人教版初二数学下册正方形梯形知识点总结及例题中学教育中考_中学教育-初中教育.pdf
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1、1/20 正方形 一周强化 一、一周知识概述、正方形的定义与性质 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形 从定义可知,正方形既是一种特殊的矩形(有一组邻边相等的矩形),又是一种特殊的菱形(有一个角是直角的菱形),因此它具有矩形和菱形的所有性质 正方形被对角线分成的三角形,都是等腰直角三角形、正方形的判定 从平行四边形出发:有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 从矩形出发:有一组邻边相等的矩形是正方形 从菱形出发:有一个角是直角的菱形是正方形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系 2/20 正方形、矩形、菱形都是特殊的平行四边形,它们的包含关系如图 二、重难点知识归纳
2、 正方形的判定和性质的综合运用是重点 几种特殊的平行四边形的判定的恰当选择是难点 三、例题解析、利用正方形对角线的性质解题 例、如图,在正方形中,点、在上,且请猜测四边形的形状,并对你的猜测给出合理的说明 解:四边形为菱形理由如下:从定义可知正方形既是一种特殊的矩形有一组邻边相等的矩形又是一种特殊的菱形有一个角是直角的菱形因此它具有矩形和菱形的所有性质正方形被对角线分成的三角形都是等腰直角三角形正方形的判定从平行四边形出发有一组邻是直角的菱形是正方形平行四边形矩形菱形正方形的关系正方形矩形菱形都是特殊的平行四边形它们的包含关系如图二重难点知识归纳正方形的判定和性质的综合运用是重点几种特殊的平行
3、四边形的判定的恰当选择是难点三例题解四边形为菱形理由如下连结交于点四边形为正方形又四边形是平行四边形又四边形为菱形点拨正方形的对角线互相垂直平分且相等的性质会为解题带来很多方便例如图正方形的对角线交于点是上任一点于点交于点求证证明四边形为3/20 连结交于点 四边形为正方形,又,四边形是平行四边形又 四边形为菱形 点拨:正方形的对角线互相垂直平分且相等的性质,会为解题带来很多方便 例、如图,正方形的对角线交于点,是上任一点,于点,交于点求证:证明:四边形为正方形,对角线、互相垂直平分于点,即,又,点拨:从定义可知正方形既是一种特殊的矩形有一组邻边相等的矩形又是一种特殊的菱形有一个角是直角的菱形
4、因此它具有矩形和菱形的所有性质正方形被对角线分成的三角形都是等腰直角三角形正方形的判定从平行四边形出发有一组邻是直角的菱形是正方形平行四边形矩形菱形正方形的关系正方形矩形菱形都是特殊的平行四边形它们的包含关系如图二重难点知识归纳正方形的判定和性质的综合运用是重点几种特殊的平行四边形的判定的恰当选择是难点三例题解四边形为菱形理由如下连结交于点四边形为正方形又四边形是平行四边形又四边形为菱形点拨正方形的对角线互相垂直平分且相等的性质会为解题带来很多方便例如图正方形的对角线交于点是上任一点于点交于点求证证明四边形为4/20 这里主要是应用正方形对角线互相垂直平分来破题的、利用正方形的轴对称性解题 例
5、、如图,已知、分别是正方形的边、上的点,、分别与对角线相交于点、若,求的度数 解:在四边形中,()与、与均关于直线对称,又五边形内角和为,()()点拨:利用正方形的对称性作角和线段的转化十分快捷,如图中,等 从定义可知正方形既是一种特殊的矩形有一组邻边相等的矩形又是一种特殊的菱形有一个角是直角的菱形因此它具有矩形和菱形的所有性质正方形被对角线分成的三角形都是等腰直角三角形正方形的判定从平行四边形出发有一组邻是直角的菱形是正方形平行四边形矩形菱形正方形的关系正方形矩形菱形都是特殊的平行四边形它们的包含关系如图二重难点知识归纳正方形的判定和性质的综合运用是重点几种特殊的平行四边形的判定的恰当选择是
6、难点三例题解四边形为菱形理由如下连结交于点四边形为正方形又四边形是平行四边形又四边形为菱形点拨正方形的对角线互相垂直平分且相等的性质会为解题带来很多方便例如图正方形的对角线交于点是上任一点于点交于点求证证明四边形为5/20 例、已知,如图,在正方形中,点在上 解:()点在上,点、关于对称,()能用文字概括为“正方形一条对角线上的一点和另一条对角线的两端距离相等”()能证明:连结,由()可知,又,又,四边形是矩形,点拨:该题()的结论是一个常用到的正方形的性质,也可用对称的知识或证得到,在例中该图已经出现过;第()小题的证明思路是,抓住正方形是轴对称图形这一特点,把正方形沿对称轴翻折,使翻折到,
7、把要证转化为只要证,从而达到把分散的条件集中到一块的目的、利用旋转法解决有关正方形问题 例、如图,正方形的边长,为上一点,连结,作交的延长线于点,作交于点若,求的长 从定义可知正方形既是一种特殊的矩形有一组邻边相等的矩形又是一种特殊的菱形有一个角是直角的菱形因此它具有矩形和菱形的所有性质正方形被对角线分成的三角形都是等腰直角三角形正方形的判定从平行四边形出发有一组邻是直角的菱形是正方形平行四边形矩形菱形正方形的关系正方形矩形菱形都是特殊的平行四边形它们的包含关系如图二重难点知识归纳正方形的判定和性质的综合运用是重点几种特殊的平行四边形的判定的恰当选择是难点三例题解四边形为菱形理由如下连结交于点
8、四边形为正方形又四边形是平行四边形又四边形为菱形点拨正方形的对角线互相垂直平分且相等的性质会为解题带来很多方便例如图正方形的对角线交于点是上任一点于点交于点求证证明四边形为6/20 解:绕点旋转后可以得到,点拨:分析条件,于是可以将旋转,旋转实质还是两个三角形全等 例、如图,在一正方形花池内需要装一只喷头,且满足求的度数 解:将绕点顺时针旋转得,连结 ,可设,从定义可知正方形既是一种特殊的矩形有一组邻边相等的矩形又是一种特殊的菱形有一个角是直角的菱形因此它具有矩形和菱形的所有性质正方形被对角线分成的三角形都是等腰直角三角形正方形的判定从平行四边形出发有一组邻是直角的菱形是正方形平行四边形矩形菱
9、形正方形的关系正方形矩形菱形都是特殊的平行四边形它们的包含关系如图二重难点知识归纳正方形的判定和性质的综合运用是重点几种特殊的平行四边形的判定的恰当选择是难点三例题解四边形为菱形理由如下连结交于点四边形为正方形又四边形是平行四边形又四边形为菱形点拨正方形的对角线互相垂直平分且相等的性质会为解题带来很多方便例如图正方形的对角线交于点是上任一点于点交于点求证证明四边形为7/20 又为等腰直角三角形,()()又(),故 点拨:这里是通过旋转,将分散的条件集中起来,再由三角形边与边的关系,求出有关角的大小、构造正方形解题 例、如图,是上一点,求的长 解:过作的垂线交延长线于点,则,(),又,是等边三角
10、形,从定义可知正方形既是一种特殊的矩形有一组邻边相等的矩形又是一种特殊的菱形有一个角是直角的菱形因此它具有矩形和菱形的所有性质正方形被对角线分成的三角形都是等腰直角三角形正方形的判定从平行四边形出发有一组邻是直角的菱形是正方形平行四边形矩形菱形正方形的关系正方形矩形菱形都是特殊的平行四边形它们的包含关系如图二重难点知识归纳正方形的判定和性质的综合运用是重点几种特殊的平行四边形的判定的恰当选择是难点三例题解四边形为菱形理由如下连结交于点四边形为正方形又四边形是平行四边形又四边形为菱形点拨正方形的对角线互相垂直平分且相等的性质会为解题带来很多方便例如图正方形的对角线交于点是上任一点于点交于点求证证
11、明四边形为8/20 又(),点拨:此题是通过补图,构造正方形求解、利用正方形性质解选择题 例、如图,有两个正方形和一个等边三角形,则图中度数为的角有()个 个 个 个 解:如图 为正三角形,四边形、四边形均为正方形,在四边形中,易知 故 故选 点评:本题极易误选 从定义可知正方形既是一种特殊的矩形有一组邻边相等的矩形又是一种特殊的菱形有一个角是直角的菱形因此它具有矩形和菱形的所有性质正方形被对角线分成的三角形都是等腰直角三角形正方形的判定从平行四边形出发有一组邻是直角的菱形是正方形平行四边形矩形菱形正方形的关系正方形矩形菱形都是特殊的平行四边形它们的包含关系如图二重难点知识归纳正方形的判定和性
12、质的综合运用是重点几种特殊的平行四边形的判定的恰当选择是难点三例题解四边形为菱形理由如下连结交于点四边形为正方形又四边形是平行四边形又四边形为菱形点拨正方形的对角线互相垂直平分且相等的性质会为解题带来很多方便例如图正方形的对角线交于点是上任一点于点交于点求证证明四边形为9/20 梯形 一周强化 一、一周知识概述、梯形的概念 梯形是指一组对边平行而另一组对边不平行的四边形,这两个条件缺一不可换一种说法就是,一组对边平行且不相等的四边形是梯形 等腰梯形和直角梯形是两种特殊梯形、等腰梯形的性质与判定()等腰梯形的性质 等腰梯形是轴对称图形,它只有一条对称轴,底边的垂直平分线是它的对称轴;等腰梯形同一
13、底边上的两个角相等;等腰梯形的两条对角线相等()等腰梯形的判定 同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形、梯形中常见辅助线作法 从定义可知正方形既是一种特殊的矩形有一组邻边相等的矩形又是一种特殊的菱形有一个角是直角的菱形因此它具有矩形和菱形的所有性质正方形被对角线分成的三角形都是等腰直角三角形正方形的判定从平行四边形出发有一组邻是直角的菱形是正方形平行四边形矩形菱形正方形的关系正方形矩形菱形都是特殊的平行四边形它们的包含关系如图二重难点知识归纳正方形的判定和性质的综合运用是重点几种特殊的平行四边形的判定的恰当选择是难点三例题解四边形为菱形理由如下连结交于点四边形为正方形又四边形是平行四边形又四边形为
14、菱形点拨正方形的对角线互相垂直平分且相等的性质会为解题带来很多方便例如图正方形的对角线交于点是上任一点于点交于点求证证明四边形为10/20 ()平移一腰,使两腰、两底角集中于同一个三角形中,并且得出两底之差(如图();()平移一条对角线,使两条对角线与两底之和构成一个三角形,并且能得出两底之和(如图();()延长两腰交于一点,将梯形转化为三角形(如图();()作梯形的高,将梯形转化为矩形与直角三角形(如图();()延长顶点与一腰中点的连线交底边于一点,将梯形转化为三角形,并且集中了两底(如图();()将梯形割补为平行四边形(如图();二、重难点知识归纳、掌握梯形、等腰梯形、直角梯形等有关概念,
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