湖北省宜荆荆随恩2023-2024学年高二上学期12月联考数学试卷含答案.pdf
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1、学科网(北京)股份有限公司湖北省宜荆荆随恩2023-2024学年高二上学期12月联考数学试卷湖北省宜荆荆随恩2023-2024学年高二上学期12月联考数学试卷 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 学科宜荆荆随恩重点高中教科研协作体*数学答案(共 4 页)第 1 页2023 年宜荆荆随恩高二 12 月联考高二数学答案一、单项选择题1-4CAAA5-8CBDD二、多项选择题9.AB10.BD11.ABD12.ABC三、填空题13.214.3115.1xy16.01 yx或01 yx四、解答题17.(1)法 1:由题,21:xyml,则直线l为过定点1
2、,2且斜率不为 0 的直线又因为直线l与抛物线C恒有两个交点,所以定点1,2在抛物线开口内部、焦点附近所以2212p,所以,41p;法 2:将直线l与抛物线C方程联立,得042220222ppmpmyypxymmyx,又因为直线l与抛物线C恒有两个交点,所以016844242222ppmmpppmpm对Rm恒成立.所以016448221ppp,又0p,所以解得,41p;.5 分(2)由题,当1m时,01:yxl,由l过焦点0,2pF得,2p,所以抛物线xyC4:2.将直线l与抛物线C方程联立,并令2211,yxByxA,得01620122xxpxyyx,6,021xx,由抛物线焦点弦公式得82
3、621pxxAB.10 分18.(1)连接1AB,如下图所示:因为E,F分别为1AC,11BC的中点,所以1/EFAB,又因为EF 平面11ABB A,1AB 平面11ABB A,所以/EF平面11ABB A;.5 分(2)连接BAOA11,,因为1160A ACA AB,12AAACAB,所以1AAC1AAB全等,且1AAC与1AAB均为等边三角形,所以112ACAB,又因为90CAB,所以222 2BCABAC,所以22211ACABBC,所以11ACAB,所以1ABC是等腰直角三角形,因为O为BC的中点,所以1AOBC且1122AOBC,又因为90CAB,ACBC,所以ABC是等腰直角三
4、角形,所以122AOBC,所以22211AOAOAA,所以1AOAO,又因为BCAOO,所以1AO 平面ABC,所以E点到平面AOB的距离22211OAh,所以三棱锥AOBE 的体积为62222221312131hBOAOV.12 分19.答案:(1)1322 yx;(2)T点的轨迹方程为:21322xyx.#QQABTQaQgggAAABAABhCUQUoCEOQkAGCACoOBFAIoAAAgRNABAA=#学科宜荆荆随恩重点高中教科研协作体*数学答案(共 4 页)第 2 页(1)设所求圆方程为:0542142222xyxxyx,0将3,2P代入上面方程,得052432212432222
5、2解得1,所以该圆方程为:0542142222xyxxyx,化简为:1322 yx.6 分(2)由题圆 M:25222yx,圆心0,2M,半径51r圆 N:9222yx,圆心0,2N,半径32r又因为圆 T 和圆 M,圆 N 均外切,令yxT,,圆 T 的半径为r,则551rrrMT,332rrrMN,所以2 MNMT,所以 T 点在以 M,N 为左右焦点,以 2 为实轴长的双曲线靠近 N 点的一支上,且3MN,所以3,2,1222acbca,所以 T 点坐标yx,满足如下关系:320132222yxMNxyx,解得2x,所以T点的轨迹方程为:21322xyx.12 分20.(1)证明:因为直
6、三棱柱111CBAABC,41 BBAC,3AB,所以ABCBB平面1,所以111ABBB,所以54322212111BBBABA,又因为11BCA的面积为 10,BACBACBACASBCA1111111sin5421sin2111,所以1sin11BAC,即9011BAC,所以BAAC111,又因为平面11BCA平面11ABBA,平面11BCA平面BAABBA111,且11AC平面11BCA,所以11AC平面11ABBA,所以1111BAAC,又直三棱柱111CBAABC,所以ABAC.6 分(2)由(1)知,ABCAA平面1,ABAC,由题意知41 BBAC,3AB,则以A为坐标原点,以
7、1,AC AB AA所在直线分别为x轴、y轴和z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,则0,3,0B,0,0,4C,4,0,01A,4,3,01B,4,0,41C,可得0,0,411CA,4,0,011 CCBB,4,3,41BC,设平面11A BC的法向量为,nx y z,则040434111xCAnzyxBCn,取3z,则4,0yx,所以3,4,0n,设平面11CBB的一个法向量为cbam,,则04043411cBBmcbaBCm,取3a,则4,0bc,所以0,4,3m,则2516,cosmnmnmn,所以平面11BCA与平面11CBB夹角的余弦值为2516.12 分21.(1)5225500
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