重庆市第一中学校2023-2024学年高三上学期开学考试数学试题含答案.pdf
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1、第 1 页/共 4 页2023 年重庆一中高年重庆一中高 2024 届高三上期开学考试数学测试试题卷届高三上期开学考试数学测试试题卷注意事项:注意事项:1.答题前,考生务必用黑色碳索笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚答题前,考生务必用黑色碳索笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.作答时,务必将答案写在答题卡上,写在本卷或者草稿纸上无效作答时,务必将答案写在答题卡上,写在本卷或者草稿纸上无效.3.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.满分满分 150 分,考试用时分,考试用时 120 分钟分钟.一、选择题:
2、本题共一、选择题:本题共 8 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 40 分分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.集合*Nln 52Axyxx|的真子集个数为()A.7B.8C.15D.162.已知符号函数 1,0,sgn0,0,1,0,xxxx则“sgnsgn1ab”是“0ab”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件3.已知函数 21,034,0f xxf xxxx,则6ff()A.6B.0C.4D.64.一组数据按从小到大的顺序排列如下:9,10,12,15,17,22,2
3、6xy,经计算,该组数据中位数是 16,若75%分位数是 20,则xy()A.33B.34C.35D.365.已知 f x是定义在R上的奇函数.220f xfx,且当20 x 时,3log2f xx,则202220232024fff()A.0B.1C.1D.26.已知12341234,1,2,3,4,a a a aN a a a a为1234,a a a a中不同数字的种类,如1,1,2,33,1.2,2,12NN,记“1234,2N a a a a”为事件A,则事件A发生的概率 P A()A.916B.2164C.332D.316第 2 页/共 4 页学科网(北京)股份有限公司7.设12,F
4、 F分别为椭圆22221(0)xyabab的左右焦点,M 为椭圆上一点,直线12,MF MF分别交椭圆于点 A,B,若11222,3MFF A MFF B ,则椭圆离心率为()A.321B.37C.37D.2178.已知实数,a b c满足:1144133,ln3,42 32abc,则()A.abcB.bcaC.bacD.cab二、选择题:本题共二、选择题:本题共 4 题,每小题题,每小题 5 分,共分,共 20 分分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分,部分选对的得分,部分选对的得 2 分,有选错的得分,有选错的
5、得 0 分分.9.已知实数,a b c满足1,0abc,则()A.2233abbaB.abbaC.1ln1acbD.aacbbc10.某儿童乐园有甲,乙两个游乐场,小王同学第一天去甲、乙两家游乐场游玩的概率分别为 0.3 和 0.7,如果他第一天去甲游乐场,那么第二天去甲游乐场的概率为 0.7;如果第一天去乙游乐场,那么第二天去甲游乐场的概率为 0.6,则王同学()A.第二天去甲游乐场的概率为 0.63B.第二天去乙游乐场的概率为 0.42C.第二天去了甲游乐场,则第一天去乙游乐场的概率为23D.第二天去了乙游乐场,则第一天去甲游乐场的概率为1311.设0,0,1abab,则下列结论正确的是(
6、)A.11ab 的最大值为622B.22loglogab的最大值为2C.33ab的最小值为14D.55abab的最小值为1412 已知函数 elnRxf xm x m()A.若1em,则 yf x增函数.是第 3 页/共 4 页学科网(北京)股份有限公司B.若120 xx,则121121ee1xxxx C.若2m ,则 yf x可能有两个零点D 若1212120,eexxxxxxm,则 2101f xf x三、填空题:本题共三、填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分.13.若随机变量24,XN,且(2)0.2P X,则(6)P X _.14.二项式1231x
7、x展开式的常数项是_.15.已知函数()f x满足1(e)21xfx,若1()()()g xf xm xx在其定义域内单调递减,则正实数 m的取值范围为_.16.已知函数()f x定义域为R,()0f x,且满足1()()0()f xfxf x,其中()fx为()f x的导函数,若不等式22111lne1lnlnlne1xaxffxxfxxfaxax恒成立,则正实数a的最小值为_.四、解答题:共四、解答题:共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知正方体1111ABCDABC D的棱长为 2,设,P Q分别为棱1111,C D AD
8、的中点.(1)证明:AQ/平面PBD;(2)求二面角PBDC平面角的余弦值.18.设等差数列 na的前n项之和为nS,且满足:4415,36aS.(1)求 na的通项公式;(2)设11nnnnabS S,求证:12313nbbbb.的第 4 页/共 4 页学科网(北京)股份有限公司19.已知 f x、g x分别为定义域为R的偶函数和奇函数,且 exf xg x.(1)求 f x的单调区间;(2)对任意实数x均有 230gxaf x成立,求实数a的取值范围.20.甲、乙两人轮流投篮,约定甲先投,先投中者获胜,直到有人获胜或每人都已投球n次时投篮结束,其中n为给定正整数.设甲每次投中的概率为13,
9、乙每次投中的概率为12,且各次投篮互不影响.(1)当3n 时,求甲获胜的概率;(2)设投篮结束时甲恰好投篮次,求的数学期望 E.(答案用含n的最简式子表示).21.已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左顶点为A,上顶点为B,右焦点为1,0F,设O为坐标原点,线段OA的中点为D,且满足BDDF.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设点2,RTtt,圆T过O且交直线2x 于,M N两点,直线,AM AN分别交C于另一点,P Q(异于点A).证明:直线PQ过定点,并求出该定点的坐标.22 已知函数 3ln2f xx xaxx.(1)设0a,经过点0,1作函数 yf x图像的切线,求切线的方程;(2
10、)若函数 f x有极大值,无最大值,求实数a的取值范围.第 1 页/共 23 页学科网(北京)股份有限公司2023 年重庆一中高年重庆一中高 2024 届高三上期开学考试届高三上期开学考试数学测试试题卷数学测试试题卷注意事项:注意事项:1.答题前,考生务必用黑色碳索笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚答题前,考生务必用黑色碳索笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.作答时,务必将答案写在答题卡上,写在本卷或者草稿纸上无效作答时,务必将答案写在答题卡上,写在本卷或者草稿纸上无效.3.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回考试结束后,请将本试卷和答题卡
11、一并交回.满分满分 150 分,考试用时分,考试用时 120 分钟分钟.一、选择题:本题共一、选择题:本题共 8 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 40 分分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.集合*Nln 52Axyxx|的真子集个数为()A.7B.8C.15D.16【答案】A【解析】【分析】由对数函数定义域可求得*N252,3,4Axx|,根据元素个数即可求出真子集个数.【详解】根据题意可知5020 xx,解得25x;即*N252,3,4Axx|,可知集合A 中含有 3 个元素,所以其真子集个数为3217 个
12、.故选:A2.已知符号函数 1,0,sgn0,0,1,0,xxxx则“sgnsgn1ab”是“0ab”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充要条件的定义判断可得答案.【详解】若 sgnsgn1ab,则,a b异号,所以0ab,故“sgnsgn1ab”是“0ab”的充要条件.第 2 页/共 23 页学科网(北京)股份有限公司故选:A.3.已知函数 21,034,0f xxf xxxx,则6ff()A.6B.0C.4D.6【答案】A【解析】【分析】根据分段函数的解析式,可得答案.【详解】由题意可知:66 155 144 133
13、 1ffffffff 22 111 100 11fffffff ,11 346f ,6616ffff.故选:A.4.一组数据按从小到大的顺序排列如下:9,10,12,15,17,22,26xy,经计算,该组数据中位数是 16,若75%分位数是 20,则xy()A.33B.34C.35D.36【答案】D【解析】【分析】利用中位数和百分位数的定义得到16x,20y,求出答案.【详解】一共有 9 个数,故从小到大的第 5 个数为中位数,即16x,59 75%6.7,故选取第 7 个数为75%分位数,故20y,所以162036xy.故选:D5.已知 f x是定义在R上的奇函数.220f xfx,且当2
14、0 x 时,3log2f xx,则202220232024fff()A.0B.1C.1D.2【答案】C【解析】第 3 页/共 23 页学科网(北京)股份有限公司【分析】根据对称性与奇偶性得到()f x的周期为4,再求出 20f及 00f,最后根据周期性计算可得.【详解】由()f x满足220f xfx,可得()f x的对称中心为(2,0),则()(4)0f xfx,又函数()f x为奇函数,所以()()0f xfx,所以(4)()fxfx,即 4fxf x,所以函数()f x的周期为4,又220f xfx,令0 x,则 20f,()f x是定义在R上的奇函数,则 00f,又当(2,0)x 时,
15、3()log(2)f xx,则 320234505331log 31ffff,20224 505220fff,20244 50600fff所以2022202320241fff故选:C6.已知12341234,1,2,3,4,a a a aN a a a a为1234,a a a a中不同数字的种类,如1,1,2,33,1.2,2,12NN,记“1234,2N a a a a”为事件A,则事件A 发生的概率 P A()A.916B.2164C.332D.316【答案】B【解析】【分析】由题意给的定义求出1234(,)a a a a的排列有 256 种,当1234(,)2a a a a时,即排列中
16、有 2 个不同的数字,结合排列组合的应用计算即可求解.【详解】由题意知,1234(,)a a a a的排列共有44256种.当1234(,)2a a a a时,即排列中有 2 个不同的数字:若有 3 个数字相同,有232442C C A48种情况;若有 2 个数字相同,有2244C C36种情况,此时共有483684种情况,所以事件 A 的概率为:第 4 页/共 23 页学科网(北京)股份有限公司8421()25664P A.故选:B.7.设12,F F分别为椭圆22221(0)xyabab的左右焦点,M 为椭圆上一点,直线12,MF MF分别交椭圆于点 A,B,若11222,3MFF A M
17、FF B ,则椭圆离心率为()A.321B.37C.37D.217【答案】D【解析】【分析】设出00,M xy,根据向量的定比分点,将,A B两点的坐标表示成含00,xy的式子,再代入椭圆方程联立即可解得2237ac,即可求得离心率.【详解】如下图所示:易知12,0,0FcFc,不妨设00,M xy,1122,A x yB xy,易知2200221xyab,由112MFF A 可得01012020cxxcyy,即0101322cxxyy 同理由223MFF B 可得0202433cxxyy;第 5 页/共 23 页学科网(北京)股份有限公司将1122,A x yB xy两点代入椭圆方程可得22
18、002222002232214331cxyabcxyab;即222000222220002296144168199cxcxyabcxcxyab,又2200221xyab,整理得220220322ccxaccxa解得2237ac,所以离心率2232177cceaa;故选:D8.已知实数,a b c满足:1144133,ln3,42 32abc,则()A.abcB.bcaC.bacD.cab【答案】A【解析】【分析】构造 21ln1xf xxx,1x,求导,得到函数单调性,得到21ln1xxx,从而2311ln 3ln342 3231;构造 12lng tttt,1t,求导后得到函数单调性,得到1
19、2lnttt,设120 xx,则121xx,从 而 得 到121212lnlnxxx xxx,取123,1xx得 到114443113ln3332ln 3,从而求出答案.【详解】令 21ln1xf xxx,1x,故 222114011xfxxxx x在1,x上恒成立,第 6 页/共 23 页学科网(北京)股份有限公司故 21ln1xf xxx在1,x上单调递增,故 10f xf,即21ln1xxx,1x,所以2311ln 3ln342 3231,bc,令 12lng tttt,1t,则 22212110tg tttt 在1,t上恒成立,故 10g tg,所以12lnttt,设120 xx,则1
20、21xx,故1122212lnxxxxxx,所以112212ln,可判断 A 错误;构造函数 ln,1,xg xxx可第 7 页/共 23 页学科网(北京)股份有限公司知,当,1,ea b时baab,即 B 错误;利用函数 1=lnh xxx在1,上为单调递增可知 C 正确;利用作差法可判断 D 正确.【详解】对于 A,根据指数函数 23xxf x 在xR上单调递增,又1ab,所以 f af b,即2323aabb,可得2233abba,所以 A 错误;对于 B,构造函数 ln,1,xg xxx,易知 221ln1 lnxxxxgxxx,当1,ex时,0gx,所以 g x在1,e上单调递增,当
21、e,+x时,0gx,所以 g x在e,+上单调递减;所以可得,1,ea b时,lnlnabab,此时lnlnbaab,即baab,所以 B 错误;对于 C,令 1=ln,1h xxxx,则 22111=0 xh xxxx,所以函数 h x在1,上为单调递增,即 1=1h xh,又0c,可得11lnln1acbcbb,即选项 C 正确;对于 D,由1,0abc可得0a bcb acab caacbbcb bcb bc,即aacbbc,所以 D 正确;故选:CD10.某儿童乐园有甲,乙两个游乐场,小王同学第一天去甲、乙两家游乐场游玩的概率分别为 0.3 和 0.7,如果他第一天去甲游乐场,那么第二
22、天去甲游乐场的概率为 0.7;如果第一天去乙游乐场,那么第二天去甲游乐场的概率为 0.6,则王同学()A.第二天去甲游乐场的概率为 0.63B.第二天去乙游乐场概率为 0.42C.第二天去了甲游乐场,则第一天去乙游乐场的概率为23D.第二天去了乙游乐场,则第一天去甲游乐场的概率为13【答案】AC【解析】【分析】利用条件概率公式、全概率公式以及对立事件的概率计算公式一一代入计算即可.【详解】设1A:第一天去甲游乐场,2A:第二天去甲游乐场,1B:第一天去乙游乐场,2B:第二天去乙的第 8 页/共 23 页学科网(北京)股份有限公司游乐场,依题意可得10.3P A,10.7P B,210.7P A
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