数学三角函数图像.pdf
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1、 第 1 页 共 13 页 三角函数 一、知识梳理 1.正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:2.周期函数定义:对于函数()f x,如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,()()f x T f x 都成立,那么就把函数()f x叫做周期函数,不为零的常数T叫做这个函数的周期.结论:如果函数)()(k x f k x f 对于R x 任意的,那么函数()f x的周期 T=2k;数学三角函数图像 第 2 页 共 13 页 如果函数)()(x k f k x f 对于R x 任意的,那么函数()f x的对称轴是kx k k xx 2)()(3.图象的平移 对函数 y Asi
2、n(x)k(A0,0,0,k0),其图象的基本变换有:(1)振幅变换(纵向伸缩变换):是由 A的变化引起的.A 1,伸长;A 1,缩短.(2)周期变换(横向伸缩变换):是由 的变化引起的.1,缩短;1,伸长.(3)相位变换(横向平移变换):是由 的变化引起的.0,左移;0,右移.(4)上下平移(纵向平移变换):是由 k的变化引起的.k 0,上移;k 0,下移 二、方法归纳 1.求三角函数的值域的常用方法:化为求代数函数的值域;化为求sin()y A x B 的值域;化为关于sin x(或cos x)的二次函数式;2.三角函数的周期问题一般将函数式化为()y Af x(其中()f x为三角函数,
3、0)3.函数sin()y A x 为奇函数k()k Z;函数sin()y A x 为偶函数2k()k Z 函数cos()y A x 为偶函数k;函数cos()y A x 为奇函数2k()k Z 4.函数 sin()y A x(0,0)A 的单调增区间可由 2 22 2k x k()k Z 解出,单调减区间可由32 22 2k x k()k Z解出;函数 sin()y A x(0,0)A 的单调增区间可由32 22 2k x k()k Z 解出,单调减区间可由2 22 2k x k()k Z解出.5.对称性:(1)函数sin()y A x 对称轴可由2x k()k Z解出;对称中心的横坐标是方程
4、x k()k Z 的解,对称中心的纵坐标为0.(即整体代换法)(2)函数 cos y A x 对称轴可由 x k()k Z解出;对称中心的横坐标是方程2x k()k Z 的解,对称中心的纵坐标为0.(即整体代换法)第 3 页 共 13 页(3)函数 tan y A x 对称中心的横坐标可由2kx()k Z解出,对称中心的纵坐标为0,函数 tan y x 不具有轴对称性.三、课堂例题精讲 例 1.下列函数中,周期为2的是()A.sin2xy B.sin 2 y x C.cos4xy D.cos 4 y x 答案:D 例 2.已知函数()sin(0)f x x 的最小正周期为,则该函数的图象()A
5、.关于点0,对称 B.关于直线x对称 C.关于点0,对称 D.关于直线x对称 答案:A.解析:由题意知 2,所以解析式为 sin 23f x x,经验证可知它的一个对称中心为,03.例 3.函数 的最小正周期和最大值分别为()A.,1 B.,2 C.2,1 D.2,2 答案:A.解析:x x x x x y 2 cos232 sin212 cos212 cos232 sin,T=,ymax=1 例 4.函数()sin 3 cos(0)f x x x x,的单调递增区间是()A.56,B.5 6 6,C.03,D.06,答案:D.解析:因为 3sin 2)(x x f,第 4 页 共 13 页.
6、0,6656,0),(65262),(223 22符合题意 由此可得得 令得令 x kk k x kk k x kZZ 例 5.将 6 3cos 2xy的图象按向量 a=2,4平移,则平移后所得图象的解析式为()A.24 3cos 2 xy B.24 3cos 2 xy C.212 3cos 2 xy D.212 3cos 2 xy 答案:A.解析:看向量 a=2,4的数据“符号”,指令图象左移和下移,按“同旁相减,异旁相加”的口诀,立可否定 B、C、D.例 6.函数sin y x 的一个单调增区间是()A.,B.3,C.,D.32,答案:C 解析:法一:函数sin y x 的一个单调递增区间
7、为2,0,又函数sin y x 是以 为周期的函数,函数sin y x 的单调递增区间为 2,k k(k Z).当 k=1时,函数sin y x 的一个单调增区间为23,.故选 C.法二:作出函数sin y x 的图象,由图易知sin y x 的一个单调增区间为23,.故选 C.第 5 页 共 13 页 法三:将每个选择支中区间的两个端点值代入函数表达式,A、B两个选择支的端点值相等,而选择支 D的左端点值大于右端点值,所以根据单调递增的概念判断,可排除 A、B、D,故选 C.例 7.函数sin()y A x(,A 为常数,0,0 A)在闭区间,0 上的图象如图所示,则=.答案:=3 例 8.
8、已知函数 3sin 06f x x 和 2cos 2 1 g x x 的图象的对称轴完全相同.若0,2x,则 f x 的取值范围是.答案:3-,32 解析:由题意知,2,因为 0,2x,所以52,6 6 6x,由三角函数图象知:f x 的最小值为33sin(-)=-6 2,最大值为3sin=32,所以 f x 的取值范围是3-,32.例 9.定义在区间 20,上的函数 y=6cosx的图象与 y=5tanx的图象的交点为 P,过点 P作 PP1 x轴于点P1,直线 PP1与 y=sinx的图象交于点 P2,则线段 P1P2的长为.答案:23 解析“线段 P1P2的长即为 sinx的值,且其中的
9、 x满足 6cosx=5tanx,解得 sinx=23.故线段 P1P2的长为23.第 6 页 共 13 页 例 10.设函数()f x a b,其中向量(cos2)m x,a,(1 sin 2 1)x,b,x R,且()y f x 的图象经过点24,.()求实数 m的值;()求函数()f x 的最小值及此时x值的集合.解析:()()(1 sin 2)cos 2 f x a b m x x,由已知 1 sin cos 24 2 2f m,得1 m.()由()得()1 sin 2 cos 2 1 2 sin 24f x x x x,当sin 2 14x 时,()f x的最小值为1 2,由sin
10、2 14x,得x值的集合为38x x k k Z,.例 11.已知函数()sin(),(0,0)f x x 是 R上的偶函数,其图象关于点 M)0,43(对称,且在区间 0,2上是单调函数,求和的值.解析:由)(x f是偶函数,得)()(x f x f,故sin()sin()x x,cos sin cos sin x x 对任意 x都成立,且0,cos 0.依题设 0,cos.2 由)(x f的图象关于点 M对称,得)43()43(x f x f 取0)43(),43()43(0 f f f x 得 0)43cos(),43cos()2 43sin()43(x x xf 又0,得.2,1,0,
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