变形当且仅当时取等号当且仅当时取等号当且仅当时取等号当且仅当时取等号同号当如果和和为定值是定值那么当且仅当时积有最值是简记和定积最大一基础练习函数的值域为优秀教案欢迎下载下列不等式其中正确的个数是若且
3、则的最大值为重庆若函数在处取最小值则已知则函数的最小值为考向一利用基本不等式则最小值为设且则的最小值为若满足则最小值为已知则最小值为考向二利用基本不等式证明不等式例已知求证优秀教案欢迎下载训练已知且求证考向三利用基本不等式解决恒成立问题例山东若对任意恒成立则的取值范围是训练已知优秀教案 欢迎下载【训练 2】已知 a0,b0,c0,且 abc1.求证:1a1b1c9.考向三 利用基本不等式解决恒成立问题【例 3】(2010 山东)若对任意 x0,xx23x1a 恒成立,则 a 的取值范围是_【训练 3】(1)已知 x0,y0,xyx2y,若 xym2 恒成立,则实数 m 的最大值是_(2)若正数
4、 x,y 满足 x+y=1,且14axy 恒成立,则正数a 的最小值为 (3)若正数 x,y 满足 x+y=a,且114xy 恒成立,则正数 a 的最大值为 考向四 利用基本不等式解实际问题【例 3】某单位建造一间地面面积为 12 m2的背面靠墙的矩形小房,由于地理位置的限制,房子侧面的长度 x 不得超过 5 m房屋正面的造价为 400 元/m2,房屋侧面的造价为 150 元/m2,屋顶和地面的造价费用合计为 5800 元,如果墙高为3 m,且不计房屋背面的费用当侧面的长度为多少时,总造价最低?大小值问题知识梳理一基本不等式基本不等式成立的条件等号成立的条件当且仅当时取等号其中称为正数的算术平
5、均数称为正数的二基本不等式的变形当且仅当时取等号当且仅当时取等号当且仅当时取等号当且仅当时取等号同号当如果和和为定值是定值那么当且仅当时积有最值是简记和定积最大一基础练习函数的值域为优秀教案欢迎下载下列不等式其中正确的个数是若且则的最大值为重庆若函数在处取最小值则已知则函数的最小值为考向一利用基本不等式则最小值为设且则的最小值为若满足则最小值为已知则最小值为考向二利用基本不等式证明不等式例已知求证优秀教案欢迎下载训练已知且求证考向三利用基本不等式解决恒成立问题例山东若对任意恒成立则的取值范围是训练已知优秀教案 欢迎下载 课后巩固练习 1.(2016 四川资阳诊断)已知 a0,b0,且 2aba
6、b,则 a2b 的最小值为()A.52 2 B.8 2 C.5 D.9 2.(2016 辽宁师大附中模拟)函数 yloga(x3)1(a0,且 a1)的图象恒过定点 A,若点 A在直线 mxny10 上,其中 m,n 均大于 0,则1m2n的最小值为()A.2 B.4 C.8 D.16 3.(2015 北京海淀二模)已知 f(x)32x(k1)3x2,当 xR 时,f(x)恒为正值,则 k 的取值范围是()A.(-,-1)B.(-,2 2-1)C.(-1,2 2-1)D.(-2 2-1,2 2-1)4.(2016 山东泰安模拟)若直线 l:xayb1(a0,b0)经过点(1,2),则直线 l在
7、 x 轴和 y轴上的截距之和的最小值是_.大小值问题知识梳理一基本不等式基本不等式成立的条件等号成立的条件当且仅当时取等号其中称为正数的算术平均数称为正数的二基本不等式的变形当且仅当时取等号当且仅当时取等号当且仅当时取等号当且仅当时取等号同号当如果和和为定值是定值那么当且仅当时积有最值是简记和定积最大一基础练习函数的值域为优秀教案欢迎下载下列不等式其中正确的个数是若且则的最大值为重庆若函数在处取最小值则已知则函数的最小值为考向一利用基本不等式则最小值为设且则的最小值为若满足则最小值为已知则最小值为考向二利用基本不等式证明不等式例已知求证优秀教案欢迎下载训练已知且求证考向三利用基本不等式解决恒成
8、立问题例山东若对任意恒成立则的取值范围是训练已知优秀教案 欢迎下载 参考答案 1.D(2,)答案 C 2 解析 不正确,正确,x21x21(x21)1x211211.答案 B 3解析 a0,b0,a2b2,a2b22 2ab,即 ab12.答案 A 4解析 当 x2 时,x20,f(x)(x2)1x222 x2 1x224,当且仅当 x21x2(x2),即 x3 时取等号,即当 f(x)取得最小值时,x3,即 a3.答案 C 5解析 t0,yt24t1tt1t4242,当且仅当 t1 时取等号答案 2 【例 1】解析(1)x0,y0,且 2xy1,1x1y2xyx2xyy3yx2xy32 2.
9、当且仅当yx2xy时,取等号(2)x0,f(x)2xx212x1x221,当且仅当 x1x,即 x1 时取等号 答案(1)32 2(2)1【训练 1】解析(1)x1,f(x)(x1)1x11213 当且仅当 x2 时取等号(2)y2x5x2x(25x)15 5x(25x),0 x25,5x2,25x0,5x(25x)5x25x221,y15,当且仅当 5x25x,即 x15时,ymax15.(3)由 2x8yxy0,得 2x8yxy,2y8x1,xy(xy)8x2y108yx2xy1024yxxy1022 4yxxy18,当且仅当4yxxy,即 x2y 时取等号,又 2x8yxy0,x12,y
10、6,当 x12,y6 时,xy 取最小值 18.大小值问题知识梳理一基本不等式基本不等式成立的条件等号成立的条件当且仅当时取等号其中称为正数的算术平均数称为正数的二基本不等式的变形当且仅当时取等号当且仅当时取等号当且仅当时取等号当且仅当时取等号同号当如果和和为定值是定值那么当且仅当时积有最值是简记和定积最大一基础练习函数的值域为优秀教案欢迎下载下列不等式其中正确的个数是若且则的最大值为重庆若函数在处取最小值则已知则函数的最小值为考向一利用基本不等式则最小值为设且则的最小值为若满足则最小值为已知则最小值为考向二利用基本不等式证明不等式例已知求证优秀教案欢迎下载训练已知且求证考向三利用基本不等式解
11、决恒成立问题例山东若对任意恒成立则的取值范围是训练已知优秀教案 欢迎下载 答案(1)3(2)15(3)18【例 2】证明 a0,b0,c0,bcacab2 bcacab2c;bcaabc2 bcaabc2b;cababc2 cababc2a.以上三式相加得:2bcacababc2(abc),即bcacababcabc.【训练 2】证明 a0,b0,c0,且 abc1,1a1b1cabcaabcbabcc3bacaabcbacbc3baabcaaccbbc 32229,当且仅当 abc13时,取等号 解析 若对任意 x0,xx23x1a 恒成立,只需求得 yxx23x1的最大值即可,因为 x0,
12、所以 yxx23x11x1x312 x1x15,当且仅当 x1 时取等号,所以a 的取值范围是15,答案 15,【训练 3】解析 由 x0,y0,xyx2y2 2xy,得 xy8,于是由 m2xy恒成立,得 m28,m10,故 m 的最大值为 10.答案 10 例 3解 由题意可得,造价 y3(2x15012x400)5 800900 x16x5 800(0 x5),则 y900 x16x5 8009002x16x5 80013 000(元),当且仅当 x16x,即 x4 时取等号故当侧面的长度为4 米时,总造价最低【试一试】尝试解答 a21ab1a aba2abab1ab1a aba(ab)
13、1a abab1ab2 a ab 1a ab2 ab1ab224.当且仅当 a(ab)1a ab且 ab1ab,即 a2b 时,等号成立答案 D 大小值问题知识梳理一基本不等式基本不等式成立的条件等号成立的条件当且仅当时取等号其中称为正数的算术平均数称为正数的二基本不等式的变形当且仅当时取等号当且仅当时取等号当且仅当时取等号当且仅当时取等号同号当如果和和为定值是定值那么当且仅当时积有最值是简记和定积最大一基础练习函数的值域为优秀教案欢迎下载下列不等式其中正确的个数是若且则的最大值为重庆若函数在处取最小值则已知则函数的最小值为考向一利用基本不等式则最小值为设且则的最小值为若满足则最小值为已知则最
14、小值为考向二利用基本不等式证明不等式例已知求证优秀教案欢迎下载训练已知且求证考向三利用基本不等式解决恒成立问题例山东若对任意恒成立则的取值范围是训练已知优秀教案 欢迎下载 课后巩固练习 1.D a0,b0,且 2abab,abb20,解得 b2.则 a2bbb22b12b22(b2)45 22b2 2(b2)9,当且仅当 b3,a3 时取等号,其最小值为 9.2.C x2 时,yloga111,函数 yloga(x3)1(a0,a1)的图象恒过定点(2,1),即 A(2,1),点 A在直线 mxny10 上,2mn10,即 2mn1,m0,n0,1m2n2mnm4m2nn2nm4mn24 2n
15、m4mn8,当且仅当 m14,n12时取等号.故选 C.3.B 由 f(x)0 得 32x(k1)3x20,解得 k13x23x,而 3x23x2 2(当且仅当 3x23x,即 xlog32时,等号成立),k12 2,即 k2 21.4.32 2直线 l 在 x 轴上的截距为 a,在 y 轴上的截距为 b.求直线 l 在 x 轴和 y 轴上的截距之和的最小值即求 ab 的最小值.由直线 l 经过点(1,2)得1a2b1.于是 ab(ab)1(ab)1a2b3ba2ab,因为ba2ab2ba2ab2 2当且仅当ba2ab时取等号.所以 ab3 2 2.大小值问题知识梳理一基本不等式基本不等式成立的条件等号成立的条件当且仅当时取等号其中称为正数的算术平均数称为正数的二基本不等式的变形当且仅当时取等号当且仅当时取等号当且仅当时取等号当且仅当时取等号同号当如果和和为定值是定值那么当且仅当时积有最值是简记和定积最大一基础练习函数的值域为优秀教案欢迎下载下列不等式其中正确的个数是若且则的最大值为重庆若函数在处取最小值则已知则函数的最小值为考向一利用基本不等式则最小值为设且则的最小值为若满足则最小值为已知则最小值为考向二利用基本不等式证明不等式例已知求证优秀教案欢迎下载训练已知且求证考向三利用基本不等式解决恒成立问题例山东若对任意恒成立则的取值范围是训练已知
限制150内