高中数学常考题型:简单的线性规划问题中学教育高中教育_中学教育-高中教育.pdf
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1、学习必备 欢迎下载 简单的线性规划问题【知识梳理】线性规划的有关概念 名称 意义 约束条件 变量 x,y 满足的一组条件 线性约束条件 由 x,y 的二元一次不等式(或方程)组成的不等式组 目标函数 欲求最大值或最小值所涉及的变量 x,y 的解析式 线性目标函数 目标函数是关于 x,y 的二元一次解析式 可行解 满足线性约束条件的解(x,y)可行域 所有可行解组成的集合 最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 线性规划问题 在线性约束条件下,求线性目标函数的最大值或最小值问题【常考题型】题型一、求线性目标函数的最值【例 1】设变量 x,y 满足约束条件 x2y2,2xy4,4xy1,则目
2、标函数 z3xy 的取值范围是()A.32,6 B.32,1 C1,6 D6,32 解析 约束条件 x2y2,2xy4,4xy1所表示的平面区域如图阴影部分,直线 y3xz 斜率为3.学习必备 欢迎下载 由图象知当直线 y3xz 经过 A(2,0)时,z 取最大值 6,当直线 y3xz 经过 B12,3 时,z 取最小值32,z3xy 的取值范围为32,6,故选 A.答案 A【类题通法】解线性规划问题的关键是准确地作出可行域,正确理解 z 的几何意义,对一个封闭图形而言,最优解一般在可行域的边界上取得在解题中也可由此快速找到最大值点或最小值点【对点训练】1设 z2xy,变量 x、y 满足条件
3、x4y3,3x5y25,x1,求 z 的最大值和最小值 解 作出不等式组表示的平面区域,即可行域,如图所示把 z2xy 变形为 y2xz,则得到斜率为2,在 y 轴上的截距为 z,且随 z 变化的一组平行直线由图可以看出,当直线 z2xy 经过可行域上的点 A时,截距 z 最大,经过点 B 时,截距 z 最小 解方程组 x4y30,3x5y250,得 A点坐标为(5,2),约束条件由的二元一次不等式或方程组成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值所涉及的变量的解析式线性目标函数目标函数是关于的二元一次解析式可行解可行域最优解满足线性约束条件的解所有可行解组成的集合使目标函数型一求线性目标函数的最
4、值例设变量满足约束条件则目标函数的取值范围是解析约束条件所表示的平面区域如图阴影部分直线斜率为学习必备欢迎下载由图象知当直线经过时取最大值当直线经过时取最小值的取值范围为故选答案类的边界上取得在解题中也可由此快速找到最大值点或最小值点对点训练设变量满足条件求的最大值和最小值解作出不等式组表示的平面区域即可行域如图所示变形为则得到斜率为在轴上的截距为且随变化的一组平行直线由图可以看学习必备 欢迎下载 解方程组 x1,x4y30,得 B 点坐标为(1,1),z最大值25212,z最小值2113.题型二、求非线性目标函数的最值【例 2】设 x,y 满足条件 xy50,xy0,x3.(1)求 ux2y
5、2的最大值与最小值;(2)求 vyx5的最大值与最小值 解 画出满足条件的可行域如图所示,(1)x2y2u 表示一组同心圆(圆心为原点 O),且对同一圆上的点 x2y2的值都相等,由图可知:当(x,y)在可行域内取值时,当且仅当圆 O 过 C 点时,u 最大,过(0,0)时,u 最小又C(3,8),所以 u最大值73,u最小值0.(2)vyx5表示可行域内的点 P(x,y)到定点 D(5,0)的斜率,由图可知,kBD最大,kCD最小,又 C(3,8),B(3,3),所以 v最大值33532,v最小值8354.【类题通法】非线性目标函数最值问题的求解方法(1)非线性目标函数最值问题,要充分理解非
6、线性目标函数的几何意义,诸如两点间的距离(或平方),点到直线的距离,过已知两点的直线斜率等,充分利用数形结合知识解题,能起到约束条件由的二元一次不等式或方程组成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值所涉及的变量的解析式线性目标函数目标函数是关于的二元一次解析式可行解可行域最优解满足线性约束条件的解所有可行解组成的集合使目标函数型一求线性目标函数的最值例设变量满足约束条件则目标函数的取值范围是解析约束条件所表示的平面区域如图阴影部分直线斜率为学习必备欢迎下载由图象知当直线经过时取最大值当直线经过时取最小值的取值范围为故选答案类的边界上取得在解题中也可由此快速找到最大值点或最小值点对点训练设变量满足
7、条件求的最大值和最小值解作出不等式组表示的平面区域即可行域如图所示变形为则得到斜率为在轴上的截距为且随变化的一组平行直线由图可以看学习必备 欢迎下载 事半功倍的效果(2)常见代数式的几何意义主要有:x2y2表示点(x,y)与原点(0,0)的距离;xa2 yb2表示点(x,y)与点(a,b)的距离 yx表示点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率;ybxa表示点(x,y)与点(a,b)连线的斜率这些代数式的几何意义能使所求问题得以转化,往往是解决问题的关键【对点训练】2已知变量 x,y 满足约束条件 xy20,x1,xy70.则yx的最大值是_,最小值是_ 解析 由约束条件作出可行域(如图所示),
8、目标函数 zyx表示坐标(x,y)与原点(0,0)连线的斜率由图可知,点 C 与 O 连线斜率最大;B 与 O 连线斜率最小,又 B 点坐标为(52,92),C 点坐标为(1,6),所以 kOB95,kOC6.故yx的最大值为 6,最小值为95.答案 6 95 题型三、已知目标函数的最值求参数【例 3】若实数 x,y 满足不等式组 x20,y10,x2ya0,目标函数 tx2y 的最大值为 2,则实数 a 的值是_ 解析 如右图,约束条件由的二元一次不等式或方程组成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值所涉及的变量的解析式线性目标函数目标函数是关于的二元一次解析式可行解可行域最优解满足线性约束条
9、件的解所有可行解组成的集合使目标函数型一求线性目标函数的最值例设变量满足约束条件则目标函数的取值范围是解析约束条件所表示的平面区域如图阴影部分直线斜率为学习必备欢迎下载由图象知当直线经过时取最大值当直线经过时取最小值的取值范围为故选答案类的边界上取得在解题中也可由此快速找到最大值点或最小值点对点训练设变量满足条件求的最大值和最小值解作出不等式组表示的平面区域即可行域如图所示变形为则得到斜率为在轴上的截距为且随变化的一组平行直线由图可以看学习必备 欢迎下载 由 x2,x2ya0.得 x2,ya22,代入 x2y2 中,解得 a2.答案 2【类题通法】求约束条件或目标函数中的参数的取值范围问题 解
10、答此类问题必须明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得,运用数形结合的思想、方法求解同时要搞清目标函数的几何意义【对点训练】3已知 x,y 满足 xy50,x3,xyk0.且 z2x4y 的最小值为6,则常数 k()A2 B9 C3 10 D0 解析 选 D 由题意知,当直线 z2x4y 经过直线 x3 与 xyk0 的交点(3,3k)时,z 最小,所以6234(3k),解得 k0.题型四、简单的线性规划问题的实际应用【例 4】某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过 300 分钟的广告,广告总费用不超过 9 万元,甲、乙电视台的广告收费标准分别为 500 元/分钟和 200 元/
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