2024届高三三角函数与解三角形重点题型专题4 解三角形中的计算求值问题12个类型含答案.pdf
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1、1/33 学科网(北京)股份有限公司专题专题 4 解三角形中的计算求值问题解三角形中的计算求值问题1 12 2 类题型类题型 目录知识点梳理.2 一、中线或比例端点的处理策略:.2 二、高线问题的处理策略:.3 三、角平分线问题的处理策略:.3 四、解三角形多解情况.4 高考真题梳理与回顾.5 2023 年新课标全国卷真题:已知中线长.5 2023 年高考全国甲卷数学(理)真题T16 角平分线相关计算.6 2021 新高考一卷 T20:三等分线相关计算.7 题型一题型一 周长与面积相关计算.11 2022佛山二模.11 2024 届广东省六校第二次联考.11 2023福州二模.12 2023湛
2、江一模.12 2023湖北 5 月联考.12 2022深圳二模.13 题型二题型二 给值求角型.13 2023广东二模.13 2023广州一模.13 2023重庆三模.13 题型三题型三 角平分线相关计算.14 2023厦门第四次质检.14 2023广东省六校高三第四次联考.15 2024 届云南省昆明市五华区高三上期中.15 题型四题型四 中线相关计算.15 2023广州天河区一模.15 2023 广州市一模.16 2023重庆九龙坡二模.16 2023莆田市二模.16 2023青岛三模.17 2023福州三模.17 题型五题型五 三等分线或其它等分线.18 2023广州市二模.18 202
3、3 届巴蜀中学适应性月考(十).18 2023雅礼中学二模.18 2023重庆一中高三 5 月月考.19 2023深圳二模.19 题型六题型六 高线线相关计算.20 题型七题型七 其它中间线.22 2023台州二模.22 2023 上肇庆二模.23 题型八题型八 二倍角的处理策略.24 2024届高三三角函数与解三角形重点题型专题4 解三角形中的计算求值问题12个类型 2/33 学科网(北京)股份有限公司 广东省六校 2024 届第一次联考.24 题型九题型九 三角形解的个数问题.25 题型十题型十 解三角形的实际应用.26 类型 1 距离问题.26 类型 2 高度问题.27 题型十一题型十一
4、 与三角函数结合.29 题型十二题型十二 重心,外心相关计算.30 知识点梳理 中间线的处理中间线的处理通用策略通用策略:用 2 次余弦定理,邻补角余弦值为相反数,即coscos0ADBADC+=一、中线或比例端点的处理策略:如图,ABC中,AD为BC的中线,已知AB,AC,及A,求中线AD长 策略一:策略一:如图,倍长中线构造全等,再用余弦定理即可 策略二:策略二:向量法,()1=2ADABAC+,等式两边再进行平方 DABCDABCEDABC 3/33 学科网(北京)股份有限公司 策略三:策略三:两次余弦定理,邻补角余弦值为相反数,即coscos0ADBADC+=补充:若或将条件“AD 为
5、 BC 的中线”换为“BDCD=”也适用,此时需要倍长等分线构造相似 二、高线问题的处理策略:策略一:等面积法:sinAD BCAB ACBAC=策略二:sin=sinADABABD ACACD=策略三:ac COS Bb COS C=+三、角平分线问题的处理策略:ABC 中,AD 平分BAC.策略一策略一:角平分线定理:DACCD=证法 1(等面积法)1212=ABDACDSBD hAB hSCD hAC h=,得DACCD=注:1h为 A 到 BC 的距离,2h为 D 到 AB,AC 的距离.证法 2(正弦定理)如图,sin3sin1D=,sin4sin2CCD=,而sin1sin2,si
6、n3sin4=DCBA2143DABC 4/33 学科网(北京)股份有限公司 整理得DACCD=策略二策略二:利用两个小三角形面积和等于大三角形面积处理=+12 =12 2+12 2,策略三策略三:角互补:+=+=0,在中,=2+222,在中,=2+222,四、解三角形多解情况 在ABC 中,已知 a,b 和 A 时,解的情况如下:A 为锐角 A 为钝角或直角 图形 关系式 sinabA=sinbAab ab 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 5/33 学科网(北京)股份有限公司 高考真题梳理与回顾 2023 年新课标全国卷真题:已知中线长 记ABC的内角,A B C的对边分别为,a b
7、 c,已知ABC的面积为3,D为BC中点,且1AD=(1)若3ADC=,求tan B;(2)若228bc+=,求,b c【答案】(1)35;(2)2bc=.【详解】(1)方法 1:在ABC中,因为D为BC中点,3ADC=,1AD=,则1113313sin12222822ADCABCSAD DCADCaaS=,解得4a=,在ABD中,23ADB=,由余弦定理得2222coscBDADBD ADADB=+,即214 12 2 1()72c=+=,解得7c=,则74 15 7cos142 72B+=,225 721sin1 cos1()1414BB=,所以sin3tancos5BBB=.方法 2:在
8、ABC中,因为D为BC中点,3ADC=,1AD=,则1113313sin12222822ADCABCSAD DCADCaaS=,解得4a=,在ACD中,由余弦定理得2222cosbCDADCD ADADB=+,即214 1 2 2 132b=+=,解得3b=,有2224ACADCD+=,则2CAD=,6C=,过A作AEBC于E,于是33cos,sin22CEACCAEACC=,52BE=,所以3tan5AEBBE=.(2)方法 1:在ABD与ACD中,由余弦定理得2222111 21 cos()42111 21 cos42caaADCbaaADC=+=+,6/33 学科网(北京)股份有限公司
9、整理得222122abc+=+,而228bc+=,则2 3a=,又133 1 sin22ADCSADC=,解得sin1ADC=,而0ADC,于是2ADC=,所以222bcADCD=+=.方法 2:在ABC中,因为D为BC中点,则2ADABAC=+,又CBABAC=,于是2222224()()2()16ADCBABACABACbc+=+=+=,即2416a+=,解得2 3a=,又133 1 sin22ADCSADC=,解得sin1ADC=,而0ADC,解得:13b=+,由ABCABDACDSSS=+可得,1112sin602sin30sin30222bADAD b =+,解得:()2 3 133
10、23312bADb+=+故答案为:2 方法二:由余弦定理可得,2222 2cos606bb+=,因为0b,解得:13b=+,由正弦定理可得,62sin60sinsinbBC=,解得:62sin4B+=,2sin2C=,因为1362+,所以45C=,180604575B=,又30BAD=,所以75ADB=,即2ADAB=7/33 学科网(北京)股份有限公司 2021 新高考一卷 T20:三等分线相关计算 记ABC是内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知2bac=,点D在边AC上,sinsinBDABCaC=.(1)证明:BDb=;(2)若2ADDC=,求cosABC.【答案】(1)证明见解析
11、;(2)7cos12ABC=.【分析】(1)根据正弦定理的边角关系有acBDb=,结合已知即可证结论.(2)方法一:两次应用余弦定理,求得边a与c的关系,然后利用余弦定理即可求得cosABC的值.【详解】(1)设ABC的外接圆半径为 R,由正弦定理,得sinsin,22bcRABCCR=,因为sinsinBDABCaC=,所以22bcBDaRR=,即BD bac=又因为2bac=,所以BDb=(2)方法一方法一【最优解】:两次应用余弦定理【最优解】:两次应用余弦定理 因为2ADDC=,如图,在ABC中,222cos2abcCab+=,在BCD中,222()3cos23babbaC+=由得222
12、2223()3babcab+=+,整理得22211203abc+=又因为2bac=,所以2261130aacc+=,解得3ca=或32ca=,当22,33ccabac=时,333ccabc+=+,当ABC 26/33 学科网(北京)股份有限公司 仅有一解时,写出x的范围,并求ac的取值范围 39已知ABC的内角A、B、C所对的边分别是a,b,c,60A=,若3,(0)abm m=,当ABC有且只有一解时,求实数m的范围及ABC面积S的最大值 题型题型十十 解三角形的实际应用 类型 1 距离问题 40一游客在A处望见在正北方向有一塔B,在北偏西 45方向的C处有一寺庙,此游客骑车向西行1km后到
13、达D处,这时塔和寺庙分别在北偏东 30和北偏西 15,则塔B与寺庙C的距离为_km.41(2023全国高三专题练习)山东省科技馆新馆目前成为济南科教新地标(如图 1),其主体建筑采用与地形吻合的矩形设计,将数学符号“”完美嵌入其中,寓意无限未知无限发展无限可能和无限的科技创新.如图 2,为了测量科技馆最高点 A与其附近一建筑物楼顶 B之间的距离,无人机在点 C 测得点 A和点 B的俯角分别为 75,30,随后无人机沿水平方向飞行 600 米到点 D,此时测得点 A和点B 的俯角分别为 45和 60(A,B,C,D 在同一铅垂面内),则 A,B 两点之间的距离为_米.42如图,为了测量,A C两
14、点间的距离,选取同一平面上的B,D两点,测出四边形ABCD各边的长度(单位:km):5AB=,8BC=,3CD=,5DA=,且,A B C D四点共圆,则AC的长为_km.27/33 学科网(北京)股份有限公司 43如图,一条巡逻船由南向北行驶,在 A 处测得灯塔底部 C在北偏东15方向上,匀速向北航行 20 分钟到达 B处,此时测得灯塔底部 C在北偏东60方向上,测得塔顶 P的仰角为60,已知灯塔高为2 3km则巡逻船的航行速度为_km/h 类型 2 高度问题 44如图,某中学某班级课外学习兴趣小组为了测量某座山峰的高度,先在山脚A处测得山顶C处的仰角为60,又利用无人机在离地面高300m的
15、M处(即300mMD=),观测到山顶C处的仰角为15,山脚A处的俯角为45,则山高BC=_m 45如图,某沿海地区计划铺设一条电缆联通 A、B 两地,A处位于东西方向的直线 MN 上的陆地处,B 处位于海上一个灯塔处,在 A 处用测角器测得3tan4BAN=,在 A处正西方向 1km 的点 C处,用测角器 28/33 学科网(北京)股份有限公司 测得tan1BCN=.现有两种铺设方案:沿线段 AB在水下铺设;在岸 MN上选一点 P,设BPN=,0,2,先沿线段 AP在地下铺设,再沿线段 PB在水下铺设,预算地下、水下的电缆铺设费用分别为 2 万元/km、4 万元/km.(1)求 A、B 两点间
16、的距离;(2)请选择一种铺设费用较低的方案,并说明理由.46如图,测量河对岸的塔高AB时,可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D.现测得35BCD=,100BDC=,400mCD=.在点C测得塔顶A的仰角为 50.5.(1)求B与D两点间的距离(结果精确到1m);(2)求塔高AB(结果精确到1m).参考数据:取2sin350.811=,2sin801.393=,tan50.51.2=.29/33 学科网(北京)股份有限公司 47中国古代数学名著海岛算经记录了一个计算山高的问题(如图 1):今有望海岛,立两表齐,高三丈,前后相去千步,令后表与前表相直.从前表却行一百二十三步,人目着地
17、取望岛峰,与表末参合.从后表却行百二十七步,人目着地取望岛峰,亦与表末参合.问岛高及去表各几何?假设古代有类似的一个问题,如图 2,要测量海岛上一座山峰的高度 AH,立两根高 48 丈的标杆 BC和 DE,两竿相距 BD=800步,D,B,H三点共线且在同一水平面上,从点 B退行 100 步到点 F,此时 A,C,F 三点共线,从点D退行 120 步到点 G,此时 A,E,G 三点也共线,则山峰的高度 AH=_步.(古制单位:180 丈=300 步)题型十一题型十一 与三角函数结合 48已知函数()=2sin(+)0,|2的图象的相邻两条对称轴之间的距离为2,且()的图象的一个对称中心为512
18、,0.(1)求()的解析式;(2)在 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知=3,=(),且 的面积为312,求 的周长.49已知向量 =(cos,sin),=cos,3cos,R,设函数()=+12 30/33 学科网(北京)股份有限公司(1)求函数()的单调递增区间;(2)设,分别为 的内角,的对边,若()=2,+=22,的面积为12,求的值 50已知 的内角 A,所对的边分别为,()=4cossin 6的最大值为().(1)求角;(2)若点在上,满足=3,且=7,=3,求角 C.题型十二题型十二 重心,外心相关计算 51已知ABC的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,
19、c,且22238cab=+31/33 学科网(北京)股份有限公司(1)求cosB的最小值;(2)若 M为ABC的重心,90AMC=,求sinsinAMBCMB 52记ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c,已知3 sincoscos,6,aBaCcA bG=为ABC的重心(1)若2a=,求c的长;(2)若33AG=,求ABC的面积 32/33 学科网(北京)股份有限公司 53ABC的内角 A,B,C 所对的边分别为,6,sinsin2BCa b c abaB+=(1)求 A 的大小;(2)M 为ABC内一点,AM的延长线交BC于点 D,_,求ABC的面积 请在下面三个条件中选择一个作
20、为已知条件补充在横线上,使ABC存在,并解决问题 M为ABC的重心,2 3AM=;M为ABC的内心,3 3AD=;M为ABC的外心,4AM=54在ABC中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a,b,c是公差为 2 的等差数列.(1)若2sin3sinCA=,求ABC的面积.(2)是否存在正整数 b,使得ABC的外心在ABC的外部?若存在,求 b 的取值集合;若不存在,请说明理由.55在ABC中,角A,B,C对应的三边分别为a,b,c,(tan1)(tan1)2AB+=,2 2c=,2a=,O 33/33 学科网(北京)股份有限公司 为ABC的外心,连接OA,OB,OC(1)求OA
21、B的面积;(2)过B作AC边的垂线交于D点,连接OD,试求cosOBD的值 56在ABC 中,三内角 A,B,C对应的边分别为 a,b,c,a6(1)求 bcosCccosB 的值;(2)若 O 是ABC 的外心,且320OA OBOC+=,求ABC 外接圆的半径 1/47 学科网(北京)股份有限公司 专题专题 4 解三角形中的计算求值问题解三角形中的计算求值问题1 12 2 类题型类题型 目录 知识点梳理.2 一、中线或比例端点的处理策略:.2 二、高线问题的处理策略:.3 三、角平分线问题的处理策略:.3 四、解三角形多解情况.4 高考真题梳理与回顾.5 2023 年新课标全国卷真题:已知
22、中线长.5 2023 年高考全国甲卷数学(理)真题T16 角平分线相关计算.6 2021 新高考一卷 T20:三等分线相关计算.7 题型一题型一 周长与面积相关计算.11 2022佛山二模.11 2024 届广东省六校第二次联考.11 2023福州二模.11 2023湛江一模.12 2023湖北 5 月联考.12 2022深圳二模.13 题型二题型二 给值求角型.13 2023广东二模.13 2023广州一模.14 2023重庆三模.15 题型三题型三 角平分线相关计算.15 2023厦门第四次质检.15 2023广东省六校高三第四次联考.16 2024 届云南省昆明市五华区高三上期中.17
23、题型四题型四 中线相关计算.18 2023广州天河区一模.18 2023 广州市一模.18 2023重庆九龙坡二模.19 2023莆田市二模.19 2023青岛三模.20 2023福州三模.21 题型五题型五 三等分线或其它等分线.21 2023广州市二模.21 2023 届巴蜀中学适应性月考(十).22 2023雅礼中学二模.23 2023重庆一中高三 5 月月考.23 2023深圳二模.24 题型六题型六 高线线相关计算.25 题型七题型七 其它中间线.28 2023台州二模.28 2023 上肇庆二模.29 题型八题型八 二倍角的处理策略.30 2/47 学科网(北京)股份有限公司 广东
24、省六校 2024 届第一次联考.30 题型九题型九 三角形解的个数问题.32 题型十题型十 解三角形的实际应用.35 类型 1 距离问题.35 类型 2 高度问题.37 题型十一题型十一 与三角函数结合.40 题型十二题型十二 重心,外心相关计算.43 知识点梳理 中间线的处理中间线的处理通用策略通用策略:用 2 次余弦定理,邻补角余弦值为相反数,即coscos0ADBADC+=一、中线或比例端点的处理策略:如图,ABC中,AD为BC的中线,已知AB,AC,及A,求中线AD长 策略一:策略一:如图,倍长中线构造全等,再用余弦定理即可 策略二:策略二:向量法,()1=2ADABAC+,等式两边再
25、进行平方 DABCDABCEDABC 3/47 学科网(北京)股份有限公司 策略三:策略三:两次余弦定理,邻补角余弦值为相反数,即coscos0ADBADC+=补充:若或将条件“AD 为 BC 的中线”换为“BDCD=”也适用,此时需要倍长等分线构造相似 二、高线问题的处理策略:策略一:等面积法:sinAD BCAB ACBAC=策略二:sin=sinADABABD ACACD=策略三:ac COS Bb COS C=+三、角平分线问题的处理策略:ABC 中,AD 平分BAC.策略一策略一:角平分线定理:DACCD=证法 1(等面积法)1212=ABDACDSBD hAB hSCD hAC h
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