2022年第39届全国中学生物理竞赛复赛试题和答案.docx
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1、第5页,共4页第39届全国中学生物理竞赛复赛试题(2022 年 9 月 17 日上午 9:00-12:00)考生必读1、考生考试前请务必认真阅读本须知。2、本试题共7道题,4页,总分为320分。3、如遇试题印刷不清楚情况,请务必向监考老师提出。4、需要阅卷老师评阅的内容一定要写在答题纸上;写在试题纸和草稿纸上的解答一律不能得分。一、(40分)迈克尔逊干涉仪是光学干涉仪中最常见的一种,发明者是美国物理学家阿尔伯特亚伯拉罕迈克尔逊。 最初设计迈克尔逊干涉仪的目的是为测量“以太”(假想的传播光的媒质)的漂移速度,目前它广泛应用于精密测 量。迈克尔逊干涉仪的光路图如图la所示:图1b照明光为单色激光,
2、入射光经过半反半透的镜子分为沿干涉仪的两个臂(反射臂和透射臂)传播的两束光。半反半 透镜与入射光轴方向之间的夹角为45。,反射臂和透射臂相互垂直。在两个臂端上各放置与相应的臂垂直的反射镜, 反射镜可以沿臂的方向移动。反射和透射光线经反射镜反射,再次经过半反半透镜透射和反射,两束光在空间重叠, 发生干涉。如果照明光为发散光源,我们观察到的干涉条纹为同心圆环。半反半透镜是在一个平整的石英基板上蒸 镀一层薄金属膜制成,迈克尔逊干涉仪中参与叠加的两束光都经过半反半透镜的反射,一束光是在石英和金属界面 上的反射,另一束光是在空气和金属界面上的反射。因为反射界面不同,所以两束光反射时相位突变不同,两者的
3、差异为八平,下面我们通过实验测量八平。开始时,观察到干涉场中心是亮斑,干涉场最外侧是亮圆环,一共20个 亮条纹(计及中心亮斑)。现在缓慢调节一个臂的反射镜,让反射镜沿臂的方向平移,观察到干涉条纹发生明暗变 化,并发现同心圆环条纹越来越稀疏。干涉场中心明暗变化了 23个周期,干涉场最外侧的明暗变化了 20个周期。(本题中,条纹数目均视为精确计数值,干涉仪两臂的长度在cm量级。)(1)求相位突变差异八平O(2)反射镜移动后,可以观察到多少个干涉亮条纹(计及中心亮斑)?(3)使用此干涉仪测量某一透明液体的折射率,将扁平的石英空槽插入迈克尔逊干涉仪的一个臂,使得石英槽的 表面与臂的方向垂直。然后调节石
4、英槽与臂之间的夹角,使之改变0=5.00;在角度改变过程中,干涉场中心明暗 变化了 10个周期。现将待测液体注入石英槽,如图lb所示。再次调节石英槽的倾斜角度,使其恢复到与臂垂直, 在此过程中,干涉场中心明暗变化了 17个周期。己知照明光波长为633 nm,石英槽内壁间距为f = 2.00mm,空气 的折射率为1.00。求待测液体的折射率。二、(40分)某长直弹簧由涂了绝缘漆的磷铜细丝绕制N匝而成,可视为横截面半径为r的长直螺线管。弹簧原长 为匕(匕),劲度系数为上。假设在弹簧形变过程中,螺线管始终可视为均匀密绕的,其横截面半径的变化可忽 略。不计边缘效应、漏磁和重力。真空磁导率为pt o()
5、(1)用恒流源通过柔软导线对螺线管通以不变的电流匕,通电期间用外力使弹簧处处无形变。缓慢撤除外力后,弹簧达到新的平衡位置(但仍可压缩或拉伸),此时的长度记为(i)试导出可求解,的代数方程(但不必求解),并求通电弹簧在其平衡位置附近发生小幅度形变时的等效弹性 系数k (表达式中可以含有参量/ );cffp(ii)求能实现上述平衡状态的/的取值范围(表达式中不得含有参量/ )。()P(2)改变(1)问中的通电条件,如果弹簧螺线管两端先用电阻为零的柔软理想导线连接形成回路,并假设弹簧螺 线管电阻也为零,且在初始时回路己加载电流r,并用外力使弹簧处处无形变。缓慢撤除外力后,弹簧达到新的平()衡位置(但
6、仍可压缩或拉伸),此时的长度记为,试求,、以及通电弹簧在其平衡位置附近发生小幅度形变时的 等效弹性系数W Ocff三、(40分)如图3a,将质量为m、半径为R的匀质实心球从倾角为0的无限 厂大 V长固定斜面上发射,己知球心初速度垂直于斜面,大小为V,球初始的自转角速 A )度为零。为方便描述实心球此后的运动,在斜面参考系中建立如图3a所示的平*面直角坐标系,其中箕轴沿斜面向下,丫轴垂直于斜面向上。假设球与斜面的碰水平面撞是弹性的,碰撞时间极短,且碰撞前、后的瞬间球垂直于斜面的速度大小不变。-4,a ,图曲进一步假设斜面足够粗糙,以至于在球与斜面的碰撞过程中,其间摩擦力足够大、接触点无相对滑动。
7、己知球绕其直径的转动惯量为1 = %*求5(1)第1次碰撞前的球心速度和球的自转角速度;(2)第1次碰撞后的球心速度和球的自转角速度;(3)第次碰撞后球心沿着x轴方向的速度以及球的自转角速度;(4)前H次碰撞过程中斜面对球施加的总冲量。四、(60分)如图4a, 一根长度为2a、质量为的匀质刚性细杆,其一端有芸一小孔,嵌套在半径为r的水平圆环的p点处(P是圆环上的固定点);p点(连同杆)随圆环一起绕圆环中心轴以恒定角速度转动;同时,杆可绕p点!一无摩擦地转动,且杆和圆环矢径OP始终在同一竖直平面内;杆与竖直方向之图格间夹角为。-重力加速度大小为g。(1)将所有类型的保守力做功都与势能变化相联系,
8、试分别在实验室系L和在随矢径OP转动的转动参考系S中,写出杆的机械能表达式(表达式中可以含有。);(2)在S参考系中导出杆处于平衡位形时,e所需满足的条件;(3)在S参考系中,对于第(2)问中得到的结果,利用图解法分析。取值在1(0展兀/2)、II(n/2 9 n )、III (n 0 3n/2)和IV(3n/2 0 0)时刻的长度七(t)、 x (t)。2(3)记某一弹簧先被拉断的时刻为t,根据(2)中的结果,0(i)求使弹簧1必然先被拉断所对应的a取值范围;(ii)对于并非必然使弹簧1先被拉断的a取值,分析使弹簧1先被拉断的时刻t需满足的条件(表达式中可含0有a);(iii)求弹簧2先被拉
9、断的可能性与a取值大小的关系,并用此关系说明题述实验现象。(4)给定临界长度为L,要确保弹簧2先被拉断,试确定a需满足的关系式。有无可能两弹簧同时被拉断?若有, 试求出能让两弹簧同时达到临界长度L所对应的a满足的关系式。图6an( x )T (x) E (x)六、(分)金属内部有温度梯度时可以在其两端产生电动势,该效应被应用 于热电偶温度计等。为了分析此现象,现建立一个简单的经典玩具模型,如图 6a所示:一厚度为2L、沿着y、z方向无限延展的金属平板,位于-L x L区域为真空,电场为零。将金属内的导电电子视为在空间均匀 的正电荷背景上运动的经典理想气体。没有温度梯度时,呈电中性的金属内部 的
10、电子是完全均匀分布的,其数密度为n ;有温度梯度时,金属内的温度是的 0函数,T(x) = T +5T(x),且5T(x) T。在(局域)热平衡状态下,金属内 00所带电子数密度n(x) = n +5n(x)会略微偏离n,|5n(x) 0)。忽略重力,玻尔兹曼常量为kB。(1)粒子数密度n( x)的不均匀性会引起粒子的扩散。若在时间间隔dt内通过yz平面上面积为dA的粒子数为j dAdt,则j被称为粒子流密度。粒子扩散流密度j (x)满足斐克(Fick)定律 xxxj (x) = -D-n(x)*dx式中。是扩散系数D = cn( x)这里,C是已知常量。在平衡状态下,金属内部应该没有净的电流
11、,因此前述的电子扩散流会被内部电场产生的漂移电流抵消。为简化起见,设金属的电阻率P是与n(x)、T(x)等无关的已知常量。求金属板内部电场E (x)的表达 x式(用n(x)、T(x)、d n(x)和其他常量表出)。dx(2)试由静电场高斯定理导出E (x)满足的微分方程;并利用 的结果消去电场她1),导出满足的微分方x程和边界条件。真空介电常量为.,。(提示:净的电荷密度包含正电荷背景)(3)将(2)中方程线性化,即只保留Sn、ST等小量的线性项,解出5n(x)(解中可包含b和b)。+-(4)假设金属内存在温度梯度,即5T(x)不为零,但在任意x处电子气(可视为理想气体)处于局域热平衡;电子气
12、中的电子受到电场E (x)的作用,但厚度为dx的薄层内的电子气仍处于宏观的力学平衡状态。试导出5T(x)满足 x的微分方程,并将其线性化。再利用(3)的结果,求出5T(x)。(5)根据(3)和(4)的结果,求出金属两端(x = - L和x = + L)的电势差和温度差的比值(即金属的Seebeck系数s)s = U (L) - U (- L) T (L) - T (-L)附注:对金属温差电现象的正确分析必须考虑电子的量子效应,本题目中的简化经典模型并不适用于真实情况。七、(40分)欧洲核子研究中心的大型强子对撞机上进行了高能铅核-铅核碰撞的实验,碰撞后的初始产物可视为温 度很高的“火球”,其内
13、的物质主要由静止质量很小、速度极其接近于光速的夸克组成。本题忽略该物质中除夸克 外的其他组分,将其视为“夸克物质”并将夸克都近似视为质点,夸克之间除相互碰撞的瞬间外无相互作用,碰撞 过程中粒子数目守恒,其速度分布是各向同性的。已知温度为时,在任一动量大小区间p, p + dp 内,夸克物质E中能量为卜的夸克粒子的分布比率(概率分布密度)正比于e-kj4np2dp,其中玻尔兹曼常量:或理想气体普适常量,,:视为已知量。(1)试在本题模型近似下,导出夸克物质的状态方程(用压强P与能量密度平均值u之间的关系表出)。(2)试在本题模型近似下,导出夸克物质以压强、粒子数密度.,和温度;之间的关系表述的状
14、态方程。(3)试在本题模型近似下,求夸克物质的定体摩尔热容,和热容比:(定压摩尔热容与定体摩尔热容的比值)。(4)假设铅核-铅核碰撞的早期产物形成的“火球”近似为球形,半径约为3.0 x 10-15m,其中的夸克物质温度约为400 MeV/k。此后,“火球”迅速膨胀降温,至温度约为150 MeV/k时,夸克物质中的夸克开始被束缚在一起形 BB成质子和中子。假设“火球”的膨胀降温过程可近似为准静态的绝热过程,求出质子和中子刚刚形成时“火球”的半 径。第39届全国中学生物理竞赛复赛试题参考解答(2022 年 9 月 17 日 9:00-12:00)、(1)迈克尔逊干涉等效于薄膜干涉,照明光为发散光
15、束,反射镜与臂垂直,所以等效于等倾干涉。设开始时两个 臂的光学长度差为d,中心为亮条纹:2n 2d + A0 = 2知入其中k为整数。一共20个亮条纹,故对于干涉场最外侧的亮条纹:2 2d cos y +A = 2(k-19)nN入M其中Y为薄膜干涉的最大倾角,由式得: M2 2d(1-cosy ) = 19 x 2n入M2 a n2AdX移动反射镜,条纹变稀疏,说明两臂间光学长度差变小,设反射镜移动了 Ad。 中心的变化:=23x 2n 最外侧的变化:2 2AdcosY = 20x 2nXM于是得:2023 cosY = 和 Ad = XM 232 代入式得: 藉 2d 11 - 20 1
16、= 19 x 2nX I 23由此得:23 x 192 2d =X =145 X33 代入式: 辛| 1452X | + A9 = 2knX I 3 即: 145 x 2n + 2 x 2n + 甲=2kn3所以A平应该为:2 AW = 3 【注:因为光波函数以2n为周期,所以A9 = :+2k,兀(k为一整数)都算对】(2)反射镜移动后,中心为亮斑、干涉场最外侧为亮条纹,设一共有m条亮条纹,于是:ZJtc 2(d - )(! - cosy ) = (m- 1)2tt人、 八 W、,ODD由此得: m = 171 (3) 设液体的折射率为n,如解题图所示。图中,0、i分别是光线的入射 角、折射
17、角。由折射定律有 sin 0 = n sin i 当石英槽相对于与透射臂垂直方向改变0时,光线往返通过石英槽的光程在槽 内有、无液体两种情形下的值之差为:解题图iaL(0) = 2(n OA + AC - OB)sin 0 sin i ).tcos 0nt +1 cos iDDDDDDDDDDD2tn n sin2 icosi cosi1sin2 0cos 0 cos0I sin 0 - cos 0 cos i)26sin2 0=2ntJ2t cos 0DDDDDDDDDDDDD n 2AL(0) -AL(0) = 2nt I 1 -2t(1 - cos 0)=-人AN于是,上述光程差与0=
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- 2022 39 全国中学生 物理 竞赛 复赛 试题 答案
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