线性规划常见题型及解法+均值不等式专题_中学教育-高考.pdf
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1、学习必备 欢迎下载 线 性规 划常见 题型及 解法 一基础知识:(一)二元一次不等式表示的区域 二元一次不等式0CByAx表示直线0CByAx某一侧的所有点组成的区域,把直线画成虚线表示不包括边界,0CByAx所表示的区域应包括边界,故边界要画成实线.由于在直线0CByAx同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入CByAx,所得的符号相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(0,0yx),从CByAx00的正负即可判断0CByAx表示直线哪一侧的平面区域。通常代特殊点(0,0)。(二)线性规划(1)不等式组是一组对变量x、y的约束条件,由于这组约束条件都是关于x、y的一次不等式,所
2、以又可称其为线性约束条件.z=Ax+By是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式,我们把它称为目标函数.由于z=Ax+By又是关于x、y的一次解析式,所以又可叫做线性目标函数.另外注意:线性约束条件除了用一次不等式表示外,也可用一次方程表示.(2)一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题.(3)那么,满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解,由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中,可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解(11,yx)和(22,yx)分别使目标函数取得最大值和最小值,它们都叫做这个问题的最优解.线性目标函数的最值常在
3、可行域的顶点处取得;而求最优整数解必须首先要看它们是否在可行(4)用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤:1.首先,要根据线性约束条件画出可行域(即画出不等式组所表示的公共区域).学习必备 欢迎下载 2.设z=0,画出直线l0.3.观察、分析,平移直线l0,从而找到最优解.4.最后求得目标函数的最大值及最小值.(5)利用线性规划研究实际问题的解题思路:首先,应准确建立数学模型,即根据题意找出约束条件,确定线性目标函数.然后,用图解法求得数学模型的解,即画出可行域,在可行域内求得使目标函数取得最值的解.最后,还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解,即结合实际情况求得最优解.线 性 规
4、 划 是 新 教 材 中 新 增 的 内 容 之 一,由 已 知 条 件 写 出 约 束 条 件,并 作 出 可 行 域,进 而 通过 平 移 直 线 在 可 行 域 内 求 线 性 目 标 函 数 的 最 优 解 是 最 常 见 的 题 型,除 此 之 外,还 有 以 下 常 见 题型。一、求 线 性 目 标 函 数 的 取 值 范 围 例 1、若 x、y 满 足 约 束 条 件222xyxy ,则 z=x+2y 的 取 值 范 围 是 ()A、2,6 B、2,5 C、3,6 D、(3,5 二、求 可 行 域 的 面 积 例 2、不 等 式 组260302xyxyy 表 示 的 平 面 区
5、域 的 面 积 为 ()A、4 B、1 C、5 D、无 穷 大 三、求 可 行 域 中 整 点 个 数 例 3、满 足|x|y|2 的 点(x,y)中 整 点(横 纵 坐 标 都 是 整 数)有()A、9 个 B、10 个 C、13 个 D、14 个 四、求 线 性 目 标 函 数 中 参 数 的 取 值 范 围 例 4、已 知 x、y 满 足 以 下 约 束 条 件5503xyxyx ,使 z=x+a y(a0)取 得 最 小 值 的 最 优 解 有 无 数个,则 a 的 值 为 ()A、3 B、3 C、1 D、1 五、求 非 线 性 目 标 函 数 的 最 值 一侧的所有点组成的区域把直线
6、画成虚线表示不包括边界所表示的区域应包括边界故边界要画成实线由于在直线同一侧的所有点把它的坐标代入所得的符号相同所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点从的正负即可判断表示直线哪等式所以又可称其为线性约束条件是欲达到最大值或最小值所涉及的变量的解析式我们把它称为目标函数由于又是关于的一次解析式所以又可做线性目标函数另外注意线性约束条件除了用一次不等式表示外也可用一次方程表示一般可行解由所有可行解组成的集合做可行域在上述问题中可行域就是阴影部分表示的三角形区域其中可行解和分别使目标函数取得最大值和最小值它们都做这个问题的最优解线性目标函数的最值常在可行域的顶点处取得而求最优整数学习必备 欢迎下载 例
7、5、已 知x、y满 足 以 下 约 束 条 件220240330 xyxyxy ,则z=x2+y2的 最 大 值 和 最 小 值 分 别 是 ()A、13,1 B、13,2 C、13,45 D、13,2 55 六、求 约 束 条 件 中 参 数 的 取 值 范 围 例 6、已 知|2x y m|3 表 示 的 平 面 区 域 包 含 点(0,0)和(1,1),则 m 的 取 值 范 围 是 ()A、(-3,6)B、(0,6)C、(0,3)D、(-3,3)七、线性规划的实际应用 在科学研究、工程设计、经济管理等方面,我们都会碰到最优化决策的实际问题,而解决这类问题的理论基础是线性规划。利用线性规
8、划研究的问题,大致可归纳为两种类型:第一种类型是给定一定数量的人力、物力资源,问怎样安排运用这些资源,能使完成的任务量最大,的效益最大,第二种类型是给定一项任务,问怎样统筹安排,能使完成这项任务的人力、物力资源量最小。例 1、某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品,现有两种木料,第一种有 72m3,第二种有 56m3,假设生产每种产品都需要用两种木料,生产一只圆桌和一个衣柜分别所需木料如下表所示.每生产一只圆桌可获利 6 元,生产一个衣柜可获利 10 元.木器厂在现有木料条件下,圆桌和衣柜各生产多少,才使获得利润最多?产 品 木料(单位m3)第 一 种 第 二 种 圆 桌 0.18 0.08 衣 柜
9、0.09 0.28 一侧的所有点组成的区域把直线画成虚线表示不包括边界所表示的区域应包括边界故边界要画成实线由于在直线同一侧的所有点把它的坐标代入所得的符号相同所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点从的正负即可判断表示直线哪等式所以又可称其为线性约束条件是欲达到最大值或最小值所涉及的变量的解析式我们把它称为目标函数由于又是关于的一次解析式所以又可做线性目标函数另外注意线性约束条件除了用一次不等式表示外也可用一次方程表示一般可行解由所有可行解组成的集合做可行域在上述问题中可行域就是阴影部分表示的三角形区域其中可行解和分别使目标函数取得最大值和最小值它们都做这个问题的最优解线性目标函数的最值常在可行
10、域的顶点处取得而求最优整数学习必备 欢迎下载 2.线性规划问题的一般数学模型是:已知nmnmnnmmmmbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111(这n个式子中的“”也可以是“”或“=”号)其中aij(i=1,2,n,j=1,2,m),bi(i=1,2,n)都是常量,xj(j=1,2,m)是非负变量,求z=c1x1+c2x2+cmxm的最大值或最小值,这里cj(j=1,2,m)是常量.(3)线性规划的理论和方法主要在以下两类问题中得到应用:一是在人力、物力资金等资源一定的条件下,如何使用它们来完成最多的任务;二是给一项任务,如何合理安排和规划,能以最少的
11、人力、物力、资金等资源来完成该项任务.线性规划中整点最优解的求解策略 在工程设计、经营管理等活动中,经常会碰到最优化决策的实际问题,而解决此类问题一般以线性规划为其重要的理论基础。然而在实际问题中,最优解(x,y)通常要满足 x,y N,这种最优解称为整点最优解,下面通过具体例子谈谈如何求整点最优解.1平移找解法 作出可行域后,先打网格,描出整点,然后平移直线l,直线l最先经过或最后经过的那个整点便是整点最优解.例 1、某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品,现有两种木料,第一种有 72m3,第二种有 56m3,假设生产每种产品都需要用两种木料,生产一只圆桌和一个衣柜分别所需木料如下表所示.每生产一只
12、圆桌可获利 6 元,生产一个衣柜可获利 10 元.木器厂在现有木料条件下,圆桌和衣柜各生产多少,才使获得利润最多?产 品 木料(单位m3)第 一 种 第 二 种 圆 桌 0.18 0.08 衣 柜 0.09 0.28 例 2 有一批钢管,长度都是 4000mm,要截成 500mm和 600mm两种毛坯,且这两种毛坯按数量比不小于31配套,怎样截最合理?一侧的所有点组成的区域把直线画成虚线表示不包括边界所表示的区域应包括边界故边界要画成实线由于在直线同一侧的所有点把它的坐标代入所得的符号相同所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点从的正负即可判断表示直线哪等式所以又可称其为线性约束条件是欲达到最大值
13、或最小值所涉及的变量的解析式我们把它称为目标函数由于又是关于的一次解析式所以又可做线性目标函数另外注意线性约束条件除了用一次不等式表示外也可用一次方程表示一般可行解由所有可行解组成的集合做可行域在上述问题中可行域就是阴影部分表示的三角形区域其中可行解和分别使目标函数取得最大值和最小值它们都做这个问题的最优解线性目标函数的最值常在可行域的顶点处取得而求最优整数学习必备 欢迎下载 解:设截 500mm的钢管 x 根,600mm的 y 根,总数为 z 根。根据题意,得,目标函数为,作出如图所示的可行域内的整点,作一组平行直线 x+y=t,经过可行域内的点且和原点距离最远的直线为过 B(8,0)的直线
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