2024版高考数学一轮总复习第4章三角函数第3节三角函数的图象与性质.docx
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1、第三节三角函数的图象与性质考试要求:1能画出ysin x,ycos x,ytan x的图象,了解三角函数的周期性2借助图象理解正弦函数、余弦函数在0,2上的性质及正切函数在2,2上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴交点等)一、教材概念结论性质重现1用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数ysin x,x0,2的图象中,五个关键点是:(0,0),2,1,(,0),32,1,(2,0)(2)在余弦函数ycos x,x0,2的图象中,五个关键点是:(0,1),2,0,(,1),32,0,(2,1)2正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中kZ)函数ysin xycos xytan
2、 x图象定义域RRxxR,且xk+2值域1,11,1R周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间2k2,+22k,2kk2,k+2递减区间2k+2,+322k,2k无对称中心(k,0)k+2,0k2,0对称轴方程xk2xk无1讨论三角函数性质,应先把函数式化成yA sin (x)(0)的形式2要注意求函数yA sin (x)的单调区间时的符号,若22,则x4.()2对于函数f(x)sin 2x,下列选项中正确的是()Af(x)在4,2上单调递增Bf(x)的图象关于原点对称Cf(x)的最小正周期为2Df(x)的最大值为2B解析:因为函数ysin x在2,上单调递减,所以f(x)sin 2x在4,
3、2上单调递减,故A错误因为f(x)sin 2(x)sin (2x)sin 2xf(x),所以f(x)为奇函数,图象关于原点对称,故B正确f(x)的最小正周期为,故C错误f(x)的最大值为1,故D错误3下列函数中最小正周期为且图象关于直线x3对称的是()Ay2sin 2x+3By2sin 2x6Cy2sin x2+3Dy2sin 2x3B解析:函数y2sin 2x6的最小正周期T22,又sin 2361,所以函数y2sin 2x6的图象关于直线x3对称4函数y32cos x+4的最大值为_,此时x_5342k(kZ)解析:函数y32cos x+4的最大值为325,此时x42k(kZ),即x342
4、k(kZ)5cos 23,sin 68,cos 97的大小关系是_sin 68cos 23cos 97解析:sin 68cos 22,又ycos x在0180上是减函数,所以sin 68cos 23cos 97.考点1三角函数的定义域基础性1函数ytan 4x的定义域是()Axx4Bxx4Cxxk4,kZDxx34k,kZD解析:函数ytan 4xtan x4,令x42k,kZ,解得x34k,kZ,所以函数的定义域是xx34k,kZ2函数y2sinx1的定义域为()A6,56B2k+6,2k+56(kZ)C2k+6,2k+56(kZ)Dk+6,k+56(kZ)B解析:由2sin x10,得si
5、n x12,所以2k6x2k56(kZ)3已知x0,2,则ytanx+cosx的定义域为()A0,2B0,2C,32D,32C解析:由题意tanx0,cosx0,x0,2,得xk2(kZ),所以函数的定义域为,32.4函数ylg (sin x) cosx12的定义域为_x2kx32k,kZ解析:要使函数有意义必须有sinx0, cosx120,即sinx0,cosx12,解得2kx+2kkZ, 3+2kx3+2kkZ所以2kx32k(kZ)1解答T3容易忽视正切函数的定义域而错选D.2求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组),常借助三角函数线或三角函数图象来求解考点2三角函数的值域
6、或最值综合性(1)函数f(x)cos 2x2sin 2xcos 2+x,x0,2的最小值为()A1B2C3D0A解析:f(x)cos 2x2cos x(sin x)cos 2xsin 2x2sin 2x+4,因为x0,2,可得2x44,54,sin2x+422,1,所以f(x)2sin 2x+41,2,即其最小值为1.(2)函数ycos2xsinx的值域是()A1,54B1,54C0,2D1,1A解析:ycos2xsinx1sin2xsinxsinx+12254,由于sin x1,1,所以当sin x1时,y的最小值为1;当sin x12时,y的最大值为54.所以函数的值域是1,54.求解三角
7、函数的值域(最值)常见的类型(1)形如ya sin xb cos xc的三角函数化为yA sin (x)c的形式,再求值域(最值)(2)形如ya sin2xb sinxc的三角函数,可先设sin xt,化为关于t的二次函数求值域(最值)(3)形如ya sin x cos xb(sin xcos x)c的三角函数,可先设tsin xcos x,化为关于t的二次函数求值域(最值)(4)一些复杂的三角函数,可考虑利用导数确定函数的单调性,然后求最值1函数y2sin x6x23的值域是()A1,2)B(1,2)C(1,2D1,2D解析:对于函数y2sin x6x23,当x6时,函数y取得最小值为1;当
8、x2时,函数y取得最大值为2,故函数y的值域为1,2.2函数ysin xcos xsin x cos x,x0,的最小值是_1解析:设sin xcos xt,则t2sin x4,sin x cos x1t22.因为x0,所以x44,34,所以t1,2,所以yt1t2212(t1)21,当t1时,ymin1.考点3三角函数的单调性应用性考向1求三角函数的单调区间(1)(2021新高考全国卷)下列区间中,函数f(x)7sin x6单调递增的区间是()A0,2B2,C,32D32,2A解析:因为函数ysin x的单调递增区间为2k2,2k+2(kZ),对于函数f(x)7sin x6,由2k2x62k
9、2(kZ),解得2k3x0)的单调区间时,要视“x”为一个整体,通过解不等式求解但如果0,函数f(x)cos x4在2,上单调递减,则的取值范围是_12,54解析:由2x0,得2+4x40,所以58k38.又kZ,得k0,所以12,54.已知三角函数的单调性求参数的2种方法(1)求出函数的单调区间,然后利用集合间的关系求解(2)求导数,根据单调性分离参数求解1若函数f(x)sin x(0)在0,53上单调递增,则的取值范围是()A35,1B0,35C310,12D0,310D解析:因为函数f(x)sin x(0)在0,53上单调递增,所以532,所以310.2函数f(x)sin 2x+3的单调
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