微积分高等数学课件.pptx
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1、微积分高等数学课件完整版contents目录引言微积分基础概念极限与连续性导数的应用积分的应用多元函数微积分无穷级数与幂级数微分方程初步01引言课程简介微积分高等数学是大学数学的重要基础课程,主要研究函数的极限、连续性、可微性、积分以及微分方程等概念和应用。通过学习微积分高等数学,学生可以培养数学思维、分析问题和解决问题的能力,为后续的专业课程和实际应用打下基础。010203掌握微积分的基本概念、性质和计算方法。理解微积分在几何、物理、工程等领域的应用。培养数学思维和解决问题的能力,提高数学素养。学习目标02微积分基础概念定义与性质01导数描述了函数在某一点的切线斜率,是函数局部变化率的重要概
2、念。它具有一系列重要的性质,如导数等于切线斜率、可导必连续、导数与极限的关系等。求导法则02基本的求导法则包括链式法则、乘积法则、商的导数法则、幂的导数法则等。这些法则可以组合使用,以便于求出更复杂的函数的导数。应用03导数在许多领域都有应用,如经济学、物理学、工程学等。通过求导,可以研究函数的单调性、极值、拐点等,从而更好地理解函数的性质。导数积分是微分的逆运算,用于计算曲线与x轴所夹的面积。它具有一系列重要的性质,如积分的基本定理、积分的线性性质、积分的几何意义等。定义与性质常见的积分方法包括直接积分法、换元积分法、分部积分法等。这些方法可以帮助我们解决各种复杂的积分问题。积分方法积分在解
3、决实际问题中有着广泛的应用,如计算曲线下面积、求解定积分等。通过积分,我们可以解决许多实际问题,如计算物体的质量、体积等。应用积分定义与分类微分方程是包含未知函数的导数或偏导数的方程。根据方程中导数的个数和形式,微分方程可以分为线性微分方程、非线性微分方程、常微分方程和偏微分方程等。求解方法对于简单的微分方程,可以通过分离变量法、变量代换法等方法求解。对于复杂的微分方程,可能需要使用数值解法或近似解法。应用微分方程在各个领域都有广泛的应用,如物理学、工程学、经济学等。例如,在物理学中,牛顿第二定律就是一个典型的微分方程;在经济学中,供求关系模型也是一个微分方程。通过求解微分方程,我们可以更好地
4、理解这些领域的动态变化规律。微分方程03极限与连续性极限的定义极限是描述函数在某一点附近的变化趋势的数学工具。对于函数$f(x)$,若在$xtoa$的过程中,$f(x)$的值无限接近于一个确定的常数$L$,则称$L$为函数$f(x)$在$xtoa$时的极限。极限的性质极限具有唯一性、有界性、局部保号性、局部不等式性质等性质。这些性质在解决微积分问题时具有重要的作用。极限的定义与性质如果函数$f(x)$在点$a$处的极限值等于该点的函数值,即$lim_xtoaf(x)=f(a)$,则称函数$f(x)$在点$a$处连续。连续性的定义连续函数具有一些重要的性质,如零点定理、介值定理等,这些性质在解决
5、不等式和方程问题时非常有用。连续性的性质函数的连续性无穷小量在自变量的某个变化过程中,函数的值无限趋近于0,这样的函数称为无穷小量。无穷小量是微积分中的重要概念,它在研究函数的极限和连续性时起着关键作用。无穷大量与无穷小量相反,如果一个函数在自变量的某个变化过程中,函数的值无限增大,这样的函数称为无穷大量。无穷大量在研究函数的极限和连续性时也具有重要的作用。无穷小量与无穷大量04导数的应用极值的第一充分条件如果函数在某点的导数由正变为负或由负变为正,则该点可能是函数的极值点。极值的第二充分条件如果函数在某点的导数存在,且该点的二阶导数小于0,则该点可能是函数的极值点。极值的第三充分条件如果函数
6、在某点的导数等于0,且该点的二阶导数大于0,则该点可能是函数的极值点。极值问题中值定理罗尔定理如果函数在闭区间上连续,且在开区间上可导,且两端点的函数值相等,则在区间内至少存在一点,使得函数在该点的导数为0。拉格朗日中值定理如果函数在闭区间上连续,在开区间上可导,则在区间内至少存在一点,使得函数在该点的导数等于函数在区间两端的函数值之差除以区间的长度。柯西中值定理如果函数和其导数在闭区间上连续,在开区间上可导,则在区间内至少存在一点,使得函数在该点的导数等于函数在该点的值与区间两端的函数值之差除以区间的长度。不定式的极限的分类根据自变量趋近于特定值的方式不同,可以将不定式的极限分为多种类型,如
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