线性代数复习 (1).docx
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1、第一章 行列式一、二阶行列式abcd=ad-bc, 对角线法则例1 1324=14-32=-2例2 21-12=22-1-1=5例3 如果131k=1, 则k= .解: 131k=1k-31=k-3即有k-3=1, 故有k=4. 二、三阶行列式abcdefghi=aei+bfg+cdh-afh-bdi-ceg例4 1-1211123-1=11-1+-112+213-113-11-1-212=-1+-2+6-3-1-4=-5. 对角线法则只适合计算二阶和三阶行列式.三、余子式和代数余子式1、元素aij的余子式例5 a11a12a13a21a22a23a31a32a33中元素a21的余子式为M21
2、=a12a13a32a33, 即就是划去元素a21所在的行和所在的列中的元素, 乘余的元素按原位置构成的行列式.又如元素a33的余子式为M33=a11a12a21a22.2、元素aij的代数余子式例6 上例中元素a21的代数余子式为A21=-12+1M21例7 行列式1-104-5-3236中, 元素-3的余子式为M23=1-123=13-12=5,元素-3的代数余子式为A23=-12+3M23=-15=-5.四、行列式按行(列)展开行列式D等于它的某一行(列)所有元素与它们的代数余子式乘积之和. 例8 计算行式D=310-12-123-140-20005.解 因为第四行中有三个零元素,可按第
3、四行展开,得D=5-14+43102-12-140对上面计算得到的三阶行列式,再按第三列展开,得D=52-12+331-14=-1034-1-1=-1013=-130练习: 计算1234234134124123=160.练习: 已知a1a2a3a4a2a2a4a5a3a2a5a6a4a2a6a7, 求A13+A23+A33+A43.A13+A23+A33+A43=a1a21a4a2a21a5a3a21a6a4a21a7=0练习:D=304022220-70053-22, 求第四行元素的余子式之和.提示: 将余子式转化为代数余子式.M41+M42+M43+M44=-A41+A42-A43+A44
4、=304022220-700-11-11=-28.五、行列式的性质性质1: 行列式与它的转置行列式相等.D=1234=-2, 转置行列式DT=1324=-2性质2: 行列式互换两行(列), 行列式变号.132213321=-213132321推论: 行列式中有两行(列)的元素对应相同,则此行列式为零.132132456=0性质3: 行列式某一行(列)中所有元素的公因子,可以提到行列式符号的外面.236428213=2236214213=22136114113例9 已知a11a12a13a21a22a23a31a32a33=1,则 a112a12-3a13a212a22-3a23a312a32-
5、3a33=2-3a11a12a13a21a22a23a31a32a33=-6 a112a12+2a11-3a132a214a22+4a21-6a23a312a32+2a31-3a33=-12.性质4: 行列式中若有两行(列)元素成比例,则此行列式值为零.123246352=2123123352=0性质5: abc+de+f=abce+abdf性质6: 将行列式的某一行(列)的所有元素都乘以数K后加到另一行(列)对应位置的元素上,行列式的值不变.例如, 1234=123+144+24=12712=-2例10: 计算行列式D=701410123-1-1070-2-5.解: 按第二列展开,得D=-1
6、-13+27141127-2-5=7141127-2-5对上面得到的三阶行列式, 先把第二行元素的-1倍加到第一行上, 得D=7-11-14-21127-2-5=6021127-2-5再把第二行的2倍加到第三行上,得D=6021127-2-5=60211290-1按第二列展开,得D=1-12+2629-1=-6-18=-24例11. 下列与行列式abcd的值相等的是( D )(A) -acbd(B) cdab(C) 2a2cbd(D) abc+2ad+2b例12 关于行列式的性质叙述, 错误的是( B )(A) 行列式等于它的转置行列式(B) 行列式互换两行, 行列式的值不变(C) 行列式的某
7、行所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面(D) 行列式如果有两行元素完全相同, 行列式的值为0. 练习: 计算a100b10a2b200b3a30b400a4=(a2a3-b2b3)(a1a4-b1b4).提示: 按照第一行展开, 再计算.练习: 计算1-11x-11-1x+1-11x-11-1x+1-11-1=x4.提示: 将第2,3,4列加到第1列上, 再计算. 练习: 求5阶行列式中包含因子a13a25的并带负号的所有项.所有项:-a13a25a31a42a54, a13a25a32a41a54, a13a25a34a42a51,-a13a25a34a41a52, a13a25a31a
8、52a44, -a13a25a32a44a51,练习:计算 D=123410123-1-10120-5=12340-2-2-20-7-10-1200-3-9=-24.第二章 矩阵及其运算一. 矩阵概念 m行n列的数表, A=Amn=aijmn1. 几种特殊矩阵(1) 方阵: 行数与列数相同的矩阵abcdefghi是一个3阶矩阵. (2) 单位矩阵E=100010001就是一个三阶单位矩阵(3) 对角阵,方阵a000b000c, 记作diag(a,b,c)2. 矩阵的同型: 两个矩阵行数相同, 列数也相同. 矩阵相等: 矩阵A与B相等是指, 两个矩阵的行数一样, 列数也一样, 并且对应位置的元素
9、相等,例1 矩阵A=1x2y34与矩阵B=z32534相等, 则x=3, y=5, z=1.二. 矩阵的运算1. 矩阵的加法和减法abcdef123456=a1b2c3d4e5f62. 数与矩阵的乘法kabcdef=kakbkckdkekf3. 矩阵与矩阵的乘法AmsBsn=Cmn123456abcdef=a+2c+3eb+2d+3f4a+5c+6e4b+5d+6f运算规律:(1) 不满足交换律 ABBAA=1-123, B=1324AB=-1-1818, BA=781010, ABBA.A34B42存在, B42A34不存在.(2) ABC=ABC=ABC(AC)B(3) AB+C=AB+A
10、C; B+CA=BA+CA(4) (A)B=A(B)*方阵的幂Ak=AAAk个满足的运算规律:AmAn=Am+n; (Am)n=Amn不满足的:AkBkABk4. 矩阵的转置A=123456, AT=142536.运算规律:(1) ATT=A;(2) A+BT=AT+BT;(3) AT=AT(4) ABT=BTAT.对称矩阵: A为n阶方阵, 且满足AT=A. 例如1-2-1-230-100练习: 设A=12-20-11, B=13-2021-114, 求ATB-2AT.ATB-2AT=1-2-120113-2021-114-21-2-1201=2-2-8170-2-4-2402=02-6-3
11、7-2.5. 方阵的行列式A=123045006, A=123045006=24.运算规律(A,B为n阶方阵, 为数):(1) AT=|A|;(2) A=n|A|;(3) AB=AB=|BA|.A=2a2b2c2d2e2f2g2h2i, A=222abcdefghi练习: 设A是3阶矩阵, 2A=23A=16, 则A=2练习: 设A是3阶矩阵, 且A=2, 则2A3=? 2A3=8AAA=8A3=64.伴随矩阵:行列式|A|的各元素的代数余子式所构成的如下矩阵:A=a11a12a1na21a22a2nan1an2ann,A*=A11A21An1A12A22An2A1nA2nAnn伴随矩阵满足性
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